李明哲，　趙繼廣，　楊　帆

(1. 裝備學(xué)院 研究生管理大隊(duì), 北京 101416；　2.裝備學(xué)院 裝備戰(zhàn)略發(fā)展研究所, 北京 101416)

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基于統(tǒng)計(jì)與遺傳算法的Cook-Torrance模型研究

李明哲1，趙繼廣2，楊帆1

(1. 裝備學(xué)院 研究生管理大隊(duì), 北京 101416；2.裝備學(xué)院 裝備戰(zhàn)略發(fā)展研究所, 北京 101416)

摘要為解決Cook-Torrance模型在實(shí)際應(yīng)用中存在偏差的問題，以航空鋁板為研究對象，對比分析模型仿真數(shù)據(jù)和雙向反射分布函數(shù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，通過對Cook-Torrance模型的鏡面反射和漫反射兩部分進(jìn)行修正，提出一種Cook-Torrance模型的改進(jìn)方法。對于模型鏡面反射部分，采用遺傳算法擬合了修正參數(shù)；對于模型漫反射部分，采用統(tǒng)計(jì)方法解算出其漫反射參數(shù)。仿真與實(shí)驗(yàn)結(jié)果對比表明:改進(jìn)模型能夠更加準(zhǔn)確地描述不同波長鋁合金和黃銅等金屬材料的雙向反射分布特性。

關(guān)鍵詞航空鋁板；Cook-Torrance模型；雙向反射分布函數(shù)；遺傳算法

Analysis on Cook-Torrance Model Based on Genetic Algorithm and Statistical Method

LI Mingzhe1，ZHAO Jiguang2，YANG Fan1

(1. Department of Graduate Management, Equipment Academy, Beijing 101416, China；2. Equipment Development Strategy Research Institute, Equipment Academy, Beijing 101416, China)

AbstractTo solve out the issue of the deviation of Cook-Torrance model in actual application, by taking aviation aluminum plate as the research object, the paper makes contrastive analysis on simulation data and experimental data of bidirectional reflectance distribution function, and brings out a way to improve Cook-Torrance model through correction of specular reflection and diffuse reflection of Cook-Torrance model. As to the specular reflection of the model, the paper fits correction parameters based on the genetic algorithm; as to diffuse reflection of the model, the paper solves out the diffuse parameters with statistical method. Simulation and experimental result shows, the improved model can describe the bidirectional reflectance distribution characteristics of metal materials such as aluminum and brass with different wavelengths more accurately.

Keywordsaviation aluminum plate; Cook-Torrance model; bidirectional reflectance distribution function (BRDF); genetic algorithm

鋁合金是飛機(jī)輕量化的首選材料[1]，在航空領(lǐng)域具有不可替代的作用，在各種飛機(jī)上都有普遍地應(yīng)用，特別是在軍用飛機(jī)中用量最高達(dá)60%，且一直被用于無人機(jī)的主梁和發(fā)動(dòng)機(jī)機(jī)艙[2]。作為飛機(jī)的重要組成材料，航空鋁材的各方面特性已經(jīng)成為研究的焦點(diǎn)。故本文選取飛機(jī)材料中最為常見的航空鋁板作為研究對象。BRDF是表征目標(biāo)光學(xué)散射特性的重要參數(shù)。Cook-Torrance模型是一種常見的BRDF模型，能夠?qū)δ繕?biāo)材料的鏡面反射和漫反射進(jìn)行全面分析。相對于其他模型，該模型具有適用材料多和計(jì)算量小的優(yōu)勢，因此在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中得到了十分廣泛的應(yīng)用[3-6]。但受制于模型參數(shù)的設(shè)置，Cook-Torrance模型在描述航空鋁板的光學(xué)特性時(shí)存在較大偏差。為充分利用該模型的優(yōu)勢，基于實(shí)驗(yàn)分析提出了一種Cook-Torrance模型改進(jìn)方法以彌補(bǔ)其不足。

本文首先從航空鋁板材料入手，分析得知Cook-Torrance模型仿真結(jié)果與BRDF實(shí)驗(yàn)結(jié)果之間的偏差具有可分離為鏡面反射部分和漫反射部分的特點(diǎn)。然后基于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分別對Cook-Torrance模型的鏡面反射部分和漫反射部分進(jìn)行修正與優(yōu)化，并根據(jù)遺傳算法和統(tǒng)計(jì)平均方法計(jì)算獲得修正模型的參數(shù)，進(jìn)而得到改進(jìn)的Cook-Torrance模型。最后在不同材料和不同波長下，對改進(jìn)的Cook-Torrance模型進(jìn)行驗(yàn)證。該方法對準(zhǔn)確建立不同材料的Cook-Torrance模型具有重要的借鑒意義。

1Cook-Torrance模型概述

Cook-Torrance模型[3]采用微面元的方法對目標(biāo)表面進(jìn)行研究。該模型計(jì)算公式為

(1)

式中，R為BRDF值，單位為(sr)-1；Rs為BRDF鏡面反射分量；Rd為BRDF漫反射分量。

漫反射分量為

(2)

式中，ρ為目標(biāo)材料的方向半球反射率；Kd為漫反射分量所占的比例。

鏡面反射分量為

(3)

式中，F(xiàn)為菲涅耳反射系數(shù)；D為表面高低起伏分布函數(shù)；G為遮蔽因子；θi為入射角；θr為探測角；Ks表示鏡面反射分量所占的比例，且有Ks+Kd=1。

2鋁合金表面Cook-Torrance模型仿真數(shù)據(jù)的偏差分析

按照以上方法共進(jìn)行了16×16×33=8 448組實(shí)驗(yàn)。為了便于統(tǒng)一分析，將得到的8 448組BRDF值按照如下方法進(jìn)行排列：首先固定θi的值，再遍歷θr的值;此時(shí)每取一個(gè)θr的值，則遍歷一次φ的值，最后以此作為循環(huán)過程再遍歷θi的值。具體流程圖如圖1所示。圖中Number為對應(yīng)于每一組角度的序號。

圖1　角度排列流程圖

按照圖1所示的流程順序，BRDF仿真結(jié)果如圖2所示，其中橫坐標(biāo)Number為序號，縱坐標(biāo)為BRDF值，單位為(sr)-1。由圖2中排序后的BRDF值，可以看出BRDF僅在若干個(gè)離散點(diǎn)處具有明顯的非零值。進(jìn)一步分析，圖2中共有16個(gè)極大值點(diǎn)，它們對應(yīng)的角度均為方位角φ=π，且入射角等于探測角(θi=θr)。為分析方便，將滿足條件φ=π和θi=θr的16個(gè)點(diǎn)提取出來進(jìn)行分析，如圖3所示。為表述方便，稱其為BRDF鏡面反射線，其中橫坐標(biāo)為入射角θi，單位為(°)。

圖2　排序后的BRDF仿真結(jié)果

圖3　仿真得到的BRDF鏡面反射線

為了對Cook-Torrance模型進(jìn)行研究，采用REFLET 180測量儀對航空鋁板的真實(shí)BRDF值進(jìn)行實(shí)驗(yàn)測量。REFLET 180測量儀可以對目標(biāo)進(jìn)行全方位自動(dòng)掃描和測量，快速獲得不同入射角、探測角和方位角下目標(biāo)的BRDF值。

將BRDF值按照圖1所示流程進(jìn)行排列，結(jié)果如圖4所示。提取其中的BRDF鏡面反射線如圖5所示。

圖4　排序后的BRDF值

圖5　實(shí)驗(yàn)得到的BRDF鏡面反射線

對比圖2與圖4可知，仿真結(jié)果相對實(shí)驗(yàn)結(jié)果存在較大偏差。圖3中仿真得到的BRDF鏡面反射線與圖5中實(shí)驗(yàn)得到的BRDF鏡面反射線具有明顯不同的變化趨勢。通過研究發(fā)現(xiàn)，這一部分偏差主要由于Cook-Torrance模型將每一個(gè)微面元近似為理想的光滑表面進(jìn)行研究，而實(shí)驗(yàn)中的材質(zhì)較為粗糙，故不能準(zhǔn)確地對其進(jìn)行模擬。特別是當(dāng)入射角較大時(shí)，入射方向與目標(biāo)表面趨于平行，此時(shí)在目標(biāo)材質(zhì)表面的遮擋效應(yīng)和多次散射作用十分明顯，對BRDF值產(chǎn)生較大的影響。此外，雖然Cook-Torrance模型具有比較廣泛的適用范圍，但不可能對每一種材料的BRDF值都十分準(zhǔn)確地描述，即總是會(huì)存在不同程度的偏差。因此考慮從實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)出發(fā)，針對所研究的材質(zhì)對模型進(jìn)行一些必要的修正和改進(jìn)，以使得模型能夠更準(zhǔn)確地描述該材質(zhì)的雙向反射分布特性。

3Cook-Torrance模型改進(jìn)方法研究

圖3和圖5中的16個(gè)數(shù)值可以表示鏡面反射對BRDF值的貢獻(xiàn)，而漫反射對BRDF值的貢獻(xiàn)則可以由非鏡面反射方向的BRDF值來表示。由圖2和圖4可以看出，相對于鏡面反射而言，漫反射分量非常小，故在考慮鏡面反射時(shí)，漫反射部分可以忽略不計(jì)；而在考慮漫反射時(shí)，由于其值接近于零，且理想的漫反射與角度無關(guān)，則可以將其視為常值。因此，從BRDF鏡面反射分量和BRDF漫反射分量兩部分對模型改進(jìn)方法進(jìn)行研究。

3.1基于遺傳算法的Cook-Torrance模型鏡面反射分量改進(jìn)方法

分別將實(shí)驗(yàn)和仿真得到的BRDF鏡面反射線進(jìn)行對比，如圖6所示。根據(jù)仿真數(shù)據(jù)和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的BRDF鏡面反射線變化趨勢的不同，對BRDF鏡面反射分量進(jìn)行改進(jìn)。

圖6　Cook-Torrance模型仿真數(shù)據(jù)與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對比圖

對于鏡面反射部分，可將Cook-Torrance模型簡寫成如下形式

Rs=FDGH

(4)

式中，H的表達(dá)式為

(5)

經(jīng)分析，在F、D、G和H中，僅有F和H兩項(xiàng)對鏡面反射線有影響。由于F由經(jīng)典公式——菲涅耳公式推導(dǎo)得到，具有明確的物理意義，故通過對H進(jìn)行修正來實(shí)現(xiàn)對模型的改進(jìn)[4]。由于航空鋁板表面為各向同性表面，根據(jù)光路的可逆性，可得知入射角和探測角具有互易性，從而H是關(guān)于θi、θr對稱的。

(6)

其次，考慮到此時(shí)2條鏡面反射線的變化趨勢仍然有明顯不同，于是在分子和分母項(xiàng)各加入一個(gè)常數(shù)項(xiàng)來修正曲線的細(xì)節(jié)走勢，使得仿真曲線與實(shí)驗(yàn)曲線的擬合情況更加理想，系數(shù)分別設(shè)為a和b，則有

(7)

最后，考慮到幅值的倍數(shù)差異，引入一個(gè)因子c，最終得到改進(jìn)的H表達(dá)式為

(8)

對于所選的航空鋁板材料，為了得到a、b、c的值，采用遺傳算法[5-6]進(jìn)行參數(shù)擬合。以實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)和仿真數(shù)據(jù)比值的均方差E作為遺傳算法的適應(yīng)度函數(shù)，其具體形式為

(9)

式中，Rept和Rsim分別為實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)和仿真數(shù)據(jù)；Mavg表示實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與仿真數(shù)據(jù)比值的算數(shù)平均值。

通過遺傳算法進(jìn)行參數(shù)擬合得到，當(dāng)a=0.849 2，b=0.257 6，c=0.434 7時(shí)，E取最小值。故最終得到

(10)

改進(jìn)的Cook-Torrance模型鏡面反射部分為

(11)

3.2基于統(tǒng)計(jì)方法的Cook-Torrance模型漫反射分量改進(jìn)方法

在國內(nèi)外的BRDF模型[7]中，常將物體表面的漫反射假設(shè)為理想漫反射進(jìn)行研究。由于本實(shí)驗(yàn)結(jié)果中大部分非鏡面方向的BRDF值接近于零，故假設(shè)模型的漫反射分量為理想的漫反射，并將通過統(tǒng)計(jì)平均方法得到的非鏡面反射BRDF平均值作為BRDF模型的漫反射分量。對于漫反射部分的改進(jìn)主要針對模型參數(shù)進(jìn)行化簡。

先對實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，通過對BRDF實(shí)驗(yàn)值與改進(jìn)的Cook-Torrance模型鏡面反射分量做差的方法剔除鏡面反射的部分，僅留下非鏡面反射值。在選取BRDF非鏡面反射值計(jì)算漫反射分量時(shí)，由于設(shè)備自身的探測器具有一定的測量范圍，因此鏡面反射并不完全發(fā)生在θi=θr的情況下。

圖7　BRDF漫反射分量實(shí)驗(yàn)值

(12)

先前在對Cook-Torrance模型鏡面反射部分進(jìn)行改進(jìn)時(shí)，去除了鏡面反射比例參數(shù)Ks的影響，從而使得漫反射比例參數(shù)Kd變成了一個(gè)獨(dú)立的參數(shù)。因此在對Cook-Torrance模型漫反射分量進(jìn)行改進(jìn)時(shí)，進(jìn)一步通過將Cook-Torrance模型漫反射分量中的參數(shù)Kd·ρ設(shè)為e，使模型形式相對于經(jīng)典Cook-Torrance模型進(jìn)一步簡化。簡化后BRDF漫反射分量形式如下:

(13)

對于所研究的航空鋁板，其中e=0.014 9π=0.046 8。通過以上對Cook-Torrance模型改進(jìn)方法的研究，最終得到改進(jìn)的Cook-Torrance模型為

(14)

基于航空鋁板的改進(jìn)Cook-Torrance模型為

0.046 8/π

(15)

4改進(jìn)Cook-Torrance模型驗(yàn)證

由圖7可以看出，BRDF漫反射實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)均不超過1.5，而改進(jìn)模型的漫反射仿真值為Rd=0.014 9，因此BRDF漫反射實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與改進(jìn)模型仿真數(shù)據(jù)的最大差值同樣不超過1.5。為了進(jìn)一步直觀分析改進(jìn)Cook-Torrance模型的效果，按照圖2的排列順序，仿真結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果之差的絕對值Rminus如圖8所示，其中星點(diǎn)代表鏡面反射對應(yīng)的點(diǎn)。圖8中94.79%的值滿足Rminus<0.1，此時(shí)仿真結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果擬合效果比較理想，而其中差異較大的部分主要由星點(diǎn)構(gòu)成。因此接下來將BRDF鏡面反射線提取出來進(jìn)行對比分析，如圖9所示，其中實(shí)線為仿真結(jié)果，星點(diǎn)為實(shí)驗(yàn)結(jié)果。

圖8　改進(jìn)模型仿真結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果之差

通過圖6與圖9對比可發(fā)現(xiàn)，相比于經(jīng)典Cook-Torrance模型，改進(jìn)后的模型仿真結(jié)果對實(shí)驗(yàn)得到的BRDF鏡面反射線具有非常理想的擬合效果。為了對該模型改進(jìn)方法進(jìn)一步驗(yàn)證，分別在525 nm波長的典型綠光和445 nm波長的典型藍(lán)光下，將經(jīng)典Cook-Torrance模型和改進(jìn)Cook-Torrance模型的仿真數(shù)據(jù)與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行對比分析，如圖10和圖11所示。

圖9　改進(jìn)后的Cook-Torrance模型仿真與實(shí)驗(yàn)鏡面反射線對比圖

圖10　525 nm波長下BRDF鏡面反射線對比圖

圖11　445 nm波長下BRDF鏡面反射線對比圖

由圖10和圖11中BRDF鏡面反射線的對比可以看出，改進(jìn)的Cook-Torrance模型修正了BRDF鏡面反射線的變化趨勢，特別是當(dāng)入射角度大于60°時(shí)，對實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的擬合程度有了顯著地提升。

為進(jìn)一步驗(yàn)證改進(jìn)方法的正確性，再選取一種黃銅材料，分別在645 nm、525 nm和445 nm情況下進(jìn)行驗(yàn)證。經(jīng)遺傳算法和統(tǒng)計(jì)方法計(jì)算得到改進(jìn)Cook-Torrance模型參數(shù)a=0.795 0，b=0.132 7，c=0.811 0，e=0.017 3。經(jīng)典Cook-Torrance模型和改進(jìn)Cook-Torrance模型的仿真數(shù)據(jù)與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行對比分析如圖12所示。

圖12　不同波長下黃銅材料的BRDF鏡面反射線對比圖

通過圖12可看出，由該方法得到的改進(jìn)模型，對于研究黃銅材料也具有很好的效果。綜合以上分析，充分說明了改進(jìn)的Cook-Torrance模型可以實(shí)現(xiàn)對不同材料BRDF值分布情況更加真實(shí)準(zhǔn)確的描述，也進(jìn)一步驗(yàn)證了該模型改進(jìn)方法的正確性。

5結(jié) 束 語

在645 nm的波長下，綜合考慮了鏡面反射和漫反射的情況對模型進(jìn)行改進(jìn)。通過對改進(jìn)模型仿真結(jié)果的分析得到，相比于經(jīng)典Cook-Torrance模型，改進(jìn)的Cook-Torrance模型可以更好地模擬和分析航空鋁板的雙向反射分布特性。并對不同波長和不同材質(zhì)分別做進(jìn)一步的驗(yàn)證，驗(yàn)證結(jié)果表明，對于鋁合金和黃銅等金屬材質(zhì)，改進(jìn)模型的仿真結(jié)果較為理想。

Cook-Torrance模型的改進(jìn)方法具有很重要的應(yīng)用價(jià)值。對于不同的材料，經(jīng)典Cook-Torrance模型經(jīng)常會(huì)存在不同程度的偏差。通過引入的模型參數(shù)a、b、c、e來代替原有參數(shù)Ks、Kd和ρ，得到了一個(gè)滿足互易性的四參數(shù)改進(jìn)模型。該改進(jìn)模型計(jì)算量小，且具有更廣的適用范圍和更高的準(zhǔn)確度，同時(shí)在一定程度上克服了模型適用范圍的限制給工程實(shí)際問題帶來的復(fù)雜和冗余。此外，該方法為BRDF模型的改進(jìn)工作提供了一條可以參考的途徑，對該Cook-Torrance模型改進(jìn)方法的深入研究與驗(yàn)證，將成為下一步工作的內(nèi)容。

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(編輯：李江濤)

中圖分類號O432

文章編號2095-3828(2016)01-0116-06

文獻(xiàn)標(biāo)志碼A DOI10.3783/j.issn.2095-3828.2016.01.024

作者簡介李明哲(1990-)，男，碩士研究生，主要研究方向?yàn)槟繕?biāo)光學(xué)特性分析。

基金項(xiàng)目部委級資助項(xiàng)目

收稿日期2015-01-16