胡衛(wèi)東，曹文貴，袁青松

(1. 湖南大學 巖土工程研究所，湖南 長沙　410082；2. 湖南理工學院 土木建筑工程學院，湖南 岳陽　414000)

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臨坡雙層粘土地基極限承載力的上限分析*1

胡衛(wèi)東1,2?，曹文貴1，袁青松1

(1. 湖南大學 巖土工程研究所，湖南 長沙410082；2. 湖南理工學院 土木建筑工程學院，湖南 岳陽414000)

摘要：在現(xiàn)有研究基礎上，結(jié)合臨坡條形基礎雙層粘土地基臨近邊坡的非對稱性特征和層狀地基特征，構建出臨坡條形基礎雙層粘土地基的多滑塊組合單側(cè)滑移破壞模式；根據(jù)速度相容關系和速度三角形閉合條件，確定出多滑塊離散模式相對應的機動允許速度場；引入上限極限分析理論，導出臨坡條形基礎雙層粘土地基極限承載力計算模型，在此模型上采用序列二次規(guī)劃算法進行優(yōu)化求解，建立了臨坡條形基礎雙層粘土地基極限承載力確定方法.利用Matlab的符號運算功能和優(yōu)化函數(shù)編程計算進行實例分析，并與有限元數(shù)值計算結(jié)果進行對比分析，表明了本文研究方法的可行性與合理性.

關鍵詞：臨坡地基；雙層粘土地基；上限分析；條形基礎；極限承載能力

目前，均質(zhì)淺基礎地基的承載力問題已經(jīng)有了較深入研究，但實際上工程大部分地基都是非均質(zhì)層狀地基，土層之間的力學指標差別較大，使得成層土地基與均質(zhì)土地基在破壞機理和破壞模式上有著顯著不同，其相應地基極限承載力也必然存在較大差別，因此，開展成層土地基承載力確定方法的研究有著重要的工程意義，這也正是本文研究的出發(fā)點.

由于受到土層厚度和力學強度指標等的影響，成層土地基的破壞模式更加復雜，給成層土地基承載力確定方法的研究造成了較大困難，盡管如此，不少學者通過長期研究，在成層土地基承載力確定方法方面取得了長足的進步，形成了包括極限平衡法、滑移線法、極限分析法和數(shù)值分析法等多種研究方法[1-11].然而，已有成層土地基承載力確定方法的研究仍然存在一定程度的問題和不足，如Hasen[1]加權平均法取有效深度范圍內(nèi)不同土層厚度的加權平均強度后直接用于均質(zhì)土的Hasen公式，其方法由于簡單實用得到了較為廣泛的運用，但仍然只是一種半經(jīng)驗方法；Meyerhof和Hanna[2]提出的剪切理論認為上部土層發(fā)生沖剪破壞，下部土層發(fā)生整體剪切破壞，經(jīng)過大量模型試驗檢驗該理論運用于成層土地基極限承載力計算具有一定合理性，但只能解決硬土層下臥軟土層地基承載力問題；楊永新[3]等基于滑移線場理論，研究了極限平衡區(qū)中上層粉土和下層砂土的地基承載能力，其研究方法的適應性仍受到一定限制；Zhu[4]等及Burd和Frydman[5]等采用數(shù)值分析方法能有效解決復雜邊界問題和非均質(zhì)土層問題，但由于土體強度參數(shù)選擇的困難，也并沒有在實際工程應用中被廣泛接受；Florkiewxicz[6]等基于極限分析上限理論，采用多滑塊組合破壞模式研究雙層和三層非水平分層地基的極限承載力，經(jīng)過與其它理論研究方法結(jié)果和實驗結(jié)果的對比分析，驗證了其正確性和有效性；Michalowski[7]等采用折線間斷面形式構建了無粘性土下臥飽和軟粘土雙層地基的機動速度場，對比分析了多種破壞模式的適用性，但是上述兩者確定的機動速度場實際應用到臨坡地基當中仍有待進一步改進.

近年來，臨近斜坡淺基礎下層狀粘土地基廣泛出現(xiàn)在各類巖土工程結(jié)構中，但就目前來說，從臨坡地基出發(fā)開展臨坡層狀粘土地基破壞模式和承載力性狀的研究還不夠深入.已有的臨坡均質(zhì)粘土地基破壞模式大多假定滑動面為圓弧或?qū)?shù)螺旋線[12]，但現(xiàn)實情況下，由于斜坡的存在和層狀構造土的性質(zhì)各異，臨坡層狀粘土地基應力-應變分布極為復雜，使得其在地基破壞模式上與臨坡均質(zhì)粘土地基相比已發(fā)生了很大改變，層狀地基越不均質(zhì)，真正的最危險滑動面偏離圓弧滑動面越遠，而且也并非對數(shù)螺旋線就能逼近真實滑動面，因此，臨坡層狀粘土地基的任意滑動面形狀的確定尤為重要.采用多滑塊組合破壞模式的上限極限分析方法，無需事先對極限狀態(tài)下的連續(xù)滑動面形狀做出各種假設，能有效結(jié)合地基臨近斜坡和層狀構造的特征，真實反映層狀地基粘土重度、粘聚力、土層厚度、埋深和坡角等不同影響因素作用下的破壞模式，而且，上限極限分析方法能避免對滑塊間作用力過多假設，不需考慮土體復雜的應力-應變關系且理論嚴謹，這就為臨坡成層土地基承載力確定方法的研究提供了一條有效的研究途徑，這也正是本文研究的重要內(nèi)容之一.

為此，本文將從臨坡條形基礎雙層粘土地基破壞模式研究入手，在考慮基礎埋深和臨坡距離等影響的基礎上，采用多滑塊組合破壞模式，利用上限極限分析方法，構建臨坡條形基礎雙層粘土地基機動允許的速度場，建立新的臨坡條形基礎雙層粘土地基極限承載力分析模型，以期完善臨坡地基承載力分析的理論與方法.

1臨坡雙層粘土地基破壞模式

已有研究成果表明，采用單側(cè)滑動破壞模式的臨坡地基極限承載力分析方法往往較為保守和安全[13]，為此，本文假設臨坡條形基礎雙層粘土地基在均布極限荷載Qu作用下，沿ACD滑動破壞面發(fā)生單側(cè)滑動破壞，如圖1所示.

圖1　臨坡條形基礎雙層粘土地基破壞模式

上述即為本文確定的臨坡條形基礎雙層粘土地基的多滑塊組合破壞模式，根據(jù)圖1中的幾何關系，剛性三角形多滑塊破壞幾何模型實際由2n個幾何可變參量αi，βi(i=1,…,n)確定，其它參量如li，di，Si(i=1,…,n)等均可由以上可變參量求得，其具體分析過程如下：

(1)

(2)

(3)

三角形滑塊底邊邊長di其大小可表示為：

(4)

(5)

(6)

沿滑動面上n個三角形滑塊的面積，其大小可表示為:

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

式中i=2,…,n.

斜坡頂面水平，條形基礎外側(cè)邊緣距坡頂距離L可用距離比系數(shù)a表示，則有:

L=ab

(12)

斜坡表面為直線，具有足夠延伸長度，斜坡傾角為η，于是，斜坡上第n+1個三角形被動滑塊BDE的剛體幾何形狀即可確定，其三角形滑塊兩個底角μ和ξ及面積SBDE均可由以上幾何參量表示.

(13)

(14)

(15)

至此，構建出了臨坡條形基礎雙層粘土地基多剛性滑塊組合的幾何破壞模型，該分析模型較好地反映了臨坡雙層地基臨近邊坡的非對稱性特征和雙層地基層狀特征，為本文采用極限分析方法確定臨坡條形基礎雙層粘土地基極限承載力奠定了堅實基礎.在此基礎上，為了保證單側(cè)滑移幾何破壞機構成立，剛性滑塊的幾何變量還應滿足以下邊界約束條件：

(16)

滑動破壞面ACD需滿足破壞面上凹的限定，即

0<θ1<θ2<…<θi<…<θn<π

(17)

式中θ表示邊界滑動面線段順時針方向旋轉(zhuǎn)至向下垂直線的夾角(如圖1所示).

同時剛性三角形滑塊BDE還須滿足以下幾何約束條件

(18)

上式亦可表示為約束方程

(19)

2機動允許速度場的建立

臨坡雙層粘土地基破壞機構機動允許速度場的構建是采用極限上限分析方法確定臨坡地基承載力必須解決的關鍵問題，為了確定允許速度場，首先做如下假定：

1)臨坡地基為水平層狀地基，持力層范圍內(nèi)有兩層飽和粘土，采用不排水剪有效粘聚力，內(nèi)摩擦角φ1=φ2=0.

2)條形基礎基底與地基土間允許產(chǎn)生相對滑動，基礎以速度VP垂直向下運動.

3)臨坡粘土地基服從Mohr-Coulomb屈服準則和相關聯(lián)流動法則.

在上述假設基礎上，根據(jù)速度相容的閉合三角形幾何關系，可得到如圖 2所示速度關系和圖3所示破壞機構的機動允許速度場[16]，再由矢量分析原理及速度相容性要求可以推導出各速度間斷面上速度.

圖2　速度關系

1)由圖2 所示速度關系，根據(jù)速度相容關系，條形基礎運動速度方向垂直向下，其大小可表示為:

VP=V1sinβ1

(20)

式中V1表示滑塊1斜向下的運動速度，考慮到AC為速度間斷面，V1實際為AC面上的間斷速度.

2)根據(jù)圖3所示破壞機構的機動允許速度場，剛性滑塊在運動中不產(chǎn)生重疊和扭曲畸變，滿足相容速度閉合的三角形幾何關系，由此可計算各速度間斷線上的速度[17]，滑動破壞面ACD即各三角形滑塊底邊上間斷速度Vi實際方向為沿滑動面切向方向，其大小可表示為：

(21)

圖3　破壞機構相應允許速度場

各三角形滑塊間接觸面間斷速度Vi,i+1方向為沿滑塊間接觸面切向方向，其大小可表示為:

(22)

3)斜坡上剛性滑塊BDE為被動滑塊體，考慮到各剛性滑塊之間擠壓運動必然具備連續(xù)性的特點，滑塊BDE的運動速度與第n號滑塊體上速度Vn不僅方向完全相同，大小也相等，因此，BD面兩側(cè)速度連續(xù)，BD面不是速度間斷面，BD面上沒有能量耗散.

3能量耗散率的計算

3.1外力功率

本文研究問題的外力包括考慮埋深引起的分布力q、基底極限壓力Qu及各滑體自重力，各外力功率具體計算方法如下：

1)q外力功率Wq

(23)

式中q為基礎外側(cè)坡頂面由于埋深作用的豎向均勻分布壓力，不計基礎埋深內(nèi)土體抗剪強度對地基極限承載力的影響，則其值可用式(24)表示

q=γ1H

(24)

式中γ1為第1層粘土即埋深內(nèi)地基土體重度；H為基礎的埋置深度.

2)Qu外力功率WQu

WQu=QubV1sinβ1

(25)

(26)

(27)

式中γ2為第2層粘土重度.

(28)

(29)

式中i=2,…,n.于是，第1層粘土地基其余滑塊受自重外力總功率為

(30)

式中：

(31)

第2層粘土地基其余滑塊受自重外力總功率為：

(32)

式中：

(33)

5)斜坡上滑塊BDE自重外力功率WSBDE

(34)

將式(1)和式(15)代入，經(jīng)化簡，可得

(35)

于是，總的外力功率W為:

(36)

3.2內(nèi)能耗散率

本文研究問題的內(nèi)能耗散率包括各滑塊間速度間斷面和破壞間斷面ACD的能量耗散率，具體分析方法如下：

(37)

式中i=1,…,n-1;c1為第1層飽和粘土有效粘聚力.于是，第1層粘土地基滑塊間速度間斷面總能量耗散率為:

(38)

式中：

(39)

(40)

式中i=1,…,n-1;c2為第2層飽和粘土有效粘聚力.于是，第2層粘土地基滑塊間速度間斷面總能量耗散率為：

(41)

式中：

(42)

2)AC間斷面能量耗散率Dd1

(43)

(44)

于是，總的內(nèi)能耗散率D為：

(45)

4臨坡雙層粘土地基極限承載力上限解

根據(jù)上限定理，對于一個允許的機動速度場，外力做功功率與內(nèi)能耗散率必然相等，在所有與任意機動允許的速度場相對應的極限荷載中，真正的極限荷載最小[17-19].根據(jù)前面確定的臨坡條形基礎雙層粘土地基破壞模式和機動允許速度場，利用上限分析方法可確定極限承載力上限解.

WSBDE)/bV1sinβ1

(46)

根據(jù)上限定理，最優(yōu)的上限解應是滑動地基處于極限狀態(tài)時，臨坡地基極限承載力Qu上限解的最小值，即式(46)的最小值，利用Matlab的符號運算功能編程計算可以得到臨坡條形基礎雙層粘土地基極限承載力的目標函數(shù)表達式，于是，利用上限法求解臨坡地基極限承載力可轉(zhuǎn)化為非線性優(yōu)化問題：

Qu=f(αi,βi)

(47)

在對上式進行優(yōu)化求解時，須滿足式(16)～(19)非線性約束條件，由于序列二次規(guī)劃算法(SQP算法)非常適應于高度非線性問題，且具有較高的效率，因此，本文采用SQP優(yōu)化算法[15]，在Matlab環(huán)境下編制相應程序，對該問題進行優(yōu)化求解.

5驗證與比較

5.1理論計算與有限元分析對比

為了驗證本文臨坡地基雙層粘土地基極限承載力上限分析解法的可行性，結(jié)合工程算例采用有限元分析軟件Abaqus進行臨坡地基極限承載力模擬分析并與本文方法分析結(jié)果進行對比.某臨坡條形基礎雙層地基，基礎埋深H=1 m，地基持力層范圍內(nèi)為兩層飽和粘土，第1層粘土厚度h=1.0 m，c1=40 kPa，γ1=18 kN/m3，φ1=0°，第2層粘土c2=20 kPa，γ2=16 kN/m3，φ2=0°.基礎寬度b=2 m，基礎外側(cè)邊緣距坡頂距離與基礎寬度之比a=1，邊坡坡角η=20°.

本次數(shù)值分析按平面應變問題模擬臨坡雙層粘土地基，條形基礎為剛性基礎，臨坡地基材料的彈性模量E=45×103kPa，泊松比υ=0.3，土體采用彈塑性本構模型，服從線性Mohr-Coulomb屈服準則.有限元分析得到荷載-位移(P-S)曲線如圖4所示，荷載加至Qu=123.5 kPa時，臨坡地基滑動破壞，其相應位移場如圖5所示.

圖4　臨坡雙層粘土地基P-S曲線

圖5　臨坡雙層粘土地基位移場

本文采用多滑塊組合分析模型，一般來說塊體劃分越小，剛性滑塊的數(shù)量越多，結(jié)果越接近于真實解，取20個滑塊時能夠獲得較好的上限解.根據(jù)本文方法計算該臨坡條形基礎雙層粘性地基工程算例，得到臨坡地基極限承載力Qu=128.6kPa，結(jié)果表明本文方法計算結(jié)果與有限元數(shù)值分析結(jié)果相差較小，本文上限解是較好的上限解，驗證了本文上限分析方法的可行性與適用性.同時繪制本文分析方法對應極限狀態(tài)下的破壞模式如圖6所示，與數(shù)值模擬分析所得潛在滑裂面接近，說明了本文臨坡雙層地基多滑塊組合破壞模型的有效性.

圖6　優(yōu)化后的破壞模式

5.2理論計算與其他上限方法的對比

為了進一步驗證本文承載力公式和優(yōu)化算法的正確性與優(yōu)越性，采用以下算例，上下粘土層參數(shù)取相同值，研究問題變?yōu)閱螌油恋呐R坡地基承載力問題，與同樣采用單側(cè)滑移破壞模式，引入上限極限理論計算臨坡地基極限承載力的文獻[13-15]進行比較.某臨坡條形基礎地基，基礎寬度b=2 m，基礎距坡頂距離與基礎寬度比a=0，基礎埋深H=2 m，地基土體重度γ=18 kN/m3，土體內(nèi)摩擦角φ=30°，地基土粘聚力c=20 kPa，邊坡角η=20°.計算得到臨坡條形基礎地基極限承載力Qu，并與文獻[13-15]的計算結(jié)果進行比較分析，如表1所示.

表1　計算結(jié)果比較(距離比a=0)

本文與以上3種文獻都利用了上限極限分析理論和優(yōu)化方法對臨坡地基極限承載力進行求解，通過比較計算結(jié)果可以看出：本文計算所得的地基極限承載力Qu數(shù)值略小,是較優(yōu)的上限解，在工程實際應用中偏于安全；同時幾種方法的結(jié)果較接近，這也進一步說明了本文承載力公式和優(yōu)化算法的正確性和合理性.

6結(jié)論

1)本文從臨坡地基出發(fā)，結(jié)合臨坡成層土地基臨近邊坡的非對稱性特征和層狀地基特征，開展臨坡條形基礎雙層粘土地基承載力性狀的研究，構建了臨坡地基多滑塊組合單側(cè)滑移破壞模式，為臨坡成層土地基承載力確定奠定了堅實的理論基礎.

2)在臨坡條形基礎雙層粘土地基多滑塊破壞模式的基礎上構建對應機動允許速度場，引入上限極限分析理論和優(yōu)化方法建立了可考慮地基破壞模式非對稱性、地基土成層性狀、基礎埋深和基礎與坡頂距離等影響的臨坡地基極限承載力的確定方法.

3)結(jié)合工程算例，通過與有限元數(shù)值分析方法及其他上限極限分析方法的對比分析，驗證了本文臨坡雙層粘土地基極限承載力上限解是較好的上限解，其滑動破壞面接近數(shù)值模擬潛在滑動面，表明本文方法的可行性與合理性.

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Upper Bound Solution for Ultimate Bearing Capacity of the Two-layer Clay Foundation Adjacent to Slope

HU Wei-dong1, 2?，CAO Wen-gui1，YUAN Qing-song1

(1.Geotechnical Engineering Institute, Hunan Univ, Changsha，Hunan410082, China;2. College of Civil Engineering and Architecture,Hunan Institute of Science and Technology , Yueyang,Hunan414000, China)

Abstract:Combined with the characteristics of the asymmetry failure mode of the two-layer clay foundation near slope and layered properties, the unilateral sliding failure mode of two-layer foundation under strip footing adjacent to slope was built on the basis of the existing relevant researches. The failure mechanism was formed by many sliders. According to speed compatible relationships and triangle closed condition, the corresponding planar kinematically admissible velocity field was constructed. By introducing the upper limit analysis theory, the ultimate bearing capacity calculation model of strip footings over two-layer foundation soil was derived. A new approach for determining the ultimate bearing capacity of two-layer foundation under strip footing adjacent to slope was put forward by using sequential quadratic programming optimization algorithm. By the use of Matlab symbolic operation function and optimization function, the finite element numerical analysis results were analyzed and compared with programmed calculation. The feasibility and rationality of the proposed approach was shown.

Key words:ground foundation adjacent to slope; two-layer soils; upper limit analysis; strip footing; ultimate bearing capacity

中圖分類號：U416.14

文獻標識碼：A

作者簡介：胡衛(wèi)東(1976-)，男，湖南岳陽人，湖南理工學院副教授，湖南大學博士研究生?通訊聯(lián)系人，E-mail:huweidong506@163.com

*收稿日期：2014-12-24基金項目：國家自然科學基金資助項目(51378198)，National Natural Science Foundation of China(51378198)；高等學校博士學科點專項科研基金資助項目(20130161110017)

文章編號：1674-2974(2016)01-0110-07