王玉卿，王夢溪，杜金雁

地震概率安全分析中地震易損度不確定性分布的研究

王玉卿，王夢溪，杜金雁

（中國核電工程有限公司，北京100840）

核電廠地震概率安全分析（PSA）中，構(gòu)筑物和設(shè)備的地震易損度是在給定地面運(yùn)動強(qiáng)度條件下的條件失效概率。地震易損度的不確定性分布較為復(fù)雜，在地震PSA定量化過程中難于處理。本文針對地震易損度的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行研究，采用數(shù)值方法求解地震易損度的均值和方差。在均值和方差相等的條件下，以幾種常見的不確定性分布類型近似地震易損度的不確定性分布。通過比較可以看出，Beta分布可以較為準(zhǔn)確地描述地震易損度的不確定性分布。

地震概率安全分析；地震易損度；不確定性分布；Beta分布

地震概率安全分析（Probabilistic Safety Assessment，PSA）是一種全面、綜合評估核電廠地震風(fēng)險的方法，其三個基本組成要素包括地震危險性分析、地震易損度分析和電廠響應(yīng)分析［1-2］。

地震易損度分析通過對地震條件下核電廠的構(gòu)筑物、系統(tǒng)和設(shè)備（Structure System or Component，SSC）的地震反應(yīng)及抗震能力的最佳估計(jì)，評價核電廠SSC在給定地震地面運(yùn)動強(qiáng)度條件下的條件失效概率［2］，即SSC的地震易損度。在地震PSA最終的定量化分析中，要綜合地震危險性分析和地震易損度分析的結(jié)果，對通過電廠響應(yīng)分析建立的地震PSA模型進(jìn)行定量化計(jì)算。地震易損度具有較為復(fù)雜的不確定性分布，在地震PSA的定量化過程中較難處理。

本文對地震PSA中地震易損度的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行研究，采用數(shù)值方法求解地震易損度均值和方差。在基本保證均值和方差相等的條件下，以幾種常見的分布類型近似地震易損度的不確定性分布，并通過概率密度函數(shù)曲線的比較，確定能夠近似地震易損度的不確定性分布的類型。

1 地震易損度的數(shù)學(xué)模型

根據(jù)參考文獻(xiàn)［2］和［3］中的分析，假定SSC所能承受的地面運(yùn)動加速度能力A是一個隨機(jī)變量，服從如下雙對數(shù)正態(tài)分布［2-3］：

式中：Am——地面運(yùn)動加速度能力的中值；

eR——隨機(jī)性不確定度，服從中值為1的對數(shù)正態(tài)分布，其對數(shù)標(biāo)準(zhǔn)偏差為βR；eU——認(rèn)知性不確定度，服從中值為1的對數(shù)正態(tài)分布，其對數(shù)標(biāo)準(zhǔn)偏差為βU。

SSC的地震易損度就由Am、βR和βU三個參數(shù)確定。

當(dāng)?shù)卣甬a(chǎn)生的地面運(yùn)動加速度a超過了SSC的地面運(yùn)動加速度能力A時，即認(rèn)為SSC將由于受地震影響而失效。因此可由（1）式進(jìn)行推導(dǎo)［3］，得出給定的地面運(yùn)動加速度a下SSC的條件失效概率P，即地震易損度，可以表示為：

式中：Φ——標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的累積分布函數(shù)；

Q——條件失效概率值小于P（a，Q）的概率（置信度）。

根據(jù)Q的定義，可以得到地面運(yùn)動加速度a條件下地震易損度的累積分布函數(shù)和概率密度函數(shù)如下：

由以上兩式可以看出，在給定地面運(yùn)動加速度a條件下，地震易損度的累積分布函數(shù)和概率密度函數(shù)解析式非常復(fù)雜，并不符合常見的分布類型。以設(shè)備的地震易損度參數(shù)Am＝0．87 g，βR＝0．25，βU＝0．35為例，可作出設(shè)備的地震易損度曲線、不同加速度下地震易損度的累積分布函數(shù)和概率密度函數(shù)的示意圖，分別如圖1至圖3所示。

圖1 地震易損度曲線Fig．1 Seismic Fragility Curves

2 地震易損度分布類型的近似

地震易損度的不確定性分布非常復(fù)雜，只能以常見的分布類型進(jìn)行近似，在近似時要基本保證地震易損度的均值（或數(shù)學(xué)期望）和方差相等。

圖3 概率密度函數(shù)示意圖Fig．3 Figure of Probability Density Function

在地震PSA中，地震風(fēng)險貢獻(xiàn)最為重要的地面運(yùn)動加速度區(qū)間為0．2 g至1．0 g的范圍。因?yàn)?，震級更低的地震不足以對核電廠的安全運(yùn)行造成威脅，而對于震級更高的地震，通常可認(rèn)為將引起核電廠大范圍的嚴(yán)重破壞，直接導(dǎo)致堆芯損壞和放射性釋放，但由于此類地震發(fā)生頻率非常低，因此其風(fēng)險貢獻(xiàn)也可以忽略［5］。所以，在0．2 g至1．0 g的加速度區(qū)間內(nèi)，比較分布類型近似的準(zhǔn)確程度更為有意義。

2.1 地震易損度的均值和方差

根據(jù)隨機(jī)變量的均值和方差的定義［4］，可以得到給定地面運(yùn)動加速度a下，地震易損度的均值E（a）和方差Var（a）的表達(dá)式：

本文以抗震能力不同的三個設(shè)備（見表1）為例，對0．2 g至1．0g區(qū)間內(nèi)5個加速度值下的地震易損度的不確定性分布進(jìn)行近似。根據(jù)式（5）、式（6）兩式的數(shù)值積分［6］，可得不同加速度下三個示例設(shè)備的地震易損度均值和方差，見表1。

表1 地震易損度的均值和方差Table1 The Mean Values and Variance of Seismic Fragility of Example Components

2.2 分布參數(shù)的計(jì)算

表2列出了可靠性分析中幾種常見的不確定性分布類型、分布參數(shù)及其概率密度函數(shù)［7-8］。

表2 幾種常見的不確定性分布類型Table2 Several Common Uncertainty Distribution Types

根據(jù)地震易損度累積分布函數(shù)和概率密度函數(shù)的表達(dá)式及示意圖，可以判斷表2中的正態(tài)分布和均勻分布都不符合地震易損度的分布類型。因此這里僅討論以Lognormal分布、Beta分布和Gamma分布近似地震易損度數(shù)據(jù)的合理性。表3給出了由地震易損度的均值和方差求解上述幾種分布類型的分布參數(shù)的公式［7-8］。

根據(jù)表3的公式可求得對應(yīng)表1中三個示例設(shè)備不同加速度下的Lognormal分布、Beta分布、Gamma分布的分布參數(shù)，見表4。

表3 分布參數(shù)計(jì)算公式Table3 Formulation for Distribution Parameters

表4 示例設(shè)備的分布參數(shù)Table4 Distribution Parameters of Example Components

續(xù)表

3 結(jié)果比較

根據(jù)上述結(jié)果，做出不同加速度下三個示例設(shè)備的地震易損度的概率密度函數(shù)曲線，見圖4至圖6，圖中只給出0．2 g，0．6 g和1．0 g加速度下的曲線比較結(jié)果。

圖4 示例設(shè)備A的結(jié)果比較Fig．4 Results of Example Component A（a）地面運(yùn)動加速度a＝0．2 g；（b）地面運(yùn)動加速度a＝0．6 g；（c）地面運(yùn)動加速度a＝1．0 g

圖5 示例設(shè)備B的結(jié)果比較Fig．5 Results of Example Component B（a）地面運(yùn)動加速度a＝0．2 g；（b）地面運(yùn)動加速度a＝0．6 g；（c）地面運(yùn)動加速度a＝1．0 g

圖6 示例設(shè)備C的結(jié)果比較Fig．6 Results of Example Component C（a）地面運(yùn)動加速度a＝0．2 g；（b）地面運(yùn)動加速度a＝0．6 g；（c）地面運(yùn)動加速度a＝1．0 g

通過比較幾組結(jié)果可以看出：Lognormal分布無法近似地震易損度的真實(shí)分布；當(dāng)?shù)孛孢\(yùn)動加速度接近或超過設(shè)備地震易損度參數(shù)Am時，Gamma分布與真實(shí)分布出現(xiàn)較大偏離，例如圖4-b、圖4-c和圖5-c，尤其是對于圖4-c，由于Gamma分布的分布參數(shù)太大，其概率密度函數(shù)已無法計(jì)算，此時已無法用Gamma函數(shù)進(jìn)行近似。而Beta分布在不同情況下都能夠較為合理地描述地震易損度數(shù)據(jù)的分布。

4 結(jié)論

地震易損度的定義是核電廠SSC在給定地震地面運(yùn)動強(qiáng)度條件下的條件失效概率。本文通過對地震PSA中地震易損度的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行研究，由地震易損度的表達(dá)式，推導(dǎo)出地震易損度的累積分布函數(shù)和概率密度函數(shù)的解析式，由其解析式及函數(shù)曲線可以看出地震易損度具有較為復(fù)雜的不確定性分布。

地震PSA中，地震風(fēng)險貢獻(xiàn)最為重要的地面運(yùn)動加速度區(qū)間為0．2～1．0 g，因此應(yīng)在此地震加速度區(qū)間內(nèi)對地震易損度的分布類型進(jìn)行近似。

本文采用數(shù)值積分求解地震易損度均值和方差的方法，并在地震易損度均值和方差相等的條件下，用幾種常見的分布類型對地震易損度的不確定性分布進(jìn)行近似。通過比較分析可以看出，在0．2～1．0 g加速度區(qū)間內(nèi)，Beta分布可以較為合理的近似地震易損度不確定性分布。

［1］ ASME／ANS-RA-Sa-2009．“Standard for Level 1／Large Early Release Frequency Probabilistic Risk Assessment for Nuclear Power Plant Applications”．2009．

［2］ EPRI．Seismic probabilistic risk assessment implementation guide［R］．EPRI：EPRI 1002989，2003．

［3］ EPRI．Methodology for Developing Seismic Fragilities［R］．EPRI TR-103959，1994．

［4］ 盛驟，謝式千，潘承毅．概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)［M］．北京：高等教育出版社，2001．

［5］ 張曉明，楊志超，肖軍．地震PSA方法研究．2012核能概率安全分析（PSA）研討會會議文集［C］．上海，2012：429-434．

［6］ 李慶楊，王能超，易大義．?dāng)?shù)值分析［M］．北京：清華大學(xué)出版社，2008．

［7］ 賀國芳，許海寶，瞿榮貞．可靠性數(shù)據(jù)的收集與分析［M］．北京：國防工業(yè)出版社，1995．

［8］ O．Nusbaumer．Analytic solution of seismic probabilistic risk assessment［R］．In．Proc．ESREL Conference．2005．

Study on the uncertainty distribution of seismic fragility in seismic PSA

WANG Yu-qing，WANG Meng-xi，Du Jin-yan

（China Nuclear Power Engineering Co．，Ltd．，Beijing 100840，China）

In seismic PSA for nuclear power plant，the fragility of a structure or equipment is defined as the conditional probability of its failure at a given ground motion level．The complicated uncertainty distribution of seismic fragility makes it difficult to complete the quantification in seismic PSA．This paper studies the mathematical model of seismic fragility，and then calculates the mean value and the variance of fragility by numerical method．Several common uncertainty distribution types are used to approximate the distribution of seismic fragility，with the same mean value and the variance．The results show that Beta distribution can be used to approximate the seismic fragility distribution with a high level of accuracy．

Seismic PSA；Seismic Fragility；Uncertainty Distribution；Beta Distribution

TL732＋．5

A

0258-0918（2016）01-0109-07

2015-12-21

王玉卿（1988—），男，山東濰坊人，碩士研究生，主要從事核電廠地震概率安全分析方面的研究