薛　紅，衡　曉(西安工程大學(xué)理學(xué)院，西安 710048)

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隨機(jī)負(fù)債下脆弱期權(quán)定價(jià)

薛紅，衡曉(西安工程大學(xué)理學(xué)院，西安 710048)

摘要：假定股票價(jià)格、公司資產(chǎn)價(jià)格和公司負(fù)債均服從次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)的隨機(jī)微分方程，建立次分?jǐn)?shù)Brown運(yùn)動(dòng)環(huán)境下的金融市場(chǎng)模型，利用次分?jǐn)?shù)Brown運(yùn)動(dòng)隨機(jī)分析理論及保險(xiǎn)精算的方法，獲得隨機(jī)負(fù)債下脆弱期權(quán)定價(jià)公式.

關(guān)鍵詞：次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)；隨機(jī)負(fù)債；脆弱期權(quán)；保險(xiǎn)精算方法

20世紀(jì)70年代 Black-Scholes發(fā)表了關(guān)于期權(quán)定價(jià)的開(kāi)創(chuàng)性論文[1].目前國(guó)內(nèi)外有不少的學(xué)者研究了期權(quán)的定價(jià)問(wèn)題[2-3]，Johnson和Stulz首次分析了含有信用風(fēng)險(xiǎn)的期權(quán)定價(jià)問(wèn)題[4]，并將這種容易遭受交易對(duì)手違約的期權(quán)稱為脆弱期權(quán).Klein在期權(quán)出售者的信用風(fēng)險(xiǎn)與基礎(chǔ)資產(chǎn)價(jià)值相關(guān)的假設(shè)下得到脆弱期權(quán)的定價(jià)公式[5-6]；黃玲君應(yīng)用風(fēng)險(xiǎn)中性原理，利用概率論的方法給出脆弱歐式期權(quán)的定價(jià)公式[7]；潘堅(jiān)利用對(duì)沖方法到處脆弱歐式期權(quán)的定價(jià)模型，并利用偏微分方程方法得到脆弱期權(quán)的顯示定價(jià)公式[8]；許艷紅利用保險(xiǎn)精算方法，推導(dǎo)出脆弱期權(quán)定價(jià)公式[9].但次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)是比布朗運(yùn)動(dòng)更為一般高斯過(guò)程，很多學(xué)者建議用次分?jǐn)?shù)Brown運(yùn)動(dòng)來(lái)描述金融市場(chǎng)數(shù)學(xué)模型[10-12].該文利用次分?jǐn)?shù)Brown運(yùn)動(dòng)的隨機(jī)分析理論以及保險(xiǎn)精算方法[13]對(duì)脆弱期權(quán)定價(jià)問(wèn)題進(jìn)行了研究，并獲得隨機(jī)負(fù)債下脆弱期權(quán)定價(jià)公式.

1金融市場(chǎng)數(shù)學(xué)模型

假設(shè)股票價(jià)格St、公司價(jià)值Vt與公司負(fù)債Dt分別服從由次分?jǐn)?shù)Brown運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)的隨機(jī)微分方程

(1)

(2)

(3)

引理1[17]隨機(jī)微分方程(1)，(2)的解分別為

βS(u)=μ1,u∈(0,t);

公司資產(chǎn)價(jià)值{Vt,t≥0}在[0,t]上的期望收益率

βV(u)=μ2,u∈(0,t);

公司負(fù)債{Dt,t≥0}在[0,t]上的期望收益率

βD(u)=μ3,u∈(0,t);

證明：由隨機(jī)微分方程可證.

2隨機(jī)負(fù)債下脆弱期權(quán)定價(jià)公式

設(shè)在期權(quán)到期T，若VT≥DT，則不發(fā)生違約，公司的債權(quán)人可以得到金額XT；若VT

對(duì)于脆弱歐式看漲期權(quán)，不違約情形下?lián)p益為XT=(ST-K)+, 在違約或破產(chǎn)情況下?lián)p益為XT=δT(ST-K)+.

定義3脆弱歐式看漲期權(quán)在0時(shí)刻的保險(xiǎn)精算價(jià)格定義為

其中

標(biāo)的資產(chǎn)St用期望回報(bào)率βs(u)貼現(xiàn)，公司資產(chǎn)價(jià)值Vt用期望回報(bào)率βV(u)貼現(xiàn)，公司負(fù)債Dt用期望回報(bào)率βD(u)貼現(xiàn)，而執(zhí)行價(jià)格K用無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r貼現(xiàn).

定理1脆弱歐式看漲期權(quán)在0時(shí)刻的保險(xiǎn)精算價(jià)格為

其中

b1=a1-σSTH,b2=a2-ρσSTH,

c1=a1+ρσδTH,c2=-a2-σδTH,

d1=a1+(ρσδ-σS)TH,

d=-a2+(ρσS-σδ)TH,

證明 記

E1-E2+E3-E4.

其中

exp{-rT}KN2(b1,b2,ρ)

從而定理證畢.

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Vulnerable option pricing under stochastic liability

XUE Hong, HENG Xiao

(School of Science, Xi’an Polytechnic University, Xi’an 710048, China)

Abstract：It was assumed that stock price, corporate value and liability obey the stochastic differential equation driven by sub-fractional Brownian motion. The vulnerable option pricing model was established using the stochastic analysis of the fractional Brownian motion and the method of actuarial mathematics. The pricing formula for vulnerable option was obtained by sub-fractional Brownian motion.

Key words：sub-fractional Brownian motion; stochastic liability; vulnerable option; actuarial approach

中圖分類號(hào)：F830

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1672-0946(2016)01-0103-04

作者簡(jiǎn)介：薛紅(1964-)，男，博士，教授，研究方向：隨機(jī)分析及金融工程.

基金項(xiàng)目：陜西省自然科學(xué)基金項(xiàng)目(2010JM1010)；陜西省教育廳自然科學(xué)專項(xiàng)基金項(xiàng)目(12JK0862).

收稿日期：2015-06-04.