李忻桐 吳華
摘 要: 在信息技術(shù)、知識(shí)和探究性學(xué)習(xí)的框架下,本文從信息技術(shù)詮釋數(shù)學(xué)的視角出發(fā),借助Geo Gebra軟件對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行探索,通過(guò)電子數(shù)據(jù)表格對(duì)探究過(guò)程中每一步變化的記錄、分析、測(cè)量、猜想研究阿基米德拋物線的弓形面積。
關(guān)鍵詞: Geo Gebra 拋物線弓形面積 微積分
動(dòng)態(tài)幾何軟件作為教學(xué)發(fā)展的推動(dòng)者,可應(yīng)用于創(chuàng)新型、問(wèn)題解決型、開(kāi)放型及一些非常規(guī)型數(shù)學(xué)問(wèn)題的探究。其在探索過(guò)程中可以記錄關(guān)鍵要素的發(fā)展過(guò)程,輔助學(xué)生思維,通過(guò)探索發(fā)現(xiàn)規(guī)律,在動(dòng)態(tài)下觀察數(shù)學(xué)現(xiàn)象,發(fā)現(xiàn)結(jié)論,及時(shí)驗(yàn)證?!稊?shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)》提到:信息技術(shù)的發(fā)展對(duì)數(shù)學(xué)教育的價(jià)值、目標(biāo)、內(nèi)容及教學(xué)方式產(chǎn)生很大影響。數(shù)學(xué)課程的設(shè)計(jì)與實(shí)施應(yīng)根據(jù)實(shí)際情況合理地運(yùn)用現(xiàn)代信息技術(shù)。因此,數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容必然會(huì)隨著信息技術(shù)與課程的整合進(jìn)程和需要而呈現(xiàn)多樣化的發(fā)展?fàn)顟B(tài)[1]。
阿基米德在《拋物線的求積》中用兩種方法證明了拋物線弓形的面積等于頂點(diǎn)與弦所構(gòu)成三角形面積的三分之四這一結(jié)論,一種是窮竭法,另一種是杠桿原理的力學(xué)方法[2]。之后很多人用不同方法證明過(guò)這一結(jié)論,但都由于方法復(fù)雜而不適合課堂教學(xué)。本文在阿基米德原有命題不變的前提下,利用阿基米德的方法用三角形不斷“窮竭”弓形面積,借助Geo Gebra軟件對(duì)阿基米德拋物線的弓形面積進(jìn)行探究。
一、動(dòng)態(tài)幾何軟件介入探索拋物線求積問(wèn)題
(一)創(chuàng)設(shè)情境,提出問(wèn)題。
阿基米德拋物線的求積問(wèn)題是經(jīng)典性歷史命題,在學(xué)生學(xué)習(xí)了極限和等差數(shù)列之后,微積分初步之前,借助Geo Gebra軟件在問(wèn)題情境中通過(guò)運(yùn)用已學(xué)過(guò)的知識(shí)讓學(xué)生了解微分積分的實(shí)際背景,直觀體會(huì)微分積分基本思想,幫助學(xué)生理解微分積分的概念,激發(fā)學(xué)生對(duì)后續(xù)微積分知識(shí)學(xué)習(xí)的興趣。
(二)利用Geo Gebra軟件探究問(wèn)題。
在學(xué)生目前所學(xué)習(xí)的范圍內(nèi)并沒(méi)有接觸到求曲線面積的公式,以阿基米德“窮竭法”的思想為探究基礎(chǔ),引用文[3]中的數(shù)學(xué)例子。在Geo Gebra軟件中繪制任意以C為頂點(diǎn),AB為弦的拋物線,此時(shí)△ABC面積在A1中顯示,即a=15.625,如圖1所示。
通過(guò)Geo Gebra軟件給出的猜想結(jié)合等比數(shù)列求和公式以及極限思想,得到與阿基米德相同的結(jié)論:拋物線弓形的面積等于頂點(diǎn)與弦所構(gòu)成三角形面積的四分之三?;仡櫶剿鬟^(guò)程,先將不可求的弓形面積逐漸用小的可求的三角形填滿,再將這些小的可求的三角形面積累加進(jìn)行求和。這其實(shí)就是微積分的思想,將不可求量拆分成小的可求量(微分思想),再將這些小的可求量累加進(jìn)行求和(積分思想)??梢?jiàn)就在牛頓和萊布尼茨爭(zhēng)論誰(shuí)先創(chuàng)造了微積分時(shí),阿基米德已早他們兩千多年就有了微積分思想的萌芽。只是那時(shí)阿基米德還沒(méi)有極限的思想,他并不認(rèn)為當(dāng)n趨近于“無(wú)窮大”時(shí),內(nèi)接多邊形的面積可以等于弓形的面積。在阿基米德看來(lái),這二者之間的面積差是永遠(yuǎn)存在的,只不過(guò)它可以“任意小”,所以阿基米德避開(kāi)了這個(gè)問(wèn)題,使用窮竭和反證的方法得到結(jié)論。
二、教學(xué)反思
通過(guò)對(duì)阿基米德“拋物線求積問(wèn)題”的探究,發(fā)現(xiàn)動(dòng)態(tài)幾何軟件在數(shù)學(xué)教學(xué)中有以下優(yōu)勢(shì)。
(一)精確性與美觀性。
如果在傳統(tǒng)教學(xué)環(huán)境中不借助于動(dòng)態(tài)幾何軟件本節(jié)課是很難完成的,教師手動(dòng)在黑板上繪圖并不精準(zhǔn)且影響美觀,而動(dòng)態(tài)幾何軟件以精準(zhǔn)美觀的制圖帶給學(xué)生的直觀視覺(jué)更有助于對(duì)問(wèn)題本身的探究,并提高探究的準(zhǔn)確性。
(二)實(shí)用性與省時(shí)性。
Geo Gebra軟件同時(shí)具有代數(shù)問(wèn)題幾何化和幾何問(wèn)題代數(shù)化的功能,能在動(dòng)態(tài)過(guò)程中保持圖形性質(zhì)并能實(shí)時(shí)顯示出圖形的數(shù)量關(guān)系。Geo Gebra軟件有強(qiáng)大的數(shù)形結(jié)合功能,可以同時(shí)結(jié)合幾何、代數(shù)、電子數(shù)據(jù)表格對(duì)探索中的每一步變化進(jìn)行記錄,而電子數(shù)據(jù)表格代替了冗長(zhǎng)的手工推倒過(guò)程,在探索過(guò)程中把學(xué)生的興趣集中在問(wèn)題本身而不是淹沒(méi)在繁雜的計(jì)算中。同時(shí)傳統(tǒng)教學(xué)中的板書(shū),通過(guò)動(dòng)態(tài)幾何軟件的介入都可以在備課環(huán)節(jié)中完成,大大節(jié)約課堂時(shí)間。
(三)引起教學(xué)方式的變革。
動(dòng)態(tài)幾何環(huán)境推動(dòng)了探究式學(xué)習(xí)的發(fā)展,給教師和學(xué)生都提供了活動(dòng)平臺(tái),使學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程成為教師引導(dǎo)下的“再創(chuàng)造”過(guò)程。數(shù)學(xué)中的不少內(nèi)容是抽象的,譬如微積分概念的理解,用傳統(tǒng)的教學(xué)方法很難解釋清楚,而用動(dòng)態(tài)幾何軟件,學(xué)生一看就能觀察出動(dòng)態(tài)逼近的數(shù)學(xué)本質(zhì)。這樣,抽象的內(nèi)容變得更為形象、更為直觀,若沒(méi)有計(jì)算機(jī)軟件的介入,類似內(nèi)容的處理只能是說(shuō)教式的[4]。這樣直觀的教學(xué)可以提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,充分發(fā)揮其主動(dòng)性。所謂“工欲善其事、必先利其器”,恰當(dāng)使用動(dòng)態(tài)幾何軟件進(jìn)行教學(xué)會(huì)達(dá)到事半功倍的效果,也會(huì)大大提高教學(xué)質(zhì)量。
參考文獻(xiàn):
[1]尚曉青.論信息技術(shù)與數(shù)學(xué)教學(xué)整合的過(guò)程[J].電化教育研究,2013(1):86.
[2]T.L.希思.朱恩寬,李文銘,譯.阿基米德全集[M].陜西科學(xué)技術(shù)出版社,1998.
[3]Gunhan Caglayan,Exploring Archimedes Quadrature of Parabola with GeoGebra Snapshots[J].Tech Know Learn,2014,101-105.
[4]張景中.三款數(shù)學(xué)教育軟件的比較與設(shè)計(jì)思想分析[J].中國(guó)電化教育,2010(1):107.