葛迪 姚波 王福忠

摘要：針對(duì)含有狀態(tài)不確定項(xiàng)的線性系統(tǒng)，提出具有執(zhí)行器故障的靜態(tài)輸出反饋控制問題。首先給出在不考慮故障時(shí)設(shè)計(jì)控制器使系統(tǒng)保持漸近穩(wěn)定的充分條件；然后討論對(duì)于同一系統(tǒng)同一控制器在考慮執(zhí)行器故障時(shí)系統(tǒng)出現(xiàn)不穩(wěn)定；接下來，針對(duì)同一故障模型重新設(shè)計(jì)靜態(tài)輸出反饋控制器使系統(tǒng)在發(fā)生故障后仍保持漸近穩(wěn)定。最后，數(shù)值仿真驗(yàn)證了本文結(jié)果的有效性。

關(guān)鍵詞：執(zhí)行器故障；靜態(tài)輸出反饋；不確定系統(tǒng)；線性矩陣不等式（LMI）

中圖分類號(hào)：TP13文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

1引言

在工業(yè)上，對(duì)于機(jī)器來講，經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)不同程度上的執(zhí)行器通道故障，就會(huì)造成損失。所以，設(shè)計(jì)一個(gè)控制器使系統(tǒng)即使在發(fā)生故障時(shí)仍可以保持穩(wěn)定以確保系統(tǒng)可以正常運(yùn)行時(shí)具有實(shí)際意義的。可靠控制描述的是對(duì)于一個(gè)系統(tǒng)，無論是否發(fā)生執(zhí)行器或傳感器故障都可以通過設(shè)計(jì)控制器，使其仍可以保持穩(wěn)定并滿足一定的性能指標(biāo)。可靠控制是由Siljak在20世紀(jì)70年代第一次提出，之后引起了很多研究者的廣泛關(guān)注[1-3]。文獻(xiàn)[4]討論了具有雙故障的動(dòng)態(tài)輸出反饋控制器基于LMI設(shè)計(jì)方法。文獻(xiàn)[5]針對(duì)不確定線性定常系統(tǒng)，提出了具有執(zhí)行器故障的可靠跟蹤控制器問題。不確定性是非常常見的物理現(xiàn)象，它會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)出現(xiàn)不穩(wěn)定現(xiàn)象或者導(dǎo)致一些性能指標(biāo)下降。文獻(xiàn)[6]討論了不確定系統(tǒng)的狀態(tài)反饋和動(dòng)態(tài)輸出反饋控制器設(shè)計(jì)問題。文獻(xiàn)[7]研究不確定系統(tǒng)狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置。靜態(tài)輸出反饋是控制理論和應(yīng)用中最基本的問題之一，近年來研究者對(duì)系統(tǒng)的靜態(tài)輸出反饋控制提出了許多方法。文獻(xiàn)[8]針對(duì)隨機(jī)混合系統(tǒng)利用線性矩陣不等式方法設(shè)計(jì)了無脈沖和隨機(jī)穩(wěn)定的靜態(tài)輸出反饋控制器。文獻(xiàn)[9]利用靜態(tài)輸出反饋特征多項(xiàng)式的特征值方法設(shè)計(jì)控制器。文獻(xiàn)[10]運(yùn)用消除引理給出了一個(gè)穩(wěn)定的靜態(tài)輸出反饋線性凸多面體系統(tǒng)的設(shè)計(jì)。文獻(xiàn)[11]通過構(gòu)造一個(gè)二次Lyapunov函數(shù)，保證閉環(huán)擴(kuò)散偏微分方程和常微分方程葉柵系統(tǒng)全局指數(shù)穩(wěn)定，提出了線性矩陣不等式的約束條件，基于LMI方法設(shè)計(jì)控制器。文獻(xiàn)[12]運(yùn)用錐補(bǔ)線性算法求解靜態(tài)輸出反饋控制器。以上的文章中，有的涉及可靠控制，有的涉及靜態(tài)輸出反饋，也已經(jīng)達(dá)到了比較完善的程度。但是都為涉及到具有執(zhí)行器故障的靜態(tài)輸出反饋可靠控制。

本文研究了不確定系統(tǒng)具有執(zhí)行器故障的靜態(tài)輸出反饋控制系統(tǒng)，利用LMI給出了控制器的存在條件以及設(shè)計(jì)方法。所給出的控制器保證了系統(tǒng)在無故障時(shí)和發(fā)生執(zhí)行器故障時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)均仍保持穩(wěn)定。數(shù)值仿真驗(yàn)證了本文結(jié)果的有效性。

2問題描述

考慮線性不確定系統(tǒng)：

（t）=[A+ΔA]x（t）+Bu（t）y（t）=Cx（t）（1）

其中，x（t）∈Rn是狀態(tài)標(biāo)量，u（t）∈Rm是控制變量，y（t）∈Rp是輸出變量，A，B是適維矩陣，C是適維行滿秩矩陣，ΔA為不確定且滿足如下條件：

ΔA=DH（t）E

式中，D，E為適維維數(shù)的常數(shù)矩陣；H（t）為未知的時(shí)變實(shí)值連續(xù)矩陣函數(shù)，其元素Lebegue可測(cè)，且：

HT（t）H（t）≤I

執(zhí)行器連續(xù)增益故障矩陣模型為：

uF=Fau

故障處理：

Fa=diag（fa1，fa2，…，fan）f-ai≤fai≤ai0≤f-ai≤1，ai≥1，f-ai≠ai（i=1，2，…，m）jai=ai-f-aiai+f-ai，fai0=12（f-ai+ai），lai=fai-fai0fai0

對(duì)于執(zhí)行器故障矩陣可以得到如下關(guān)系：

Fa=Fa0（I+Ls），|La|≤Ja≤I

引理1[13]：設(shè)E，F(xiàn)為適維定常矩陣，∑=diag（σ1，σ2，…，σr）為時(shí)變適維對(duì)角矩陣，且σTiσ≤I，i=1，2，…，r。那么對(duì)于任意的實(shí)矩陣Λ=diag（λ1I，λ2I，…，λrI）>0有

E∑F+FT∑TET≤EΛET+FTΛ-1F

引理1[14]：設(shè)X和Y為適維定常矩陣，H為適維時(shí)變矩陣，且滿足HTH≤I，那么對(duì)任意常數(shù)ε>0有

XHY+YTHTXT≤εXXT+ε-1YTY

計(jì)算技術(shù)與自動(dòng)化2016年3月

第35卷第1期葛迪等：不確定系統(tǒng)靜態(tài)輸出反饋可靠控制

3主要結(jié)論

定理1：已知S是n×n正定對(duì)稱矩陣（m≤n），則矩陣CSC′可逆。

證明：若要證明矩陣CSC′可逆，只需證明方程

CSC′X=0

只有零解。

則有

X′CSC′X=0

即

（C′X）′S（C′X）=0

由已知可得：

C′X=0

有

CC′X=0

故方程只有零解。定理得證。

首先討論在不考慮執(zhí)行器故障模型情況下，給出了正常不確定系統(tǒng)靜態(tài)輸出反饋可靠控制器設(shè)計(jì)：

對(duì)不確定系統(tǒng)（1）引入靜態(tài)輸出反饋控制器：

u（t）=Ky（t）（2）

由此得到閉環(huán)系統(tǒng)：

（t）=（A+BKC+DH（t）E）x（t）（3）

定理2：對(duì)于不確定系統(tǒng)（1），如果存在標(biāo)量ε>0及對(duì)稱正定矩陣S和矩陣K，U，V使得：

Π+ΠT+εDDTSETES-εI<0（4）

VC=CV（5）

其中，Π=AS+BUC

那么存在靜態(tài)輸出反饋控制

K=UV-1（6）

使閉環(huán)系統(tǒng)（3）漸近穩(wěn)定。

證明：運(yùn)用李雅普諾夫定理，引入V（t）=xT（t）Px（t）則有：

（t）=T（t）Px（t）+xT（t）P（t）=