楊曉晨,武彩萍,劉雪琴

(太原理工大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,太原 030024)

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求解更多極大T-傳遞內(nèi)部的方法

楊曉晨,武彩萍,劉雪琴

(太原理工大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,太原 030024)

摘要:在Fodor等給出的求解有限論域上極大T-傳遞內(nèi)部構(gòu)造方法的基礎(chǔ)上,對求解一個模糊關(guān)系的更多極大T-傳遞內(nèi)部的方法進行了討論。首先,從任意行出發(fā)，對一個模糊關(guān)系的極大T-傳遞內(nèi)部進行討論;其次,從任意列出發(fā)對其進行了研究;最后,對與一個模糊關(guān)系最近的極大T-傳遞內(nèi)部的求解方法進行了研究。

關(guān)鍵詞:模糊關(guān)系;T-傳遞性;極大T-傳遞內(nèi)部

模糊二元關(guān)系自Zadeh[1]提出以來,已被廣泛應(yīng)用于決策科學(xué)的諸多領(lǐng)域中,例如:聚類分析[2]、模糊量排序[3]、模糊選擇函數(shù)[4]、模糊偏好結(jié)構(gòu)[5]等。而在模糊關(guān)系的討論中,傳遞性占據(jù)著相當(dāng)重要的地位。1971年,Zadeh[6]提出了傳遞的概念,Ovchinnikov[7]又于1984年將它拓展為T-傳遞。

我們知道,從實際中獲取的數(shù)據(jù)往往很難滿足性質(zhì)P,特別是在模糊情況下。因此,Bandler，et al[8]提出了模糊關(guān)系具有某種性質(zhì)P的內(nèi)部與閉包的概念。接下來的問題是用一個關(guān)系的內(nèi)部或閉包代替原來不具有性質(zhì)P的關(guān)系。然而,并不是所有模糊關(guān)系的內(nèi)部與閉包都是存在的。例如,一個模糊關(guān)系的傳遞內(nèi)部就不存在。1978年,Defays[9]提出了極大傳遞內(nèi)部的概念,并給出了有限論域上任意模糊關(guān)系極大傳遞內(nèi)部的構(gòu)造方法。1994年, Fodor，et al[10]又給出了T為左連續(xù)t-模時,極大T-傳遞內(nèi)部的求解方法。具體方法如下:保持已知模糊關(guān)系的第一行不變,在第一行的基礎(chǔ)上構(gòu)造第二行,又通過第一行和第二行構(gòu)造第三行,依次進行下去,即可得到該關(guān)系的極大T-傳遞內(nèi)部。2010年,韓和王[11]又從最后一行出發(fā)得到已知關(guān)系不同的極大T-傳遞內(nèi)部。

基于上述構(gòu)造方法,我們從任意行或列出發(fā)尋找已知關(guān)系的極大T-傳遞內(nèi)部,并通過一個例子加以說明。由于一個模糊關(guān)系的極大T-傳遞內(nèi)部不是唯一的,我們還試圖尋找與已知關(guān)系距離最近的極大T-傳遞內(nèi)部。

1預(yù)備知識

本節(jié)我們給出了t-模、模糊蘊涵以及模糊關(guān)系T-傳遞性的相關(guān)定義與結(jié)論。

定義1.1[12]設(shè)，T:[0,1]×[0,1]→[0,1],若T滿足:

1) 對稱性:?x,y∈[0,1],

2) 單調(diào)性:?x1≤x2,y1≤y2,

3) 結(jié)合律:?x,y,z∈[0,1],

4) 邊界條件:?x∈[0,1],T(1,x)=x,則稱T為一個t-模。例如:T(x,y)=min(x,y)為一個t-模,我們稱之為取小t-模。T(x,y)=max(x+y-1,0)為一個t-模,我們稱它為Lukasiewiczt-模,記作W.

定義1.2[10]設(shè)，R為A上的模糊關(guān)系,T是一個t-模。若R滿足:?a,b,c∈A,T(R(a,c),R(c,b))≤R(a,b),則稱R是T-傳遞的。

定義1.4[7]設(shè),I:[0,1]×[0,1]→[0,1],若I(x,y)對x單減,對y單增,且滿足:I(1,0)=0,I(0,0)=I(1,1)=1,則稱I為一個模糊蘊涵,簡稱蘊涵。

2極大T-傳遞內(nèi)部求解的方法

首先介紹Fodor[10]等給出的求解有限論域上模糊關(guān)系的極大T-傳遞內(nèi)部的構(gòu)造方法。設(shè)有限論域A={a1,a2,…,an},R是A上的一個模糊關(guān)系,T是一個左連續(xù)t-模。

第一步:定義?a∈A,

其中

下面我們從R的任意行或列出發(fā),構(gòu)造R的不同的極大T-傳遞內(nèi)部。文中,設(shè)有限論域A={a1,a2,…,an},R是A上的一個模糊關(guān)系,記作n×n矩陣。T是一個左連續(xù)t-模。

2.1從任意行出發(fā)構(gòu)造R的極大T-傳遞內(nèi)部

定理2.1若R是A上的一個T-傳遞關(guān)系,R′是通過交換R的第l行與第m行,同時交換R的第l列與第m列得到的,則R′也是一個T-傳遞關(guān)系。

證明因為R是A上的一個T-傳遞關(guān)系,則?i,j,k,(1≤i,j,k≤n)有:

現(xiàn)交換R的第l行與第m行,得到:

再交換R1的第l列與第m列,得到:

綜合,即得:

下證R′是一個T-傳遞關(guān)系,即對?i,j,k,(1≤i,j,k≤n)有:

(Ⅰ)

以下分9種情況進行討論。

1) 當(dāng)i,j≠l,m時。

若k≠l,m,則

若k=l,則

若k=m,則

故，T(R′(ai,ak),R′(ak,aj))≤R′(ai,aj) .

2) 當(dāng)i≠l,m,j=l時。

若k≠l,m,則

若k=l,則

若k=m,則

故，T(R′(ai,ak),R′(ak,aj))≤R′(ai,aj).

3) 當(dāng)i≠l,m,j=m時。

若k≠l,m,則

若k=l,則

若k=m,則

故,T(R′(ai,ak),R′(ak,aj))≤R′(ai,aj).

4) 當(dāng)i=l,j≠l,m時。

若k≠l,m,則

若k=l,則

若k=m,則

故,T(R′(ai,ak),R′(ak,aj))≤R′(ai,aj) .

5) 當(dāng)i=m,j≠l,m時。

若k≠l,m,則

若k=l,則

若k=m,則

故,T(R′(ai,ak),R′(ak,aj))≤R′(ai,aj).

6) 當(dāng)i=l,j=m時。

若k≠l,m,則

若k=l,則

若k=m,則

故,T(R′(ai,ak),R′(ak,aj))≤R′(ai,aj).

7) 當(dāng)i=m,j=l時。

若k≠l,m,則

若k=l,則

若k=m,則

故,T(R′(ai,ak),R′(ak,aj))≤R′(ai,aj).

8) 當(dāng)i,j=l時。

若k≠l,m,則

若k=l,則

若k=m,則

故,T(R′(ai,ak),R′(ak,aj))≤R′(ai,aj).

9) 當(dāng)i,j=m時。

若k≠l,m,則

若k=l,則

若k=m, 則

故,T(R′(ai,ak),R′(ak,aj))≤R′(ai,aj).

綜上,(Ⅰ)成立。因此,R′是一個T-傳遞關(guān)系。

1) 若i,j≠l且i,j≠m,則

2) 若i≠l,m且j=l,則

3) 若i≠l,m且j=m,則

4) 若i=l且j≠l,m,則

5) 若i=m且j≠l,m,則

6) 若i=l且j=m,則

7) 若i=m且j=l,則

8) 若i=j=l,則

9) 若i=j=m,則

2.2從任意列出發(fā)構(gòu)造R的極大T-傳遞內(nèi)部

本節(jié)我們先從R的第一列出發(fā)構(gòu)造R的極大T-傳遞內(nèi)部。

定理2.3若R是A上的一個T-傳遞關(guān)系,RT也是一個T-傳遞關(guān)系。

證明由R是A上的一個T-傳遞關(guān)系,則對?i,j,k,(1≤i,j,k≤n)有:

又因為

因此,T(RT(ai,ak),RT(ak,aj))≤RT(ai,aj),即RT是一個T-傳遞關(guān)系。

下面我們從任意列出發(fā)求解一個模糊關(guān)系的極大T-傳遞內(nèi)部。

證明由定理2.2、定理2.3及定理2.4立得。

2.3舉例

在下面的例子中,若將R的第i行作為第一行,第j行作為第二行,第k行作為第三行,同時將第i列作為第一列,第j列作為第二列,第k列作為第三列,則將得到的關(guān)系記作Rijk.

例1設(shè)A={a,b,c},定義R如下:

令T(x,y)=W(x,y)=max(x+y-1,0),IW(x,y)=min(1-x+y,1).顯然,R不是一個T-傳遞關(guān)系。現(xiàn)在我們根據(jù)上述方法求解R的極大T-傳遞內(nèi)部。

方法1：從任意行出發(fā)求解R的極大T-傳遞內(nèi)部。由Fodor等的方法得到的極大T-傳遞內(nèi)部:

與由R123得到的極大T-傳遞內(nèi)部相同。

令R的第一行為第一行,第二行為第三行,第三行為第二行,同時將R的第一列為第一列,第二列為第三列,第三列為第二列,即交換R的第二行和第三行,第二列和第三列,得到:

求得R132的極大T-傳遞內(nèi)部:

類似的,由R213,R231,R312,R321求得R的極大T-傳遞內(nèi)部分別為:

方法2：從任意列出發(fā)求解R的極大T-傳遞內(nèi)部。

首先,求R123的轉(zhuǎn)置,即求R的轉(zhuǎn)置為:

然后,求得RT的極大T-傳遞內(nèi)部為:

因此,求得R的極大T-傳遞內(nèi)部:

類似的,由(R132)T,(R213)T,(R231)T,(R312)T,(R321)T,求得R的極大T-傳遞內(nèi)部分別為:

3與R距離最近的極大T-傳遞內(nèi)部

一般的,一個模糊關(guān)系的極大T-傳遞內(nèi)部是不唯一的。在實際應(yīng)用中,我們常需求得與該模糊關(guān)系最近的極大T-傳遞內(nèi)部。下面我們給出與R最近的極大T-傳遞內(nèi)部的求解方法。

證明定義R1(ai,aj)如下:

下面分5種情況進行討論。

1) 若i≠j≠k,則

2) 若i≠j且i=k,則

3) 若i≠j且j=k,則

4) 若i=j=k,則

5) 若i=j且i,j≠k,則

總之,對任意i,j,k有：

下面將詳細(xì)討論距該關(guān)系海明距離最近的極大T-傳遞內(nèi)部。

根據(jù)海明距離，

注:R的極大T-傳遞內(nèi)部不一定距R最近。

下面給出距R最近的極大T-傳遞內(nèi)部的求解方法。具體步驟如下:

第一步:定義

第二步:求解下列規(guī)劃問題:

(Ⅱ)

由定理3.1及(Ⅱ)可得:

解得:

y=3.4,

故與R距離最近的極大T-傳遞內(nèi)部:

且最小距離為:

4結(jié)論

我們給出了求解一個模糊關(guān)系更多極大T-傳遞內(nèi)部的方法?，F(xiàn)對本文的結(jié)論進行概括總結(jié),并與文獻[10-11]中的結(jié)果進行對比。

首先,Fodor等和韓等分別從第一行與最后一行出發(fā)構(gòu)造R的極大T-傳遞內(nèi)部。然而, 我們從R的任意行或任意列出發(fā),求得更多的極大T-傳遞內(nèi)部。

其次,通過對極大T-傳遞內(nèi)部特征的研究,給出了求解距一個模糊關(guān)系最近的極大T-傳遞內(nèi)部的求解方法。鑒于計算過程的復(fù)雜性,尤其是當(dāng)n較大時,我們通過計算機編程實現(xiàn)這些求解方法,將進一步延伸T-傳遞在計算機科學(xué)領(lǐng)域的應(yīng)用。

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(編輯：朱倩)

A Method to Find More MaximalT-Transitive Interiors

YANG Xiaochen,WU Caiping,LIU Xueqin

(CollegeofMathematics,TaiyuanUniversityofTechnology,Taiyuan030024,China)

Abstract:On the basis of the constructive approach of finding a maximal T-transitive interior of a fuzzy relation on a finite universe proposed by Fodor et al,we suggest a method to find more maximal T-transitive interiors. First,we construct different maximal T-transitive interiors from any rows. Then,we find different interiors from any columns. Finally,we present a method to find the maximal T-transitive interior that is the closest to the original fuzzy relation.

Key words:fuzzy relation;T-transitivity;maximal T-transitive interior

中圖分類號:O159

文獻標(biāo)識碼:A

DOI：10.16355/j.cnki.issn1007-9432tyut.2016.01.023

作者簡介：楊曉晨(1991-),女,山西靈石人,碩士生,主要從事模糊決策研究,(E-mail)tyyangxiaochen@sohu.com通訊作者：武彩萍,女,副教授,碩導(dǎo),主要從事模糊決策的研究，(E-mail)wucaiping2010@163.com

基金項目：國家自然科學(xué)基金青年基金資助項目:基于模糊信息粒化方法的耦合性多災(zāi)種綜合風(fēng)險評估模型的研究(41101507);山西省自然科學(xué)基金資助項目(2013011004-1);山西省研究生教育改革研究課題(20142028)

收稿日期：2015-04-21

文章編號:1007-9432(2016)01-0120-07