文湖南省郴州市嘉禾縣第一中學(xué)　李石勇

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換元法在解題中的應(yīng)用

文湖南省郴州市嘉禾縣第一中學(xué)李石勇

換元法是一種非常重要的數(shù)學(xué)方法，可以通過(guò)變換研究對(duì)象將問(wèn)題移至新對(duì)象的知識(shí)背景中，將非標(biāo)準(zhǔn)型問(wèn)題標(biāo)準(zhǔn)化，不熟悉的問(wèn)題熟悉化，復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化。

例1求函數(shù)y=sinxcosx+sinx+cosx的最值。

當(dāng)t=- 1時(shí)，ymin=- 1，當(dāng)時(shí)，

點(diǎn)評(píng)：sinxcosx是二次式，sinx+cosx是一次式，令t=sinx+cosx，變形后可化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問(wèn)題，使問(wèn)題迎刃而解。

解：令t=x- 1，x∈[5，10 ]，則t∈[4，9 ]，得

總結(jié)：分式函數(shù)，若分子二次，分母一次，則用換元法將分母整體換元并拆開，轉(zhuǎn)化成形如，即值域?yàn)椋瑄∈D型函數(shù)求值域；同理，若分母二次，分子一次，則用換元法將分子整體換元并同除分子，轉(zhuǎn)化成形如為常數(shù)型函數(shù)求值域。