何 軍，劉衍民

（遵義師范學院數(shù)學與計算科學學院，貴州遵義,563002）

自然科學研究

廣義鞍點問題的塊對角預條件子

何 軍，劉衍民

（遵義師范學院數(shù)學與計算科學學院，貴州遵義,563002）

研究了廣義鞍點問題新的塊預條件子，給出了預處理后矩陣特征值的一些性質(zhì).數(shù)值例子表明，新的預條件子是非常有效的.

預處理；鞍點問題；特征值

考慮如下的鞍點系統(tǒng)：

在文獻[1]中，Benzi、Golub和Liesen討論了解決鞍點系統(tǒng)的一系列的數(shù)值方法，并且給出了一些預條件子來解決系統(tǒng)（1），如：塊對角預條件子[2-8]，塊三角預條件子[9,10]，HSS類型的預條件子[1,11,12].

其中 .可以發(fā)現(xiàn)，當D=0，文獻[4,7,8]中介紹了非確定的塊對角預條件子.

基于上面的分析,本文主要研究下面的正定的塊對角預條件子：

1主要結(jié)果

考慮如下的預條件子：

展開（2）式有：

帶入（4）式可得：

那么可得：

直接計算可得：

因為

有：

直接計算可得：

證明完畢.

注：所有的預處理后的矩陣的特征值都包含在兩個狹窄的區(qū)間中，并且可以發(fā)現(xiàn)其中的一些界可以用文獻[14]中的定理2.1來表示矩陣的界.但是，至少其中的一個界表現(xiàn)得更好，如正特征值的上界.

2 數(shù)值例子

考慮下面的Stokes類型問題：

如果用穩(wěn)定有限元或者有限差分方法來離散上面的問題，可以得到廣義的鞍點線性系統(tǒng).本文用Silvester、Elman和Ramage編寫的IFISS軟件包[15]來離散系統(tǒng)，所采用的混合有限元是雙線性速度一常數(shù)壓力： 對有限元，得到系數(shù)矩陣的(1,1)塊的矩陣是對稱正定的，(1,2)塊的矩陣是滿秩的.例子中用32×32的網(wǎng)格來離散系統(tǒng)（也就是說，D≠0，且穩(wěn)定系數(shù)為 =0.25），其中表示矩陣中非零元的個數(shù).

表1 相關(guān)矩陣的規(guī)模及非零元的個數(shù)

表2 對不同的W,MINRES迭代的迭代步數(shù)

圖1 當W=0.1I，對于32×32網(wǎng)絡(luò)預處理后的矩陣P-1A的特征值分布情況

圖2 當W=2diag(BBT)，對于32×32網(wǎng)絡(luò)預處理后的矩陣P-1A的特征值分布情況

圖3 對不同的W，32×32網(wǎng)絡(luò)MINRES迭代的迭代曲線及步數(shù)

表1描述了不同網(wǎng)格鞍點問題的規(guī)模和稀疏情況，表2給出了不同矩陣WMINRES子空間迭代的迭代步數(shù).

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（責任編輯：朱 彬）

Block Diagonal Pre-conditioners for Generalized Saddle Point Problems

HE Jun，LIU Yan-min
(School of Mathematics and Computer Science,Zunyi Normal College,Zunyi 563002,China)

In this paper,we consider block diagonal preconditioners for solving saddle point linear systems;we show properties of eigenvalues of the preconditioned matrix.Finally,numerical experiments are also reported for illustrating the efficiency of the presented preconditioners.

saddle point system;preconditioning;eigenvalue

O211.4

A

1009-3583（2016）-0111-03

2016-05-11

國家自然科學基金資助項目（71461027）；貴州省科學技術(shù)基金（黔科合基礎(chǔ)[2016]1161）；遵義師范學院博士基金資助項目（遵師BS[2015]09）

何 軍，男，四川資陽人，遵義師范學院數(shù)學與計算科學學院教師，博士，主要從事數(shù)值代數(shù)的研究。