文湖南省郴州市嘉禾縣第一中學 李石勇
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換元法在解題中的應用
文湖南省郴州市嘉禾縣第一中學李石勇
換元法是一種非常重要的數(shù)學方法,可以通過變換研究對象將問題移至新對象的知識背景中,將非標準型問題標準化,不熟悉的問題熟悉化,復雜的問題簡單化。
例1求函數(shù)y=sinxcosx+sinx+cosx的最值。
當t=- 1時,ymin=- 1,當時,
點評:sinxcosx是二次式,sinx+cosx是一次式,令t=sinx+cosx,變形后可化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題,使問題迎刃而解。
解:令t=x- 1,x∈[5,10 ],則t∈[4,9 ],得
總結:分式函數(shù),若分子二次,分母一次,則用換元法將分母整體換元并拆開,轉化成形如,即值域為,u∈D型函數(shù)求值域;同理,若分母二次,分子一次,則用換元法將分子整體換元并同除分子,轉化成形如為常數(shù)型函數(shù)求值域。