摘 要： 壓縮感知可以在遠低于奈奎斯特速率下捕捉和重建可壓縮信號。它使用非自適應(yīng)線性投影，保留了信號的結(jié)構(gòu)，信號隨后可以使用最優(yōu)化過程從這些投影中重建。首先利用DSS矩陣的性質(zhì)重建低分辨率圖像，然后使用凸集投影和硬閾值技術(shù)實現(xiàn)高質(zhì)量的壓縮感知重建。將該方法與數(shù)字水印相結(jié)合，提出一種基于DSS矩陣壓縮感知的灰度圖像數(shù)字水印算法，該方法的創(chuàng)新點在于能夠根據(jù)需要提供兩路輸出，一路為快速的低分辨率輸出，一路為高質(zhì)量的CS重建輸出。經(jīng)實驗證明該算法有較高的魯棒性。

關(guān)鍵詞： 壓縮感知； DSS矩陣； 灰度圖像； 兩路輸出

中圖分類號： TN919?34 文獻標(biāo)識碼： A 文章編號： 1004?373X（2016）03?0043?04

Application of compressive sensing based on DSS matrix in digital watermark

GUAN Wenqiang， CHEN Wanpei， HAN Shanyang

（College of Information Engineering， Yangzhou University， Yangzhou 225000， China）

Abstract： The compressive sensing can capture and reconstruct the compressible signal at the rate significantly lower than Nyquist rate， for which the non?adaptive linear projections are used to reserve the signal structure， and then the signal is reconstructed from the projections by means of the optimization process. The property of the DSS matrix is applied to reconstruction of the low?resolution image， and then the high?quality compressive sensing is reconstructed by using convex set projection and hard thresholding technology. By combining the proposed method with digital watermark， a gray?scale image watermark algorithm of compressive sensing based on DSS matrix is proposed. The innovation of the method is that the technology can provide two?channel outputs， one is fast?speed output with low?resolution， and another is CS reconstruction output with high?quality. The experiment result shows that the algorithm has good robustness.

Keywords： compressive sensing； DSS matrix； gray?scale image； two?channel output

0 引 言

可壓縮信號能夠很好地被[K]稀疏表達式逼近，這是變換編碼的基礎(chǔ)[1]。在數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)（如數(shù)字相機）中變換編碼扮演了一個核心的角色。但是這種先采樣后壓縮的框架天生效率低下。

首先，即使[K]很小，起初的采集樣本數(shù)[N]可能會很大；其次，即使只需要保留[K]個最大的變換系數(shù)，也必須計算所有[N]個變換系數(shù)的集合[{si}。]再次，[K]個最大系數(shù)的位置必須被編碼，引入了額外開銷。壓縮感知（Compressive Sensing）解決了上述的缺陷[2?3]，采樣時直接獲取壓縮的信號表示，顛覆了傳統(tǒng)理論。

由于信息技術(shù)和網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的快速發(fā)展，人們在互聯(lián)網(wǎng)上可以輕松訪問并獲取大量的數(shù)字圖像數(shù)據(jù)。隨著人們知識產(chǎn)權(quán)保護意識的提高，數(shù)字水印技術(shù)作為一種在沒有任何視覺改變的情況下秘密寫入版權(quán)消息的技術(shù)，變得越來越受歡迎[4]。將壓縮感知技術(shù)與數(shù)字水印技術(shù)相結(jié)合可以顯著增加水印容量，提高水印系統(tǒng)的安全性、隱蔽性及魯棒性。

1 基于DSS矩陣的壓縮感知

經(jīng)典的壓縮感知框架使用隨機矩陣作為觀測矩陣[1?2]，矩陣中的元素服從均值為零、方差為[1N]的高斯分布（N為信號長度）。這樣的壓縮感知框架耗時較長，人們在信號沒有重建完成之前不能預(yù)先看到結(jié)果。Sankaranarayanan提出了雙尺度矩陣（Dual?Scale Sensing，DSS）的概念[5]。DSS矩陣的關(guān)鍵性質(zhì)在于它具有以低計算復(fù)雜度獲得高分辨率圖像的能力，同時也保留進行壓縮感知重建的能力。這使得人們在耗時、完整的CS重建之前可以查看預(yù)覽低分辨率的圖像，根據(jù)感興趣度再決定是否進行完整重建。

構(gòu)造DSS矩陣的一種方式是：

[Φ=HD+F] （1）

式中：[H]是一個[W×W]的哈達瑪矩陣； [D]是一個滿足[DU=I]的下采樣算子（[U]是預(yù)定義的上采樣算子）；[F]是一個輔助矩陣并且滿足以下約束：[Φ]的元素為[±1；]矩陣[Φ]有好的CS重建性質(zhì)（即滿足RIP）；[F]應(yīng)該滿足[FU=0]。

構(gòu)造DSS矩陣時使用哈達瑪矩陣有如下優(yōu)勢：它們有正交的列；在所有元素限于{-1，+1}的矩陣中有最佳的SNR性質(zhì)；應(yīng)用哈達瑪（逆）變換計算復(fù)雜度很低。這樣構(gòu)造的觀測矩陣滿足[H=ΦU，]低分辨率圖像為：

[xLi=H?yi] （2）

式中[（?）?]指矩陣的逆。

另外完整的CS重建通過SPL算法[6]完成。先以[x0=Φy]為初始解，再對其使用凸集投影和硬閾值的技術(shù)。凸集投影：[C]為超平面[C=g：Φg=y，]對于任意向量[x，]可以使用下面的方程在

硬閾值：輸入信號通過[ψ]轉(zhuǎn)換到域[f，]保留最大的[K]個[f]域系數(shù)，其余的設(shè)置為0，該過程記為[H（ψ，x，K）。]算法中還加入維納濾波的過程。

利用自然圖像逼近稀疏的事實，一些算法使用最小化全變差范數(shù)（TV）來重建。全變差范數(shù)定義為：

分塊大小為[B，]每塊采樣數(shù)為[M，]則[CS采樣率=][MB2。]實驗中[B=32，][M]分別取64和256，稀疏矩陣[ψ]取雙樹離散小波變換[7]（Dual-tree DWT，DDWT）。512×512的測試圖Boat在壓縮感知采樣率為25%下的實驗結(jié)果如圖1所示。

Boat，Peppers，Barbara，Goldhill通過SPL與TV重建的對比如表1所示。

從時間的角度看，生成低分辨率圖像非?？?，只需要3～4 s，使用DSS_SPL需要數(shù)十秒，而DSS_TV花費的時間是DSS_SPL的幾十倍甚至上百倍。從重建圖像的質(zhì)量來看，生成的低分辨率圖像質(zhì)量是可以接受的，而在重建與原圖相同分辨率的圖像時，DSS_SPL要優(yōu)于DSS_TV。綜合時間和重建圖像質(zhì)量，在進行CS重建之前可以選擇先生成低分辨率圖像，以達到對重建圖像的快速預(yù)覽，根據(jù)對圖像重建的感興趣程度，再決定是否進行DSS_SPL重建。

2 基于DSS矩陣壓縮感知的灰度圖像數(shù)字

水印算法

灰度圖像在不同尺度下分解得到了小波多分辨率表示，分解后的圖像高頻系數(shù)反映了圖像的亮度突變特性，對應(yīng)于圖像的邊緣細節(jié)，低頻系數(shù)反映原圖像的近似和平均特性，集中了原圖像的大部分信息，對應(yīng)于圖像的輪廓[8]。

從人的視覺特性上來說亮度特征與紋理特征是人眼最為敏感的圖像特征，特別地，人們希望保留圖像豐富的紋理細節(jié)。另外高頻部分系數(shù)很容易受到噪聲以及圖像處理操作的影響。綜合上述原因，本文決定在小波低頻系數(shù)中嵌入水印，提高水印的魯棒性。另外通過壓縮感知提高水印容量。

2.1 水印嵌入算法

步驟1：將宿主灰度圖像[I]進行三級小波分解，提取LL3部分并以行掃描的方式向量化為[CA3；]

步驟2：將二值水印圖像[w]通過DSS矩陣以分塊壓縮感知測量的方式進行觀測，小塊的尺寸為[B，]每塊的觀測數(shù)為[M，]即觀測矩陣的尺寸為[M×B2，]獲得觀測值矩陣為[y，]并以行掃描的方式向量化為[yc；]

步驟3：選取種子[m]通過Mersenne twister算法生成一組隨機排列[p，]在低頻向量中按照隨機排列[p]的次序嵌入觀測值向量[yc，]嵌入公式為：

[CA′3p（i）=CA3p（i）+αyc（i）]

其中[α]是水印嵌入強度，使得[mean（yc）mean（CA3sel）=b，][CA3sel]是選擇嵌入觀測值的低頻系數(shù)，[b]為一常數(shù)。

將種子[m]以及嵌入強度[α]作為密鑰進行保存。

步驟4：將低頻向量[CA′3]重構(gòu)為方陣[LL′3，]通過三級小波逆變換，得到嵌入水印的灰度圖像[Iw。]

2.2 水印提取算法

步驟1：將原始宿主灰度圖像[I]和嵌入水印的灰度圖像[Iw]分別進行三級小波分解，提取[LL3]部分并以行掃描的方式向量化為[CA3，CA3w；]

步驟2：將密鑰[m]作為種子通過Mersenne twister算法生成一組隨機排列[p，]并以此為順序分別從[CA3，CA3w]中提取元素形成向量[t1，t2。]觀測值向量通過公式[y′c=t1-t2α]得到，將[y′c]重構(gòu)為觀測值矩陣[y。]

步驟3：通過式（3）獲得二值水印圖像的低分辨率版本[Il。]

步驟4：通過SPL算法獲得與原始分辨率一致的水印圖像[I。]

步驟5：將上述圖像根據(jù)閾值[T]進行處理，即[Il（x，y）>T，]則[Il（x，y）=255，]否則[Il（x，y）=0。]

2.3 實驗與性能比較

實驗采用512×512的lenna圖像作為宿主圖像[I，]以64×64含有copy right字樣的二值圖像作為水印圖像[w。]水印嵌入算法參數(shù)設(shè)置：[B=32，][M=256，][m=10，][b=][0.001，]由于二值圖像在空域稀疏，稀疏矩陣[ψ]取單位矩陣。含水印圖像峰值信噪比為50.55 dB，通過式（3）得到的低分辨率二值水印圖像以及通過SPL提取的原分辨率水印圖像分別如圖2（c）～圖2（e）所示，[NC]值高達0.982 0。

傳統(tǒng)的壓縮感知水印算法[9?11]大多數(shù)以隨機矩陣或伯努利矩陣為觀測矩陣，以凸優(yōu)化或者貪婪算法實現(xiàn)水印圖像的重建，這里將本文算法與使用[l1]范數(shù)最小化傳統(tǒng)算法在相同條件下對常見攻擊進行性能比較，如表2所示。

由表2可以看出，面對常見的圖像攻擊，本文算法提取出的水印有較高的NC值，水印有較高的辨識度，魯棒性更強。

3 結(jié) 語

本文首先使用雙尺度矩陣實現(xiàn)了圖像的壓縮感知重建。結(jié)合數(shù)字水印技術(shù)，使得數(shù)字水印在提取過程中可以實現(xiàn)兩路輸出：一路為快速的低分辨率水印圖像；一路為高質(zhì)量的原分辨率水印圖像。另外，與傳統(tǒng)使用高斯隨機矩陣采樣、[l1]范數(shù)最小化重建的傳統(tǒng)壓縮感知水印算法相比，本文算法具有更好的魯棒性。

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