彭娜 姚波 王福忠

摘要：針對(duì)線性系統(tǒng)，基于線性矩陣不等式（LMI），給出具有抵御任意故障的H₂動(dòng)態(tài)輸出反饋控制器的設(shè)計(jì)方案，所得到的結(jié)論不僅是能抵御執(zhí)行器或傳感器任何一類部件發(fā)生故障的完整性設(shè)計(jì)方案，而且能使系統(tǒng)達(dá)到給定的H₂性能指標(biāo)。使用比離散故障模型更具有實(shí)際意義的連續(xù)故障模型.一個(gè)數(shù)值例子說明所提方法的有效性。

關(guān)鍵詞：任意故障動(dòng)態(tài)輸出；線性系統(tǒng)；線性矩陣不等式（LMI）

中圖分類號(hào)：O231.1文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

1引言

可靠控制是指針對(duì)系統(tǒng)部件可能發(fā)生的故障考慮在控制器設(shè)計(jì)過程中，所得到的可靠控制器可使閉環(huán)系統(tǒng)無論部件是否出現(xiàn)故障都能保持漸近穩(wěn)定性和一定的性能指標(biāo)。到目前為止，人們對(duì)于可靠控制的研究已經(jīng)取得了很大的進(jìn)展，文獻(xiàn)[1，2]利用離散故障模型分別給出了考慮執(zhí)行器故障和傳感器故障的可靠控制器設(shè)計(jì)。文獻(xiàn)[3]使用連續(xù)故障模型，給出了更實(shí)用的可靠控制器的設(shè)計(jì)方法。文獻(xiàn)[4]基于LMI方法給出了抵御傳感器故障的動(dòng)態(tài)輸出H2可靠控制器的設(shè)計(jì)。文獻(xiàn)[5]研究了具有執(zhí)行器故障的時(shí)變系統(tǒng)H₂/H∞可靠控制器設(shè)計(jì)問題。然而，這樣的可靠控制器并不能真正的保證系統(tǒng)的可靠。對(duì)于抵御傳感器故障的可靠控制器，傳感器沒有發(fā)生故障而執(zhí)行器發(fā)生了故障，可使系統(tǒng)失去穩(wěn)定性；另一方面，抵御執(zhí)行器故障的可靠控制系統(tǒng)發(fā)生了傳感器故障，系統(tǒng)也將失去穩(wěn)定性。迄今為止，人們對(duì)于抵御任意故障的可靠控制器的研究還不是十分廣泛，文獻(xiàn)[6]給出了考慮傳感器或執(zhí)行器任何一類部件發(fā)生故障的完整性設(shè)計(jì)方案。

本文使用連續(xù)故障模型，基于LMI給出了抵御任意故障的動(dòng)態(tài)輸出反饋H2可靠控制器存在的充分條件，并給出了其設(shè)計(jì)方法。

2問題描述

考慮如下線性系統(tǒng)：

（t）=Ax（t）+B1ω（t）+B2u（t）z（t）=C1x（t）+D1u（t）y（t）=C2x（t）.（1）

其中x（t）∈Rn為系統(tǒng)狀態(tài)變量，y（t）∈Rm是系統(tǒng)測量輸出，u（t）∈Rm為控制輸入，ω（t）∈Rl為平方可積的系統(tǒng)外部有界擾動(dòng)輸入，z（t）∈Rr是系統(tǒng)被控輸出，A，B1，B2，C1，C2，D1為適當(dāng)維數(shù)的常值矩陣。

對(duì)于系統(tǒng)（1），給出動(dòng)態(tài)輸出反饋控制器

·（t）=AK（t）+BKy（t）u（t）=CK（t）.（2）

傳感器故障模型描述如下

yf（t）=Fsy（t）.（3）

故障處理：

Fs=diag（fs1，fs2，…，fsm），si≤fsi≤si0≤si≤1，si≥1，si≠si，（i=1，2，…，m）jsi=si-sisi+si，fsi0=12（si+si），lsi=fsi-fsi0fsi0

對(duì)于傳感器故障矩陣可以得到如下關(guān)系：

Fs=Fs0（I+Ls），Ls≤Js≤I

執(zhí)行器故障模型描述如下

uf（t）=Fau（t）.（4）

故障處理：

Fa=diag（fa1，fa2，…，fap），ai≤fai≤ai0≤ai≤1，ai≥1，ai≠ai，（i=1，2，…，p）jai=ai-aiai+ai，fai0=12（ai+ai），lai=fai-fai0fai0

對(duì)于執(zhí)行器故障矩陣可以得到如下關(guān)系：

Fa=Fa0（I+La），|La|≤Ja≤I

由系統(tǒng)（1），控制器（2）和故障模型（3）（4）構(gòu)成了閉環(huán)系統(tǒng)，描述如下

·（t）=Ac（t）+Bcω（t）z（t）=Cc（t）.（5）

計(jì)算技術(shù)與自動(dòng)化2016年3月

第35卷第1期彭娜等：抵御任意故障的H₂動(dòng)態(tài)輸出反饋可靠控制研究

其中

（t）=x（t）（t），Ac=AB2CkBkFsC2Ak，Bc=B10，Cc=C1D1Ck.

引理1[4]：對(duì)于系統(tǒng)（5），標(biāo)量γFs>0和傳感器故障模型（3），如果存在矩陣，，以及正定矩陣X>0，Y>0，適當(dāng)參數(shù)α>0，使得下列LMIs

1+AT3T40

T+AT2CT1W21（α）W22（α）

3C1-I00

4WT21（α）T0-I0

0WT22（α）T00-I<0

XI

IY>0

∑li=1（0…ei…0）（BT1YB1）（0…ei…0）T<（γFs）2

其中

1=AX+XAT+B2+（B2）T

2=ATY+YA+FsC2+（FsC2）T

3=C1X+D1

4=WT11（α）C2X

有可行解（，，，X，Y），則系統(tǒng)存在考慮傳感器故障的可靠H₂控制器（2），相應(yīng)參數(shù)矩陣可由下式確定

AK=N-1（T-YAX-C2X-YB2）（MT）-1BK=N-1CK=（MT）-1

矩陣M，N，W11（α），W21（α），W22（α）由下式確定，正標(biāo)量α為適當(dāng)參數(shù)。

I-XY=MNT，（6）

αFs0JsFs0Fs0-IFs0-Iα-1Js=W11（α）0W21（α）W22（α）（7）3主要結(jié)論

定理1：對(duì)于系統(tǒng)（5），標(biāo)量γFs>0，γFa>0和故障模型（3）（4），如果存在矩陣，，以及正定矩陣X，Y，適當(dāng)參數(shù)α>0，β>0，使得下列LMIs

1+AT3T40

T+AT2CT1W21（α）W22（α）

3C1-I00endprint

4WT21（α）T0-I0

0WT22（α）T00-I<0

Ω1+AΩT3ΩT40

T+ATΩ2CT100

Ω3C1-ID1U21（β）D1U22（β）

Ω40UT21（β）DT1-I0

00UT22（β）DT10-I<0

XI

IY>0

∑li=1（0…ei…0）（BT1YB1）（0…ei…0）T<（γFs）2

Ω1=AX+XAT+B2Fa+（B2Fa）T

Ω2=YA+ATY+C2+（C2）T

Ω3=C1X+D1Fa

Ω4=UT11（β）

有可行解（，，，X，Y），則系統(tǒng)存在抵御任意傳感器故障的可靠H₂控制器（2），相應(yīng)參數(shù)矩陣可由下式確定

AK=N-1（T-YAX-C2X-YB2）（MT）-1BK=N-1CK=（MT）-1

M，N，W11（α），W21（α），W22（α），U11（α），U21（α），U22（α）由（6）（7）及下式確定，正標(biāo)量α，β為適當(dāng)參數(shù)。

βFa0JaFa0Fa0-IFa0-Iβ-1Ja=U11（β）0U21（β）U22（β）.

證明：對(duì)于系統(tǒng)（5），設(shè)

Mt1=Σ1ΣT2+A（C1X+D1FaCKMT）TΣ2+ATΣ3CT1C1X+D1FaCKMTC1-I=Σ1ΣT2+A（C1X+D1CKMT）TΣ2+ATΣ3CT1C1X+D1CKMTC1-I+00（D1（Fa-I）CKMT）T000D1（Fa-I）CKMT00

Σ1=AX+XAT+B2FaCKMT+（B2FaCKMT）TΣ2=YAX+NBKC2X+YB2CKMT+NAKMTΣ3=YA+ATY+NBKC2+（NBKC2）T

結(jié)合Fa=Fa0（I+La），設(shè)

Mt2=00（D1（Fa0-I）CKMT）T000D1（Fa0-I）CKMT00+

00（D1Fa0LaCKMT）T000D1Fa0LaCKMT00

Mt3=00（D1Fa0LaCKMT）T000D1Fa0LaCKMT00=

Θ1LaΘ2+（Θ1LaΘ2）T≤βΘ1JaΘT1+β-1ΘT2JaΘ2

Θ1=00（D1Fa0）TT，

Θ2=CKMT00

Mt2≤β-1（CKMT）TJaCKMT0（D1（Fa0-I）CKMT）T000D1（Fa0-I）CKMT0βD1Fa0Ja（D1Fa0）T=

（CKMT）T0000D1β-1JaFa0-IFa0-IβFa0JaFa0

（CKMT）T0000D1T

設(shè)CKMT=，NBK=，

（YAX+C2X+YB2+NAKMT）T=，

結(jié)合式（6），可得

Mt1≤Ω1+AΠT3T+ATΩ2CT1Π3C1-I+

（CKMT）T000D1U21（β）D1U22（β）

（CKMT）T000D1U21（β）D1U22（β）T

根據(jù)Schur補(bǔ)引理，可得Mt1<0，則系統(tǒng)（5）存在抵御執(zhí)行器故障的可靠H₂控制器

再根據(jù)引理1，系統(tǒng)（5）存在抵御傳感器故障的可靠可得H₂控制器，則系統(tǒng)（5）存在抵御任意故障的的可靠H₂控制器（2），定理得證。

4數(shù)值仿真

考慮如下系統(tǒng)：

A=-1011-2112-1，B1=-110，B2=100112，C1=1101-10，C2=022102，D1=0111.當(dāng)應(yīng)用抵御傳感器故障的控制器，而系統(tǒng)執(zhí)行器發(fā)生了故障?？紤]執(zhí)行器故障范圍

0.3≤fa1≤1.2，0.1≤fa2≤1.9，F(xiàn)a=diag0.3，0.22，此時(shí)控制器就不能使系統(tǒng)穩(wěn)定，閉環(huán)系統(tǒng)（5）的系統(tǒng)狀態(tài)如圖1。

針對(duì)同一故障，根據(jù)定理1，設(shè)α=0.1，β=0.1，計(jì)算得出γFs=5.9468，γFa=3.7729

AK=-5.3592-2.1002195.68441.6941-9.5417-130.60371.0384-6.9056-107.5693，

BK=-1.419017.90370.2601-26.21282.1498-20.6749，

CK=0.03460.0962-5.20590.00220.02420.1308

此時(shí)，系統(tǒng)（5）漸近穩(wěn)定，如圖2。

當(dāng)應(yīng)用抵御執(zhí)行器故障的控制器，而系統(tǒng)傳感器發(fā)生了故障考慮傳感器故障范圍

0.3≤fs1≤1.2，0.1≤fs2≤1.9，F(xiàn)s=diag0.4，1.2此時(shí)控制器就不能使系統(tǒng)穩(wěn)定，閉環(huán)系統(tǒng)（5）的系統(tǒng)狀態(tài)如圖3。

針對(duì)同一故障，根據(jù)定理1，設(shè)α=0.1，β=0.1，計(jì)算得出γFs=5.2682，γFa=3.1859

AK=-5.06824.4542334.59911.6954-15.8739-224.13280.7533-7.8027-137.6289，BK=-3.878517.61134.2401-26.50174.6278-14.0082，CK=0.0272-0.0192-8.62410.00230.0162-0.2362

此時(shí)，系統(tǒng)（5）漸近穩(wěn)定，如圖4

5結(jié)論

本文使用連續(xù)故障模型，基于LMI給出了抵御任意故障的動(dòng)態(tài)輸出反饋H₂可靠控制器存在的充分條件，并給出了其設(shè)計(jì)方法，算例仿真證明了設(shè)計(jì)方法的有效性。endprint

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第35卷第1期2016年3月計(jì)算技術(shù)與自動(dòng)化ComputingTechnologyandAutomationVol35，No1Mar.2016第35卷第1期2016年3月計(jì)算技術(shù)與自動(dòng)化ComputingTechnologyandAutomationVol35，No1Mar.2016endprint