施研博，趙艷紅，劉海風，孟續(xù)軍，王學(xué)容

(北京應(yīng)用物理與計算數(shù)學(xué)研究所，北京 100094)

1 引 言

在高能量密度物理領(lǐng)域，常常會遇到因多介質(zhì)、流體力學(xué)不穩(wěn)定性等導(dǎo)致的物質(zhì)混合，對此類現(xiàn)象進行流體力學(xué)或輻射流體力學(xué)模擬時，需要混合物的狀態(tài)方程。在很多情況下，構(gòu)成混合物的單質(zhì)狀態(tài)方程已知，而混合物的狀態(tài)方程難以直接獲得，此時采用等溫等壓條件及體積相加原理可以得到混合物的狀態(tài)方程。徐錫申等人[1]指出：采用體積相加模型和等溫等壓假設(shè)，可以計算化合物、混合物及合金的狀態(tài)方程；對于實際的物態(tài)方程，模型給出的方程組形式復(fù)雜，難以求解，可采用作圖法計算混合物的分密度。然而，徐錫申等人并未給出具體的計算模型。王正言等[2]、唐鴿等[3]、王學(xué)容等[4]采用等溫等壓的熱力學(xué)平衡條件和體積相加原理，針對兩組元混合情況，計算了混合物的壓力、內(nèi)能和定容比熱容。Cranfill[5]也給出了壓力平衡、溫度不一定平衡時混合物狀態(tài)方程的計算方案，但是未給出熱力學(xué)量的具體求解方法。

在實際工作中往往會遇到多于兩種組元混合的情形，而且除了壓強、內(nèi)能和定容比熱容外，有時還需要壓強系數(shù)、等熵聲速等其他熱力學(xué)量。本工作基于等溫等壓的熱力學(xué)平衡條件和體積相加原理，給出多組元混合物狀態(tài)方程的理論模型，由此求解組元分密度及混合物的熱力學(xué)量；采用該模型計算一種4組元鎢合金的狀態(tài)方程，并與其他理論計算結(jié)果進行對比，驗證模型的有效性。

2 理論模型

在實際工作中，我們感興趣的是物質(zhì)在高溫、高壓狀態(tài)下的性質(zhì)。首先，假定混合物中各組元之間沒有發(fā)生化學(xué)反應(yīng)，從而能夠很好地滿足原子的體積相加原理[1]；其次，假定混合物中各組元之間達到熱力學(xué)平衡，溫度、壓力處處相等。由此可以求得各組元的分密度，進而求得混合物的熱力學(xué)量。

2.1 組元分密度

考慮單位體積的混合物，記混合物的密度為ρ，第k種物質(zhì)的質(zhì)量為mk，分密度為ρk，第k種物質(zhì)的質(zhì)量比定義為wk=mk/ρ。根據(jù)假設(shè)，混合物與各組元之間滿足體積相加原理，得到

式中：n為組元數(shù)。由混合物各組元間的溫度和壓力相等假設(shè)，可知

聯(lián)立求解n個方程，可以得到混合物各組元的分密度ρk。

2.2 熱力學(xué)量求解

比內(nèi)能e和定容比熱容cV分別為

其中{(?ρl/?T)ρ}可由n個方程聯(lián)立求解

(7)

式中：k=1,2,…,n-1。

由等溫等壓假定，混合物的壓強p、壓強系數(shù)β和等溫聲速cT可以通過第k種組元的壓強求解

其中{(?ρl/?ρ)T}也由n個方程聯(lián)立求解

式中：k=1,2,…,n-1。

根據(jù)熱力學(xué)關(guān)系，由等溫聲速可得到等熵聲速cS

至此，所需的熱力學(xué)量計算完畢。所有熱力學(xué)量都是由基本的熱力學(xué)定律和關(guān)系式導(dǎo)出，自然滿足熱力學(xué)自洽性及穩(wěn)定性條件[2]。

3 計算結(jié)果

編制了多組元混合物狀態(tài)方程計算程序，計算了由4種組元構(gòu)成的鎢合金(W89Mo9Fe1Ni1)的狀態(tài)方程。單質(zhì)狀態(tài)方程采用寬區(qū)實用狀態(tài)方程[1]提供的狀態(tài)方程庫，該庫還提供了鎢合金W89Mo9Fe1Ni1的狀態(tài)方程。

鎢合金W89Mo9Fe1Ni1的沖擊雨貢紐曲線如圖1所示，圖中比較了計算得到的狀態(tài)方程與狀態(tài)方程庫給出的合金狀態(tài)方程，其中ρ0為常壓密度，TH為沖擊雨貢紐溫度。從圖1可以看到，兩種狀態(tài)方程得到的壓強和沖擊雨貢紐溫度具有很好的一致性。進一步比較由兩種狀態(tài)方程得到的沖擊壓力的相對差異(Δp/p)，如圖2所示?？梢钥吹剑涸诔Ｃ芏雀浇?，Δp/p最高達到6%，這是由于在常溫常密度狀態(tài)附近，合金各組元的體積與體積相加假設(shè)偏離較大；在我們感興趣的壓縮區(qū)，Δp/p降到2%以下。

圖1 鎢合金W89Mo9Fe1Ni1的沖擊雨貢紐曲線Fig.1 Hugoniot curve of tungsten alloy W89Mo9Fe1Ni1

圖2 兩種狀態(tài)方程得到的鎢合金沖擊壓強的相對差異Fig.2 Relative difference of shock pressure obtained from two equations of state

圖3顯示了采用兩種狀態(tài)方程計算得到的壓強和內(nèi)能的相對差異(分別為Δp/p和ΔE/E)隨密度變化的曲線。可以看到：對于壓強，兩者之間的相對差異小于2.5%；對于內(nèi)能，相對差異小于1.5%。作為對照，圖4顯示了由混合物狀態(tài)方程計算的鎢合金壓強和內(nèi)能與純鎢之間的相對差異?？梢钥吹?，壓強的相對差異大于11%，內(nèi)能的相對差異大于4%。表明雖然合金的主要成分是鎢，但其熱力學(xué)性質(zhì)與純鎢有一定的差別，本研究給出的理論模型可以區(qū)分這一差別。

圖3 兩種狀態(tài)方程得到的鎢合金壓強和內(nèi)能的相對差異Fig.3 Relative differences of pressure and internal energy obtained from two equations of state

圖4 鎢合金和純鎢的壓強和內(nèi)能的相對差異Fig.4 Relative difference of pressure and internal energy obtained from tungsten alloy and pure tungsten

4 結(jié) 論

基于等溫等壓假設(shè)和體積相加原理，給出了由單質(zhì)狀態(tài)方程計算多種組元構(gòu)成的混合物狀態(tài)方程的理論方案，由此可以計算混合物的壓強和內(nèi)能，同時還可以得到定容比熱容、壓強系數(shù)、等溫聲速、等熵聲速等熱力學(xué)量。采用該混合物狀態(tài)方程，計算得到了一種4組元鎢合金的狀態(tài)方程，所得結(jié)果與狀態(tài)方程庫直接給出的合金狀態(tài)方程符合得很好，驗證了物理方案及程序的正確性。

本方案可應(yīng)用于在高溫高壓狀態(tài)下能較好滿足體積相加原理的多組元化合物、混合物及合金的狀態(tài)方程計算。

[1] 徐錫申,張萬箱.實用物態(tài)方程理論導(dǎo)引 [M].北京:科學(xué)出版社,1986:234.

XU X S,ZHANG W X.Introduction to theory of applied equations of state [M].Beijing:Science Press,1986:234.

[2] 王正言,李茂生,陳棟泉,等.混合物物態(tài)方程的體積相加模型和熱力學(xué)自洽條件 [J].高壓物理學(xué)報,1999,13(1):37-41.

WANG Z Y,LI M S,CHEN D Q,et al.Volume adding model and thermodynamic self-consistency for equation of state of mixtures [J].Chinese Journal of High Pressure Physics,1999,13(1):37-41.

[3] 唐 鴿,江少恩,易有根,等.混合物質(zhì)高壓狀態(tài)方程的計算 [J].強激光與粒子束,2008,20(2):247-249.

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[4] 王學(xué)容,王建國.混合物物態(tài)方程的計算 [J].強激光與粒子束,2011,23(8):2083-2089.

WANG X R,WANG J G.Calculation of equation of state of material mixture [J].High Power Laser and Particle Beams,2011,23(8):2083-2089.

[5] CRANFILL C W.EOS of a material mixture in pressure equilibrium:LA-13661 [R].Los Alamos:Los Alamos National Laboratory,2000.