薛　紅，衡　曉(西安工程大學理學院，西安 710048)

?

隨機負債下脆弱期權(quán)定價

薛紅，衡曉(西安工程大學理學院，西安 710048)

摘要：假定股票價格、公司資產(chǎn)價格和公司負債均服從次分數(shù)布朗運動驅(qū)動的隨機微分方程，建立次分數(shù)Brown運動環(huán)境下的金融市場模型，利用次分數(shù)Brown運動隨機分析理論及保險精算的方法，獲得隨機負債下脆弱期權(quán)定價公式.

關鍵詞：次分數(shù)布朗運動；隨機負債；脆弱期權(quán)；保險精算方法

20世紀70年代 Black-Scholes發(fā)表了關于期權(quán)定價的開創(chuàng)性論文[1].目前國內(nèi)外有不少的學者研究了期權(quán)的定價問題[2-3]，Johnson和Stulz首次分析了含有信用風險的期權(quán)定價問題[4]，并將這種容易遭受交易對手違約的期權(quán)稱為脆弱期權(quán).Klein在期權(quán)出售者的信用風險與基礎資產(chǎn)價值相關的假設下得到脆弱期權(quán)的定價公式[5-6]；黃玲君應用風險中性原理，利用概率論的方法給出脆弱歐式期權(quán)的定價公式[7]；潘堅利用對沖方法到處脆弱歐式期權(quán)的定價模型，并利用偏微分方程方法得到脆弱期權(quán)的顯示定價公式[8]；許艷紅利用保險精算方法，推導出脆弱期權(quán)定價公式[9].但次分數(shù)布朗運動是比布朗運動更為一般高斯過程，很多學者建議用次分數(shù)Brown運動來描述金融市場數(shù)學模型[10-12].該文利用次分數(shù)Brown運動的隨機分析理論以及保險精算方法[13]對脆弱期權(quán)定價問題進行了研究，并獲得隨機負債下脆弱期權(quán)定價公式.

1金融市場數(shù)學模型

假設股票價格St、公司價值Vt與公司負債Dt分別服從由次分數(shù)Brown運動驅(qū)動的隨機微分方程

(1)

(2)

(3)

引理1[17]隨機微分方程(1)，(2)的解分別為

βS(u)=μ1,u∈(0,t);

公司資產(chǎn)價值{Vt,t≥0}在[0,t]上的期望收益率

βV(u)=μ2,u∈(0,t);

公司負債{Dt,t≥0}在[0,t]上的期望收益率

βD(u)=μ3,u∈(0,t);

證明：由隨機微分方程可證.

2隨機負債下脆弱期權(quán)定價公式

設在期權(quán)到期T，若VT≥DT，則不發(fā)生違約，公司的債權(quán)人可以得到金額XT；若VT

對于脆弱歐式看漲期權(quán)，不違約情形下?lián)p益為XT=(ST-K)+, 在違約或破產(chǎn)情況下?lián)p益為XT=δT(ST-K)+.

定義3脆弱歐式看漲期權(quán)在0時刻的保險精算價格定義為

其中

標的資產(chǎn)St用期望回報率βs(u)貼現(xiàn)，公司資產(chǎn)價值Vt用期望回報率βV(u)貼現(xiàn)，公司負債Dt用期望回報率βD(u)貼現(xiàn)，而執(zhí)行價格K用無風險利率r貼現(xiàn).

定理1脆弱歐式看漲期權(quán)在0時刻的保險精算價格為

其中

b1=a1-σSTH,b2=a2-ρσSTH,

c1=a1+ρσδTH,c2=-a2-σδTH,

d1=a1+(ρσδ-σS)TH,

d=-a2+(ρσS-σδ)TH,

證明 記

E1-E2+E3-E4.

其中

exp{-rT}KN2(b1,b2,ρ)

從而定理證畢.

參考文獻：

[1]BLAK F, SCHOLES M. The pricing of options and corporate liabilities [J]. Journal of Political Economy, 1973, 81 (3): 637-659.

[2]HULL J C. 期權(quán)、期貨和衍生證券[M]．張?zhí)諅プg. 北京: 華夏出版社, 1997. 205-252.

[3]姜禮尚. 期權(quán)定價的數(shù)學模型和方法[M]．北京：高等教育出版社，2003.

[4]JOHNSON H, STULZ R. The pricing of options under default risk [J]. Journal of Finance, 1987, 42(2): 267-280.

[5]KLEIN P, INGLIS M. Valuation of European options subject to financial distress and interest rate risk [J]. Journal of Derivatives, 1999, 6(3): 44-56.

[6]KLEIN P. Pricing Black-Scholes options with correlated credit risk [J]. Journal of Banking and Finance, 1996, 20(7): 1121-1129.

[7]LINGJUN H, SHENGWU Z, YAN L,etal. Pricing of vulnerable European options with stock price following fractional Brownian motion [J]. Journal of Yunnan University, 2010, 32(2): 109-112.

[8]潘堅. 分數(shù)次Brown運動下脆弱歐式期權(quán)定價的新解法[J]. 贛南師范學院學報, 2012, 3: 14-18．

[9]許艷紅, 薛紅, 王曉東. 隨機利率下的脆弱期權(quán)定價[J]. 西安工程科技學院學報, 2014, 28(1): 133-139.

[10]BOJDEECK T, GOROSTIZA L G, TALARCZYK A. Fractional Brownian Density Process and Its Self-Intersection Local Time of Order k[J]. Journal of Theoretical Probability, 2004, 17(3): 717-739.

[11]BOJDEECK T, GOROSTIZA L G, TALARCZYK A. Limit theorems for occupation time fluctuations of branching systems long-range dependence[J]. Stachastic Process and Application, 2006, 116: 1-18.

[12]BOJDEECK T, GOROSTIZA L G, TALARCZYK A. Some extensions of fractional Brownian motion related to particle systens [J]. Elect Comm Probab, 2007, 12: 161-172.

[13]鄭紅, 郭亞軍, 李勇, 等. 保險精算方法在期權(quán)定價模型中的應用[J]. 東北大學學報：自然科學版, 2008, 29(3): 429-432.

[14]申廣君, 何坤, 閆理坦. 次分數(shù)布朗運動的幾點標記[J]. 山東大學學報:理學報, 2011, 46(3): 102-107.

[15]王磊, 王楊, 張寄洲. 隨機波動率下的脆弱期權(quán)定價問題[J]. 上海師范大學學報：自然科學版, 2011, 40(6): 637-643.

[16]梁巖, 張興永, 李正杰,等.基于分數(shù)布朗運動的脆弱歐式看漲期權(quán)的風險值分析[J]. 徐州師范大學學報：自然科學版, 2011, 29(1): 49-51.

[17]WEILIN X, WEIGUO Z, WEIJUN X. Pricing covered warrants in a sub-fractional brownian motion with transaction costs [J]. Chinese Journal of Management Science, 2014, 22(5): 1-7.

[18]HONG X, QIAOYAN L. An actuarial approach to the minimum or maximum option pricing in fractional Brownian motion environment[C]//Now York: IEEE Press, 2010. 216-219.

[19]李萍, 薛紅, 李琛偉. 分數(shù)布朗運動下具有違約風險未定權(quán)益[J]. 紡織高?；A科學學報, 2012, 25(4): 462-466.

[20]梁巖, 張興永, 黃玲君, 等. 基于分數(shù)布朗運動的脆弱歐式期權(quán)的風險值分析[J]. 貴州大學學報：自然科學版, 2010, 27(6): 135-139.

Vulnerable option pricing under stochastic liability

XUE Hong, HENG Xiao

(School of Science, Xi’an Polytechnic University, Xi’an 710048, China)

Abstract：It was assumed that stock price, corporate value and liability obey the stochastic differential equation driven by sub-fractional Brownian motion. The vulnerable option pricing model was established using the stochastic analysis of the fractional Brownian motion and the method of actuarial mathematics. The pricing formula for vulnerable option was obtained by sub-fractional Brownian motion.

Key words：sub-fractional Brownian motion; stochastic liability; vulnerable option; actuarial approach

中圖分類號：F830

文獻標識碼：A

文章編號：1672-0946(2016)01-0103-04

作者簡介：薛紅(1964-)，男，博士，教授，研究方向：隨機分析及金融工程.

基金項目：陜西省自然科學基金項目(2010JM1010)；陜西省教育廳自然科學專項基金項目(12JK0862).

收稿日期：2015-06-04.