毛范海，張　建，董惠敏，孫振生，王德倫

(1.大連理工大學 機械工程學院，遼寧 大連　116024；2.瓦房店軸承集團有限責任公司，遼寧 瓦房店　116300)

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考慮支撐變形的轉(zhuǎn)盤軸承接觸載荷分布的計算*

毛范海1，張建1，董惠敏1，孫振生2，王德倫1

(1.大連理工大學 機械工程學院，遼寧 大連116024；2.瓦房店軸承集團有限責任公司，遼寧 瓦房店116300)

摘要：提出一種考慮軸承套圈及其支撐結(jié)構(gòu)彈性變形的大型轉(zhuǎn)盤軸承接觸載荷分布的計算方法。利用該方法分析了支撐結(jié)構(gòu)彈性變形、軸承游隙及初始接觸角對四點角接觸球軸承接觸載荷及接觸角分布的影響。其結(jié)果與采用有限元方法得到的結(jié)果基本吻合，且計算效率大大提高。研究成果為定性分析大型轉(zhuǎn)盤軸承的承載能力提供了理論依據(jù)。

關(guān)鍵詞：轉(zhuǎn)盤軸承；柔性支撐；接觸載荷

0引言

大型轉(zhuǎn)盤軸承是起重機械、工程機械、風力發(fā)電等領(lǐng)域中的重要部件，這種軸承與普通標準軸承有很大區(qū)別—套圈直徑一般很大，通常是鋼球直徑的幾十倍，而且轉(zhuǎn)盤軸承可以承受很大的傾覆力矩。在很大的外載荷下，由于支撐結(jié)構(gòu)的柔性導(dǎo)致套圈的變形不可以忽略，而套圈的變形對鋼球與溝道之間的接觸載荷有很大的影響，所以在設(shè)計計算轉(zhuǎn)盤軸承時，需要一種考慮到支撐剛度的更精確并且快速的方法，計算軸承的接觸載荷分布，為轉(zhuǎn)盤軸承的設(shè)計計算提供參考。

文獻[1-2]假設(shè)軸承套圈是完全剛性的，只有鋼球與溝道接觸處有局部的彈性變形，在赫茲點接觸理論的基礎(chǔ)上，建立了四點角接觸球軸承在任意聯(lián)合外載荷作用下接觸載荷分布的5自由度數(shù)學模型。文獻[3-4]提出了類似的分析模型。使用有限元分析方法，建立軸承的三維有限元模型[5-7]，可以得到較為精確的結(jié)果。然而對軸承進行有限元分析，需要建立大量接觸對，包括鋼球與溝道以及螺栓與軸承套圈的接觸。由于鋼球與溝道之間的接觸區(qū)域很小，為了真實反映接觸應(yīng)力梯度，就需要對接觸區(qū)域劃分非常小的網(wǎng)格，造成計算時間長、收斂困難的問題。文獻[4]通過理論分析模型得到最大的接觸載荷，建立一個鋼球與溝道的扇形區(qū)域的三維有限元模型，計算接觸區(qū)表面及接觸區(qū)以下的應(yīng)力。文獻[7-10]在有限元模型中，使用非線性彈簧或桿單元等效鋼球與溝道的接觸，大大降低了計算量，但這種等效方法的正確性還有待驗證。

本文以單排四點角接觸球軸承為例，建立包含支撐結(jié)構(gòu)剛度的軸承靜力學分析模型(下文稱之為彈性分析模型)，且考慮由于支撐結(jié)構(gòu)剛度分布不均所引起的軸承接觸載荷及接觸角分布的變化，而且計算效率較高；建立鋼球-溝道精確接觸有限元模型，對軸承進行有限元分析，驗證彈性分析模型的正確性；分析軸承游隙及初始接觸角對此類軸承承載能力的影響。

1彈性分析模型靜力學建模及求解

1.1模型假設(shè)

將軸承內(nèi)、外套圈等分為n段(n取大于零的整數(shù))，相鄰兩段之間有一段很小的套圈連接段，如圖1所示。為簡化模型，做如下假設(shè)：

(1)假設(shè)套圈的每一段為完全剛性，稱之為剛性段，按照剛性套圈假設(shè)[1-2,4]，鋼球與溝道之間的接觸滿足赫茲接觸理論的適用條件；剛性段只有在溝道與鋼球接觸的局部位置發(fā)生彈性變形，每個剛性段有五個自由度，即三個平動自由度和兩個轉(zhuǎn)動自由度；軸承套圈與支撐結(jié)構(gòu)在結(jié)合面完全粘合。

(2)軸承套圈在非接觸區(qū)域的變形都集中在套圈連接段，即每一個套圈連接段可以看作一個具有兩節(jié)點的三向拉壓及兩向扭轉(zhuǎn)剛度的彈簧。此彈簧的剛度包含了彈簧位置原套圈的剛度及與套圈連接的支撐結(jié)構(gòu)的剛度。

圖1　模型假設(shè)

1.2接觸變形協(xié)調(diào)

參考文獻[4]的方法，對套圈的某一剛性段進行分析，如圖2所示。內(nèi)、外圈溝道曲率中心記為：Ciu,Cil,Ceu,Cel,下標i及e分別表示內(nèi)圈和外圈，下標u和l分別代表上溝道和下溝道。全局坐標系原點取在軸承節(jié)圓中心，z軸方向為軸向方向。軸承受載前，內(nèi)外圈剛性段中心Oi及Oe重合，各個溝道曲率中心位置為]span。

圖2　套圈剛性段變形協(xié)調(diào)

在受載后，設(shè)內(nèi)外圈剛性段中心分別發(fā)生微小位移δi及δe，則內(nèi)外圈剛性段中心相對位移為：

δ=δi-δe

(1)

r′=Tr+δr

(2)

其中：

當θ和γ很小時，

(3)

‖CiuCel‖及‖CilCeu‖分別是內(nèi)圈上溝道曲率中心與外圈下溝道曲率中心之間的距離及內(nèi)圈下溝道曲率中心與外圈上溝道曲率中心之間的距離，本文簡稱為溝心距Δ，軸承受載后其大小為：

(4)

將Δiu-el及Δil-eu向徑向平面投影得到有效的溝心距‖(Δiu-el)r‖、‖(Δil-eu)r‖。鋼球角位置φ處徑向平面的單位法向量為：

(5)

則

(6)

其中：S(n)=I-nnT，I為單位矩陣。

在載荷作用前，溝心距：

(7)

溝心距的變化即為被鋼球隔開的內(nèi)外兩個溝道之間的法向趨近量，其大小為：

(8)

如果彈性趨近量δ>0，說明鋼球與溝道發(fā)生接觸，否則沒有發(fā)生接觸。

根據(jù)赫茲點接觸理論，鋼球與溝道之間的接觸力Q與兩個溝道之間的法向趨近量δ滿足關(guān)系：

(9)

使用單位向量表示接觸力的方向，表示為：

(10)

對于內(nèi)圈取正號，對于外圈取負號。

1.3平衡方程

如圖3，對于外圈每個剛性段，接觸力與支反力平衡，并將支反力轉(zhuǎn)化到套圈中心，得到平衡方程[4]：

(11)

圖3　受力分析

對外圈結(jié)構(gòu)(軸承外套圈及與其連接的結(jié)構(gòu))整體進行分析，其自由度包含外圈各剛性段圓心的自由度δer和支撐結(jié)構(gòu)上載荷節(jié)點的自由度δep，滿足平衡方程：

(12)

在有限元軟件ANSYS中建立包含支撐的外圈結(jié)構(gòu)的有限元模型，其中單元類型選擇8節(jié)點六面體單元solid185，彈性模量及泊松比根據(jù)實際情況選取。根據(jù)剛度矩陣的定義，計算得到外圈結(jié)構(gòu)的剛度矩陣Ke:

同理得到內(nèi)圈結(jié)構(gòu)的平衡方程：

(13)

內(nèi)圈或外圈第k個剛性段的節(jié)點力為：

(14)

Fsegm,k、Msegm,k的計算如式(11)。

聯(lián)立式(12)、(13)、(14)并引入邊界條件，得到總體平衡方程：

(15)

1.4模型數(shù)值求解

方程(15)為非線性方程組，自由度

Dof=10n+6m

其中，n為套圈分段數(shù)，m為載荷節(jié)點數(shù)。本例中n=16，m=2。

使用Levenberg-Marquardt優(yōu)化方法求解。這種方法相比Gauss-Newton算法在迭代過程中不需要雅各比矩陣列滿秩，所以這種方法應(yīng)用更廣泛。

使用matlab編寫求解程序，軸承結(jié)構(gòu)參數(shù)、載荷參數(shù)、分段數(shù)、內(nèi)、外圈結(jié)構(gòu)剛度矩陣作為輸入，各剛性段節(jié)點及載荷節(jié)點的位移為待求解未知量，初值取為0-1的隨機數(shù)列。

2有限元模型

2.1網(wǎng)格劃分

使用有限元方法分析回轉(zhuǎn)軸承的承載能力，需要建立大量接觸對，并且接觸區(qū)域的網(wǎng)格質(zhì)量要足夠好。為了真實反映鋼球與溝道在接觸處的曲率半徑，需要對其劃分很小的單元尺寸，一般單元劃分尺寸控制在接觸橢圓半軸的0.2倍。為了減少節(jié)點數(shù)的同時保證較好的網(wǎng)格質(zhì)量，采用在接觸區(qū)域重新劃分網(wǎng)格的方法，如圖4所示。

圖4　鋼球-溝道接觸區(qū)細化單元

有限元模型中單元類型選擇solid185，材料參數(shù)見表1。

表1　有限元模型材料參數(shù)

2.2邊界條件

載荷施加位置如圖5所示。塔筒下端面全約束；將軸承內(nèi)外圈分別與塔筒及機艙固聯(lián)；約束外圈及鋼球繞z軸的周向轉(zhuǎn)動；鋼球與溝道之間建立柔性接觸，摩擦系數(shù)設(shè)置為零。

圖5　有限元模型邊界條件

3算例及結(jié)果分析

以4MW風電偏航軸承(見圖5)為例，對軸承的接觸載荷分布及接觸角分布進行研究。軸承的載荷工況、結(jié)構(gòu)參數(shù)見表2、表3。

表2　偏航軸承極限載荷工況

表3　軸承結(jié)構(gòu)參數(shù)

結(jié)合給定算例,分別使用彈性分析模型、有限元模型以及完全剛性套圈模型[4]對軸承接觸載荷等進行分析。

為進行對比分析，對三種模型的其他條件做統(tǒng)一處理：

(1)為獲得彈性模型中的剛度矩陣而建立的有限元模型，其結(jié)構(gòu)及材料參數(shù)同精確接觸有限元模型；

(2)彈性分析模型與精確接觸有限元模型具有相同的外載荷條件及約束條件；

(3)按照理論力學方法將作用在機艙的外載荷轉(zhuǎn)化到套圈中心，將轉(zhuǎn)化后的載荷作為完全剛性套圈模型的外載荷。

3.1計算結(jié)果對比與分析

圖6、圖7分別為三種模型計算得到的接觸載荷及接觸角分布。從圖中可以看出，使用彈性分析模型和有限元模型得到的結(jié)果基本吻合。還可以看出，彈性分析模型載荷分布在剛性段連接處發(fā)生突變。引起這種突變的原因是由于相鄰兩剛性段在連接處發(fā)生較大相對位移所致。

使用三種模型計算得到的最大接觸力、最大接觸角及計算時長列于表4?？梢钥闯?，相對于完全剛性套圈模型，彈性分析模型及有限元模型的結(jié)果比較保守。

從計算時長來看，彈性分析模型及完全剛性套圈模型的計算效率遠高于有限元模型。因此，當對于計算精度要求不高且要進行循環(huán)計算時，使用完全剛性套圈模型及本文所建立的彈性分析模型比較合適。

圖6　接觸載荷分布

圖7　接觸角分布

計算模型彈性分析模型有限元模型完全剛性套圈模型最大接觸力/kN157.0139.8124.6最大接觸角/°(初始接觸角45°)57.861.553.4計算時長12s32h2.1s

3.2支撐結(jié)構(gòu)變形對接觸載荷的影響

力矩載荷作用位置不同，支撐結(jié)構(gòu)及軸承套圈的彈性變形就會發(fā)生變化，因此，本文通過改變外載荷My的作用位置分析支撐結(jié)構(gòu)變形對接觸載荷的影響，作用位置由圖5的節(jié)點2位置移至節(jié)點1位置，外載荷作用點改變后的結(jié)果如圖8、圖9。可以看出，改變力矩載荷作用位置后，接觸力和接觸角分布更均勻，這是由于當力矩載荷作用在節(jié)點1時，支撐結(jié)構(gòu)變形更均勻所導(dǎo)致。

圖8　支撐結(jié)構(gòu)變形對接觸載荷分布影響

圖9　支撐結(jié)構(gòu)變形對接觸角分布影響

改變力矩載荷作用位置后所得到的最大接觸力、最大接觸角列于表5?？梢钥闯?，支撐結(jié)構(gòu)的彈性變形對軸承的接觸力及接觸角有很大影響，其對接觸力影響更為顯著。

表5　改變力矩載荷作用位置后的計算結(jié)果

3.3軸承游隙及初始接觸角對接觸載荷的影響

游隙及初始接觸角是軸承的重要結(jié)構(gòu)參數(shù)。大型四點接觸球軸承一般取小游隙或負游隙，以減小沖擊振動。初始接觸角越大，軸承的軸向承載能力越大，能承受的傾覆力矩就越大，但軸承初始接觸角選擇過大，會導(dǎo)致軸承受載后鋼球與溝道的接觸橢圓區(qū)域偏至溝道邊緣甚至超出溝道圓弧面，出現(xiàn)溝道邊緣應(yīng)力集中現(xiàn)象。

圖10、圖11分別給出了不同初始接觸角下，軸承受載后最大接觸力及最大接觸角與軸向游隙的關(guān)系?？梢钥闯?，當游隙在-0.05~0.1mm時，接觸力較小且變化較小；但當游隙從-0.05~0.1變化時，接觸角急劇增大。綜合考慮接觸力及接觸角因素，此例軸承游隙選取-0.05~0.02mm為優(yōu)。

圖10　不同游隙及初始接觸角下的最大接觸力

圖11　不同游隙及初始接觸角下的最大接觸角

從圖11中還可以看出，當負游隙較大時，初始接觸角越大，接觸力越大；當游隙絕對值較小時，初始接觸角越大，接觸力越小。從接觸力角度看，在游隙較小的前提下，應(yīng)該選擇較大的初始接觸角，但應(yīng)保證軸承受載后接觸角不能過大。

4結(jié)論

(1)以四點角接觸球軸承為例，建立了包含支撐結(jié)構(gòu)及軸承套圈剛度矩陣的大型轉(zhuǎn)盤軸承靜力學模型；建立了精確鋼球-溝道接觸有限元模型。

(2)采用本文建立的彈性分析模型進行分析可以發(fā)現(xiàn)，軸承游隙及初始接觸角對軸承受載后的接觸力及接觸角影響顯著；選取絕對值較小的負游隙、較大的初始接觸角可提高軸承的承載能力。

(3)采用本文建立的彈性分析模型及有限元模型進行分析得到的結(jié)果均表明，大型轉(zhuǎn)盤軸承在較大傾覆力矩作用下，支撐結(jié)構(gòu)及軸承套圈的彈性變形對軸承接觸力及接觸角分布有顯著影響。

(4)由于載荷作用位置直接影響支撐結(jié)構(gòu)的彈性變形，進而影響軸承的接觸載荷，因此，在精確計算轉(zhuǎn)盤軸承接觸載荷時，需準確確定外載荷的施加位置。

(5)使用本文建立的彈性分析模型所得結(jié)果與有限元模型結(jié)果基本吻合，且計算效率大大提高，為大型轉(zhuǎn)盤軸承的結(jié)構(gòu)設(shè)計提供了理論研究依據(jù)。

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(編輯李秀敏)

Computational Model for Calculation of Load Distribution of Slewing Bearing Accounting for Structure Stiffness

MAO Fan-hai1,ZHANG Jian1,DONG Hui-min1,SUN Zhen-sheng2,WANG De-lun1

(1.School of Mechanical Engineering,Dalian University of Technology,Dalian Liaoning 116024,China；2.Wafangdian Bearing Co., Ltd.,Wafangdian Liaoning 116300,China)

Abstract：A new computation method is proposed for determining the load distribution in the rolling elements of a large slewing bearing accounting for the flexibility of the bearing ring and its supporting structures. The analysis of the effect of the elasticity of supporting structures, internal clearance and nominal carrying angle on the magnitudes of contact force and actual carrying angle of a four-point contact ball bearing is presented using the method, the results of which have been basically correlated with the results of FE method, and especially the computation efficiency is improved substantially. The above results provide theoretical basis for analyzing qualitatively the static capacity and fatigue lifetime of large slewing bearings.

Key words：slewing bearings; elastic supporting structure; contact force

中圖分類號：TH133.3；TG506

文獻標識碼：A

作者簡介：毛范海(1964—)，男，山東寧陽縣人，大連理工大學副教授，博士，研究方向為軸承數(shù)字化設(shè)計，(E-mail)mao_fh@126.com。

*基金項目：遼寧省科技創(chuàng)新重大專項(201303006)

收稿日期：2015-04-29；修回日期：2015-05-20

文章編號：1001-2265(2016)03-0020-05

DOI:10.13462/j.cnki.mmtamt.2016.03.006