孫嵩松，俞小莉，李建鋒

(1.浙江大學(xué)動(dòng)力機(jī)械及車(chē)輛工程研究所，杭州 310027； 2.濰柴動(dòng)力杭州分公司，杭州 310012)

2016157

基于多軸疲勞理論的曲軸結(jié)構(gòu)等效疲勞研究

孫嵩松1，俞小莉1，李建鋒2

(1.浙江大學(xué)動(dòng)力機(jī)械及車(chē)輛工程研究所，杭州 310027； 2.濰柴動(dòng)力杭州分公司，杭州 310012)

采用有限元法，對(duì)曲軸進(jìn)行彎矩載荷作用下的應(yīng)力分析，并應(yīng)用坐標(biāo)變換法對(duì)應(yīng)力集中區(qū)域內(nèi)的應(yīng)力狀態(tài)進(jìn)行分析，確定曲軸的臨界平面位置和疲勞損傷的類(lèi)型。在此基礎(chǔ)上選擇合適的多軸疲勞損傷模型對(duì)由同種材料、不同結(jié)構(gòu)的曲軸的疲勞極限載荷進(jìn)行預(yù)測(cè)。預(yù)測(cè)與試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比表明：傳統(tǒng)的名義應(yīng)力法在預(yù)測(cè)同種材料、且圓角半徑相同的曲軸疲勞極限載荷時(shí)具有較高的準(zhǔn)確度，但是在預(yù)測(cè)不同圓角的曲軸的疲勞極限載荷時(shí)，誤差較大；而采用經(jīng)典的KBM多軸疲勞損傷模型，能有效準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)不同圓角的曲軸的疲勞極限載荷。

發(fā)動(dòng)機(jī)曲軸；多軸疲勞損傷模型；臨界平面；疲勞極限載荷

前言

曲軸等發(fā)動(dòng)機(jī)零部件在實(shí)際工作過(guò)程中，一些關(guān)鍵部位如圓角、油孔等由于截面形狀的突變，會(huì)產(chǎn)生應(yīng)力集中現(xiàn)象，往往是導(dǎo)致疲勞失效的來(lái)源[1]。

針對(duì)該類(lèi)問(wèn)題，近年來(lái)國(guó)內(nèi)外的一些學(xué)者做了大量的工作。其中Taylor提出了裂紋模擬技術(shù)，通過(guò)構(gòu)造與構(gòu)件應(yīng)力梯度一致的標(biāo)準(zhǔn)裂紋體，對(duì)同樣材料屬性、不同結(jié)構(gòu)的構(gòu)件的疲勞極限載荷進(jìn)行預(yù)測(cè)，但是由于二者之間應(yīng)力狀態(tài)的本質(zhì)差異，預(yù)測(cè)結(jié)果有時(shí)會(huì)導(dǎo)致較大的誤差[2-5]；同時(shí)Taylor提出了臨界距離理論，通過(guò)對(duì)一定范圍內(nèi)的應(yīng)力狀態(tài)進(jìn)行分析，取得了更為準(zhǔn)確的疲勞極限預(yù)測(cè)結(jié)果[6-8]。

國(guó)內(nèi)方面，文獻(xiàn)[9]中利用Isight平臺(tái)，定量分析了曲軸主要的結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)其疲勞強(qiáng)度的影響，并與試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比；針對(duì)傳統(tǒng)裂紋模擬技術(shù)的不足，文獻(xiàn)[10]中提出了利用等效缺口件預(yù)測(cè)曲軸的疲勞極限載荷，取得了更準(zhǔn)確的預(yù)測(cè)結(jié)果；文獻(xiàn)[11]和文獻(xiàn)[12]中采用多體動(dòng)力學(xué)計(jì)算了曲軸和軸承座在循環(huán)工況內(nèi)的復(fù)合載荷作用下的疲勞壽命，取得了更具指導(dǎo)意義的結(jié)論。

與國(guó)外的研究相比，目前國(guó)內(nèi)針對(duì)發(fā)動(dòng)機(jī)零部件疲勞的研究，大部分還都是基于傳統(tǒng)的名義應(yīng)力法，即認(rèn)為曲軸的疲勞壽命與應(yīng)力集中處的應(yīng)力幅值呈對(duì)數(shù)線性關(guān)系。該方法在一般工程應(yīng)用中，能夠比較方便地對(duì)零部件的安全性進(jìn)行評(píng)估，但是通常將應(yīng)力集中處的應(yīng)力狀態(tài)，默認(rèn)為是單軸的拉伸應(yīng)力狀態(tài)。對(duì)于曲軸這樣的三維實(shí)體構(gòu)件，其在外載作用時(shí)，應(yīng)力狀態(tài)往往呈現(xiàn)出一定的多軸性，因此這種假設(shè)往往與實(shí)際的情況存在一定的偏差。據(jù)此，本文中首先根據(jù)曲軸應(yīng)力集中處的應(yīng)力狀態(tài)分析，判斷曲軸的損傷類(lèi)型，在此基礎(chǔ)上對(duì)同種材料、同種工藝的曲軸的疲勞極限載荷進(jìn)行預(yù)測(cè)。通過(guò)對(duì)比預(yù)測(cè)與試驗(yàn)結(jié)果證明，與傳統(tǒng)名義應(yīng)力法相比，基于多軸疲勞理論的方法能更準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)不同結(jié)構(gòu)曲軸的疲勞極限載荷。

1 曲軸損傷類(lèi)型分析

1.1 基本損傷模型

目前針對(duì)多軸疲勞的問(wèn)題，還沒(méi)有一個(gè)通用的損傷模型。研究表明[13-15]，臨界平面法能夠較為準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)多軸疲勞壽命。其主要流程分為兩步：第一，基于某一準(zhǔn)則確定臨界平面；第二，基于確定的臨界平面，采用相應(yīng)的疲勞損傷模型進(jìn)行疲勞壽命的研究。

根據(jù)構(gòu)件材料類(lèi)型和應(yīng)力集中處的應(yīng)力應(yīng)變狀態(tài)，可將金屬構(gòu)件的破壞分為拉伸型和剪切型兩種疲勞破壞形式[16]。對(duì)于拉伸型破壞，Smith認(rèn)為應(yīng)力集中處的裂紋擴(kuò)展垂直于最大拉伸應(yīng)變方向，因此臨界平面就定義為最大正應(yīng)變幅平面[17]；而對(duì)于剪切型的破壞，Eatemi認(rèn)為裂紋沿著最大剪切應(yīng)變方向擴(kuò)展[18]。因此通過(guò)對(duì)曲軸應(yīng)力集中處的應(yīng)力應(yīng)變狀態(tài)進(jìn)行分析，便可確定最大拉伸應(yīng)變和最大剪切應(yīng)變的方向。在此基礎(chǔ)上再與實(shí)際試驗(yàn)中曲軸裂紋擴(kuò)展的方向進(jìn)行對(duì)比，即可確定破壞形式。

1.2 最大應(yīng)力應(yīng)變平面的確定方法

對(duì)于曲軸這樣的三維實(shí)力構(gòu)件，其應(yīng)力集中處的應(yīng)力應(yīng)變狀態(tài)往往比較復(fù)雜，其最大應(yīng)力應(yīng)變平面的確定，可以采用應(yīng)變張量矩陣結(jié)合坐標(biāo)系變換法[19-20]。該類(lèi)方法的第一步，就是以空間任意一點(diǎn)O為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系O-XYZ，如圖1所示。

圖中，平面Δ是空間中通過(guò)O點(diǎn)的任意平面，其法向向量為n，n在O-XYZ坐標(biāo)系中的投影與X軸、Z軸的夾角分別為θ和φ，O點(diǎn)的應(yīng)變張量在O-XYZ坐標(biāo)系中的矩陣表達(dá)式為

(1)

引入如圖1所示坐標(biāo)系O-nab，則法向向量n與a和b軸在O-XYZ坐標(biāo)系下的表達(dá)式分別為

(2)

(3)

(4)

對(duì)于平面Δ中，過(guò)O點(diǎn)的任意方向的直線m，m與O-nab坐標(biāo)系中a軸之間的夾角為α，如圖1所示，則沿m方向的向量為

(5)

則對(duì)于平面nom內(nèi)的剪切應(yīng)變張量和向量n方向的拉伸應(yīng)變張量分別為

(6)

(7)

通過(guò)改變?chǔ)?，θ和φ的值，分別計(jì)算出各個(gè)平面內(nèi)的剪切應(yīng)變、拉伸應(yīng)變的最大值，就可以確定拉伸應(yīng)變最大與剪切應(yīng)變最大的平面。通過(guò)對(duì)比該平面與實(shí)際裂紋擴(kuò)展面，即可確定疲勞破壞的形式。

1.3 曲軸應(yīng)力應(yīng)變狀態(tài)及其破壞形式分析

根據(jù)曲軸的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，選取其中某一曲拐作為應(yīng)力應(yīng)變的計(jì)算對(duì)象，圖2為某款發(fā)動(dòng)機(jī)曲軸某一曲拐的有限元模型，根據(jù)圣維南原理，曲軸的邊界條件可等效為在曲軸的右主軸頸端面約束住所有的自由度，曲軸的彎矩載荷施加在左截面，載荷大小為任意載荷，彎矩載荷作用下曲拐應(yīng)力分布的計(jì)算結(jié)果如圖3所示。

由圖3可以看出，曲軸在受到彎矩載荷的作用時(shí)，最大應(yīng)力值在曲柄銷(xiāo)的圓角部位。為保證疲勞壽命的預(yù)測(cè)精度，對(duì)曲軸圓角部位應(yīng)力狀態(tài)計(jì)算結(jié)果的網(wǎng)格依賴性進(jìn)行分析[21]，其結(jié)果如表1所示。

表1 曲軸圓角應(yīng)力與網(wǎng)格尺寸的關(guān)系

由表1可以看出，當(dāng)曲軸圓角處的網(wǎng)格尺寸由1.5減小至1.0mm時(shí)，最大應(yīng)力值相對(duì)增幅不足1%，由1.0減小至0.5mm時(shí)，相對(duì)增幅不足0.5%，說(shuō)明此網(wǎng)格尺寸下的應(yīng)力值已經(jīng)趨收斂于確定值。綜合考慮計(jì)算精度和成本，最終網(wǎng)格尺寸確定為1.0mm。

利用坐標(biāo)變換法對(duì)曲軸應(yīng)力集中處的應(yīng)力狀態(tài)進(jìn)行分析，最終得出最大剪切應(yīng)變所在的平面內(nèi)的α，θ和φ值分別為136°，90°和91°，而最大拉伸應(yīng)變平面內(nèi)的α，θ和φ值分別為0°，90°和0°。

在曲軸彎曲疲勞試驗(yàn)中，裂紋擴(kuò)展的路徑是由曲柄銷(xiāo)的圓角部位指向主軸頸的圓角部位。裂紋擴(kuò)展所在的平面，與曲軸軸線約成135°的夾角。對(duì)比分析計(jì)算所得的結(jié)果，可以確定曲軸的疲勞屬于剪切型疲勞。

2 曲軸算例

2.1 疲勞模型與預(yù)測(cè)方法

對(duì)于多軸疲勞問(wèn)題，目前還沒(méi)有一個(gè)真正意義上通用的壽命預(yù)測(cè)模型。早期開(kāi)展的多軸疲勞研究大多是針對(duì)低周疲勞進(jìn)行的，其加載控制方式主要采用應(yīng)變控制。而曲軸的疲勞屬于典型的高周疲勞問(wèn)題，與僅僅采用應(yīng)變狀態(tài)來(lái)描述疲勞破壞與損傷的物理機(jī)理有差別。Brown和Miller根據(jù)疲勞損傷力學(xué)相關(guān)理論，認(rèn)為臨界平面內(nèi)的剪切應(yīng)變是裂紋萌生和形成的主要因素，同時(shí)法向應(yīng)變控制著裂紋的擴(kuò)展與增長(zhǎng)速率。在此基礎(chǔ)上Kandil提出了著名的KBM模型，用于分析剪切疲勞問(wèn)題[22]。該模型綜合考慮了應(yīng)力應(yīng)變狀態(tài)對(duì)多軸疲勞的影響，其表達(dá)式為

(8)

式中γmax和εn,max分別為臨界平面內(nèi)的剪切應(yīng)變與法向拉伸應(yīng)變。

本文中所研究的曲軸材料為42CrMo，該材料的屈服極限為930MPa。而在試驗(yàn)過(guò)程中，曲軸圓角應(yīng)力集中處應(yīng)力值最大為680MPa，因此假設(shè)只包括彈性應(yīng)變，則式(8)可簡(jiǎn)化為

(9)

log(εeq)=blog(2Nf)+A

(10)

在實(shí)際工程應(yīng)用中，對(duì)于同種材料、同種工藝的曲軸，其材料屬性均可作一致性處理，因此A和b可以認(rèn)為是定值。因而對(duì)于相同材料、相同工藝制造的曲軸，其疲勞壽命可認(rèn)為僅取決于εeq。因此，依據(jù)某已知疲勞極限載荷值的曲軸的基礎(chǔ)數(shù)據(jù)，則可預(yù)測(cè)其他與之有著相同材料、相同工藝曲軸的疲勞極限載荷，具體流程為：

(1) 對(duì)已知極限載荷的曲軸進(jìn)行有限元分析，并對(duì)圓角應(yīng)力集中處的應(yīng)力狀態(tài)進(jìn)行分析，獲取其極限等效應(yīng)變；

(2) 對(duì)同種材料、同種工藝的曲軸在一定彎矩載荷下的有限元分析，計(jì)算其等效應(yīng)變；

(3) 通過(guò)對(duì)比等效應(yīng)變結(jié)果，預(yù)測(cè)曲軸的疲勞極限載荷。

2.2 曲軸預(yù)測(cè)案例及其分析

選取已有試驗(yàn)數(shù)據(jù)的某一型號(hào)C0曲軸為例，對(duì)其進(jìn)行等效應(yīng)變的計(jì)算。該曲軸的材料為42CrMo，表面氮化。通過(guò)對(duì)試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，可得到該型號(hào)的曲軸的疲勞極限載荷為4 882N·m。通過(guò)有限元分析，在該彎矩載荷作用下，曲軸圓角應(yīng)力集中處的Mises應(yīng)力最大值為557MPa，臨界平面內(nèi)的應(yīng)力應(yīng)變分量如表2所示，載荷比為-1，代入式(11)計(jì)算，可得其在極限等效應(yīng)變?yōu)?.002 922 7。

選取其他兩款與上述曲軸具有相同的材料和工藝的曲軸C1和C2，對(duì)其施加1 000N·m的彎矩，其應(yīng)力集中處的最大應(yīng)力分別為133和210.5MPa，應(yīng)力應(yīng)變狀態(tài)的分析結(jié)果如表2所示。

表2 曲軸應(yīng)力應(yīng)變狀態(tài)

設(shè)C1和C2曲軸的疲勞極限載荷分別為X1和X2，基于KBM模型求解其疲勞極限載荷，則有

Δεn1=0.0029227

Δεn2=0.0029227

解方程得：X1=4284N·m；X2=3323N·m。采用基于傳統(tǒng)的名義應(yīng)力法求解上述這兩款曲軸的疲勞極限載荷，則有：

3 疲勞試驗(yàn)驗(yàn)證

采用機(jī)械諧振式曲軸彎曲疲勞試驗(yàn)裝置，對(duì)曲軸進(jìn)行彎曲疲勞試驗(yàn)。試驗(yàn)過(guò)程中載荷的控制和失效判定可參照文獻(xiàn)[23]和文獻(xiàn)[24]。表3和表4為這兩種曲軸的疲勞試驗(yàn)數(shù)據(jù)。

表3 C1曲軸疲勞試驗(yàn)數(shù)據(jù)

表4 C2曲軸疲勞試驗(yàn)數(shù)據(jù)

文獻(xiàn)[25]中研究了構(gòu)件疲勞極限載荷的分布規(guī)律，提出可以利用正態(tài)分布函數(shù)統(tǒng)計(jì)曲軸的疲勞極限載荷。采用該方法，對(duì)C1和C2曲軸的疲勞極限載荷進(jìn)行分析，可得這兩款曲軸的疲勞極限載荷分別為4 290和3 426N·m。

通過(guò)對(duì)比試驗(yàn)數(shù)據(jù)與預(yù)測(cè)結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，基于KBM多軸疲勞模型預(yù)測(cè)C1和C2曲軸的疲勞極限載荷，都具有很高的精度，完全滿足工程應(yīng)用的要求；而基于名義應(yīng)力法預(yù)測(cè)C1曲軸的疲勞極限載荷時(shí)比較準(zhǔn)確，但是在預(yù)測(cè)C2曲軸時(shí)的誤差較大。

根據(jù)文獻(xiàn)[9]的分析，在曲軸的主要結(jié)構(gòu)參數(shù)中，主軸頸的圓角半徑對(duì)曲軸的疲勞強(qiáng)度的影響最大。本文中C1曲軸的圓角半徑與C0曲軸相等，同為5mm，而C2曲軸的半徑為3mm，結(jié)構(gòu)的差異導(dǎo)致預(yù)測(cè)誤差較大。因此對(duì)于結(jié)構(gòu)不同的曲軸疲勞極限載荷的預(yù)測(cè)，采用臨界平面法更為精確。

4 結(jié)論

(1) 曲軸的彎曲疲勞屬于多軸疲勞問(wèn)題，通過(guò)對(duì)曲軸在彎矩載荷作用下，應(yīng)力集中處的應(yīng)力狀態(tài)進(jìn)行分析研究，確定曲軸彎曲疲勞的臨界平面和疲勞損傷類(lèi)型。

(2) 分別采用KBM多軸疲勞模型和名義應(yīng)力法對(duì)同種材料、不同結(jié)構(gòu)的曲軸疲勞極限載荷進(jìn)行預(yù)測(cè)，通過(guò)對(duì)比試驗(yàn)數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，傳統(tǒng)的名義應(yīng)力法在預(yù)測(cè)不同圓角半徑的曲軸的疲勞極限載荷時(shí)誤差較大，而基于KBM的多軸疲勞模型能夠準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)不同圓角半徑的曲軸疲勞極限載荷，具有更為廣泛的工程適用性。

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A Study on the Equivalent Fatigue of Crankshaft StructureBased on the Theory of Multi-axial Fatigue

Sun Songsong1, Yu Xiaoli1& Li Jianfeng2

1.PowerMachinery&VehicularEngineeringInstitute,ZhejiangUniversity,Hangzhou310027;2.HangzhouBranch,WeichaiPowerCo.,Ltd.,Hangzhou310012

The stress analysis of a crankshaft under bending moment loading is conducted by using finite element method, and the stress states in its stress concentration area are analyzed by applying coordinate transformation scheme to determine the position of critical plane and the fatigue damage types of crankshaft. On this basis, an appropriate multi-axial fatigue damage model is chosen to predict the fatigue limit load of crankshafts with the same material and different structures. The results of comparison between prediction and test show that the traditional nominal stress method has higher accuracy in predicting the fatigue limit load of crankshafts with the same material and same fillet radius, but has relatively apparent error in predicting the fatigue limit load of crankshafts with different fillet radii, while the classical KBM multi-axial fatigue damage model can effectively and accurately predict the fatigue limit load of crankshafts with different fillet radii.

engine crankshaft; multi-axial fatigue damage model; critical plane; fatigue limit load

原稿收到日期為2015年8月28日。