孟　華　劉保國　李鴿鴿

1.商丘工學院，商丘，476000　　2.河南工業(yè)大學，鄭州， 450007

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中介軸承隨機參數(shù)對雙轉子系統(tǒng)特征值的影響

孟華1劉保國2李鴿鴿2

1.商丘工學院，商丘，4760002.河南工業(yè)大學，鄭州， 450007

摘要：通過復雜轉子系統(tǒng)的隨機參數(shù)運動微分方程，分析了轉子系統(tǒng)特征值的隨機性問題。通過整體傳遞矩陣法計算出雙轉子系統(tǒng)的特征值，使用Monte Carlo數(shù)值模擬計算方法，分別計算并分析了以具有一個中介軸承支撐和兩個中介軸承支撐的雙轉子系統(tǒng)耦合單元的質量參數(shù)、剛度參數(shù)及阻尼系數(shù)為隨機參數(shù)時，雙轉子系統(tǒng)的特征值均值及其標準差隨變異系數(shù)的變化規(guī)律。

關鍵詞：雙轉子系統(tǒng)；中介軸承；隨機參數(shù)；特征值

0引言

1轉子系統(tǒng)隨機參數(shù)運動微分方程

許多轉子系統(tǒng)的材料特性、載荷、幾何參數(shù)、邊界條件等參數(shù)都具有一定的隨機性[3]，這使系統(tǒng)各零部件的質量、剛度、阻尼等參數(shù)也具有隨機性，整個轉子系統(tǒng)的隨機參數(shù)運動微分方程可用下式表示：

(1)

(2)

若系統(tǒng)有n個隨機參數(shù)，式(1)中的隨機質量、剛度和阻尼矩陣可以用下式表示：

(3)

(4)

(5)

(6)

由此可以求得系統(tǒng)的特征值。由于系統(tǒng)的質量，剛度和阻尼都為隨機量，所以系統(tǒng)的特征值也是隨機的。

為了研究雙轉子系統(tǒng)中的中介軸承的隨機參數(shù)對系統(tǒng)特征值的影響，將軸承的剛度和阻尼隨機參數(shù)矩陣表示為[6]

(7)

(8)

2雙轉子系統(tǒng)的隨機特征值

本文以單個中介軸承有阻尼軸對稱雙轉子系統(tǒng)和兩個中介軸承無阻尼軸對稱雙轉子系統(tǒng)為研究對象[7]，分析參數(shù)的隨機性對系統(tǒng)特征值的影響。

面板數(shù)據(jù)通過平穩(wěn)性檢驗后才能進行協(xié)整檢驗，以確保建立面板數(shù)據(jù)模型的變量間存在長期的均衡關系。由單位根檢驗結果可知，4個變量都為0階單整，因此可以進行協(xié)整性檢驗。本文采用 Kao 檢驗［20］、 Pedroni檢驗［21］、 Fish 檢驗 3種方法進行協(xié)整檢驗，若3種方法中有2種及以上通過檢驗，則認為變量間存在長期協(xié)整關系。檢驗結果如表3、4所示。檢驗結果顯示，除了Kao檢驗統(tǒng)計值的P值大于0.1之外，Pedroni檢驗、Fish檢驗的各項檢驗統(tǒng)計量的P值都小于0.05，綜合3種檢驗結果，認為4個變量之間存在長期的協(xié)整關系，可以進一步進行回歸分析。

模型1是單個中介軸承有阻尼軸對稱雙轉子系統(tǒng)，如圖1所示，整個系統(tǒng)由內外兩個轉子組成，軸承A1、軸承B1為支撐內轉子運轉的支承軸承，C1為支承外轉子運轉的支撐軸承，內外轉子由中介軸承D1連接。

圖1　單個中介軸承的雙轉子系統(tǒng)的結構示意圖

模型2是兩個中介軸承無阻尼軸對稱雙轉子系統(tǒng)，如圖2所示，系統(tǒng)由內外兩個轉子組成，軸承A2、軸承B2為支承內轉子運轉的支承軸承，內外轉子由兩中介軸承C2、D2連接。

圖2　兩個中介軸承的雙轉子系統(tǒng)的結構示意圖

中介軸承的質量、剛度和阻尼參數(shù)都服從正態(tài)分布，使用MonteCarlo方法[8]抽樣計算一萬次，分別計算出變異系數(shù)ε在0.01～0.30間取值時系統(tǒng)特征值的最大值、最小值、平均值及標準差。利用整體傳遞矩陣法計算兩種確定性模型的前三階特征值，如表1所示。

表1　兩種軸承-雙轉子系統(tǒng)模型的初始特征值

2.1模型1的隨機特征值

模型1的計算模型如圖3所示，根據(jù)整個雙轉子系統(tǒng)的結構特點，將其劃分為8個軸段，10個節(jié)點。在整個轉子系統(tǒng)中，軸承的剛度和阻尼系數(shù)如表2所示，各軸段的結構信息如表3所示。

圖3　單個中介軸承的雙轉子系統(tǒng)的計算模型

軸承號剛度K(MN/m)阻尼C(N·s/m)A126.2695254B117.5133502C117.5133502D18.7561751

表3　模型1軸承-雙轉子系統(tǒng)的結構參數(shù)(彈性彈量E=200 GPa)

對于有阻尼的軸承-轉子系統(tǒng)，系統(tǒng)的特征值計算結果是復數(shù)，其特征值可以用S=λ+iΩ表示。每一組數(shù)據(jù)都是通過MonteCarlo法模擬計算一萬次得到。分析計算了耦合單元(10-4)的質量、剛度、阻尼參數(shù)各自隨機變異以及同步隨機變異時轉子系統(tǒng)的隨機特征值，模擬計算出的特征值的均值和標準差隨變異系數(shù)的變化規(guī)律如圖4～圖6所示。

圖4　　模型1一階特征值圖5　　模型1二階特征值　均值和標準差與隨機　均值和標準差與隨機　參數(shù)變異系數(shù)的關系　參數(shù)變異系數(shù)的關系

圖6　模型1三階特征值均值和標準差與隨機參數(shù)變異系數(shù)的關系

所求特征值的平均值是通過MonteCarlo法抽樣模擬計算一萬次所得到的一萬個特征值的平均值。由圖4可以看出：各個隨機參數(shù)對系統(tǒng)的一階特征值的影響都很小。而由圖5、圖6則可以看出：剛度參數(shù)的隨機變化對二階、三階特征值的實部、虛部及標準差的影響都很顯著，且隨著變異系數(shù)的增大呈非線性變化的趨勢；質量、阻尼參數(shù)的隨機變化對二階、三階特征值的影響相對要小得多，產(chǎn)生這種現(xiàn)象的原因是由于耦合單元(10-4)的質量、阻尼參數(shù)的初值偏小，即使變異系數(shù)達到較大值，質量、阻尼的絕對值仍然不大，所以整體影響并不顯著。

2.2模型2的隨機特征值

模型2的計算模型如圖7所示，根據(jù)整個雙子系統(tǒng)的結構特點，將其劃分為10個軸段，12個節(jié)點，各軸段的結構信息如表4所示。

圖7　兩個中介軸承耦合的雙轉子系統(tǒng)的計算模型

模型2為無阻尼雙轉子系統(tǒng)，所以只考慮了兩個中介軸承的質量和剛度參數(shù)隨機時對雙轉子系統(tǒng)特征值的影響。從圖8～圖10可以得知，耦合單元(8-3)及(12-5)的質量隨機時，系統(tǒng)的前三階特征值都在初始特征值附近波動，特征值的變化微小。系統(tǒng)的質量對其特征值本應該有比較顯著的影響，但分析實驗結果可知，影響并不明顯。分析轉子系統(tǒng)的結構參數(shù)可知，耦合單元(8-3)及(12-5)的質量在節(jié)點3、8、5、12處，其質量初值較小，當節(jié)點處質量的變異系數(shù)較大時，其本身的變化也不大，所以對系統(tǒng)特征值的影響也比較小。耦合單元剛度的隨機變異對系統(tǒng)的特征值的均值、標準差的影響都比較顯著。

表4　模型2雙轉子-軸承系統(tǒng)的

圖8　模型2一階特征值圖9　模型2二階特征值　均值標準差與隨機　標準差與隨機參數(shù)　參數(shù)變異系數(shù)的關系　變異系數(shù)的關系

圖10　模型2三階特征值標準差與隨機參數(shù)變異系數(shù)的關系

3結語

通過上述分析可知，雙轉子系統(tǒng)的中介軸承的剛度的隨機性對系統(tǒng)的特征值的影響比較明顯，特征值的均值和標準差隨著剛度變異系數(shù)的增大呈非線性變化的趨勢；中介軸承的質量和阻尼參數(shù)的隨機性對轉子系統(tǒng)的特征值影響較小，主要原因是它們的初值較小，即使當變異系數(shù)較大時，它們在數(shù)值上的變化也不大，所以作用不太顯著?？梢灶A期：當質量、阻尼、剛度的初值對特征值的貢獻都在同樣數(shù)量級別的水平時，這些參數(shù)的隨機變化對特征值的均值和標準差的變化都將是明顯的。

本文給出的計算方法，不僅可以分析雙轉子系統(tǒng)的中介軸承的各種參數(shù)的隨機變化對轉子系統(tǒng)特征值的影響，而且可以分析任何復雜轉子系統(tǒng)的任何參數(shù)的隨機變化對轉子系統(tǒng)特征值的影響。

參考文獻：

[1]DimentbergMF,NaessA.NonlinearVibrationsofaRotatingShaftwithBroadbandRandomVariationsofNternalDamping[J].NonlinearDynamics, 2008, 51: 199-205.

[2]DriotN,BerliozA,LamarqueCH.StabilityandTationaryResponseofaSkewJeffcottRotorwithGeometricNcertainty[J].ASMEJournalofComputationalandNonlinearDynamics, 2009, 4:1-10.

[3]魏永祥, 陳建軍, 王敏娟. 隨機參數(shù)齒輪-轉子系統(tǒng)的扭轉振動分析[J]. 航空動力學報, 2010，25(11): 2637-2642.

WeiYongxiang,ChenJianjun,WangMinjuan.DynamicResponseofTorsionalVibrationofGear-rotorwithRandomParameters[J].JournalofAerospacePower,2010，25(11): 2637-2642.

[4]劉保國，王威，殷學綱. 一維隨機參數(shù)結構的特征值問題[J]．機械強度, 2004, 26(4): 367-370．

LiuBaoguo,WangWei,YinXuegang.EigenvalueProblemsofOneDimensionalStructurewithRandomParameters[J].JournalofMechanicalStrength, 2004, 26(4): 367-370．

[5]LiuBaoguo.EigenvalueProblemsofRotorSystemwithUncertainParameters[J].JournalofMechanicalScienceandTechnology,2012, 26(1):1-10.

[6]魏永祥，陳建軍，王敏娟. 隨機參數(shù)齒輪-轉子系統(tǒng)扭轉振動固有頻率分析[J]. 工程力學, 2011(4): 172-177.

WeiYongxiang,ChenJianjun,WangMinjuan.NaturalFrequencyAnalysisforTorsionalVibrationofaGear-rotorSystemwithRandomParameters[J].EngineeringMechanics, 2011(4): 172-177.

[7]盧劍偉，劉夢軍，陳磊，等. 隨機參數(shù)下齒輪非線性動力學行為[J]. 中國機械工程,2009,20(3):330-333.

LuJianwei,LiuMengjun,ChenLei,etal.NonlinearDynamicsBehaviorofGearSystemwithStochasticParameters[J].ChinaMechanicalEngineering, 2009, 20(3): 330-333.

[8]LengXL,MengG,ZhangT,etal.BifurcationandChaosResponseofaCrackedRotorwithRandomDisturbance[J].JournalofSoundandVibration，2007，299: 621-632.

(編輯袁興玲)

Influences of Coupling Bearing’s Random Parameters on Eigenvalues of Double Rotor System

Meng Hua1Liu Baoguo2Li Gege2

1.Shangqiu Institute of Technology,Shangqiu,He’nan,476000

2.Henan University of Technology,Zhengzhou,450007

Abstract:The stochastic problems in the eigenvalue of the complex double rotor system were analyzed by the dynamic stochastic differential equation. The eigenvalues of double rotor system was calculated with the whole transfer matrix method. After that, the relationship between the eigenvalue including its mean and standard deviation value and the random parameter’s variation coefficient was investigated with Monte-Carlo method considering the effects of random parameters such as coupling element’s mass, stiffness and damping coefficient. Meanwhile, to improve the effectiveness of this research, the conclusion was verified individually on double rotor system with one or two coupling bearings.

Key words:double rotor system; coupling bearing; random parameter; eigenvalue

作者簡介：孟華，女，1988年生。商丘工學院機械工程學院助教。主要研究方向為轉子動力學。劉保國，男，1962年生。河南工業(yè)大學機電工程學院教授、博士、博士研究生導師。李鴿鴿，男，1987年生。河南工業(yè)大學機電工程學院碩士研究生。

中圖分類號：TH113；TH133

DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2016.05.020

基金項目：國家自然科學基金資助項目(11172092)

收稿日期：2015-03-15