馬錦錦

(安徽建筑大學(xué)數(shù)理學(xué)院，安徽　合肥　230601)

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二階切觸有理插值算子的構(gòu)造方法

馬錦錦

(安徽建筑大學(xué)數(shù)理學(xué)院，安徽合肥230601)

[摘要]通過引入二階插值算子，給出了一種較為簡(jiǎn)便的構(gòu)造切觸有理插值的新方法和一個(gè)新型的切觸有理插值公式.如果用該方法所得到的插值函數(shù)次數(shù)較高，還可以通過引入多個(gè)參數(shù)的方法，對(duì)所構(gòu)造的有理插值函數(shù)進(jìn)行降次.該方法比常用的連分式方法更為簡(jiǎn)便易行，具有較高的實(shí)用價(jià)值.

[關(guān)鍵詞]二階插值算子；切觸有理插值；降次；參數(shù)；連分式

已有的切觸有理插值研究方法大多是基于連分式的方法[1-3].這些方法運(yùn)算量較大，并且運(yùn)算也會(huì)受到特定條件的限制，不便于實(shí)際操作.因此，本文引入二階插值算子，給出一種較為簡(jiǎn)便的構(gòu)造切觸有理插值的新方法.

首先討論切觸有理插值問題.

定義1切觸有理插值[4]

l=0,1,…,sk-1

k=0,1,…,m

切觸有理插值理論與應(yīng)用是有理逼近領(lǐng)域的核心構(gòu)成部分，是計(jì)算數(shù)學(xué)中最引人關(guān)注的課題.切觸有理插值是對(duì)一般有理插值的推廣[4]，類似多項(xiàng)式插值中的Hermite插值[5].盡管切觸有理插值比一般有理插值形式復(fù)雜，但應(yīng)用性更強(qiáng)，在量子力學(xué)、量子場(chǎng)論、原子和分子物理、控制論和數(shù)值分析等領(lǐng)域都有非常廣泛的應(yīng)用.

1構(gòu)造切觸有理插值算子

傳統(tǒng)方法構(gòu)造的切觸有理插值比一般有理插值形式復(fù)雜，在應(yīng)用過程中帶來很多不便，比如結(jié)構(gòu)繁瑣、計(jì)算量大.為了克服這些缺點(diǎn)，本節(jié)利用多項(xiàng)式插值來構(gòu)造插值基函數(shù)，引入一種新型的二階插值算子，用于構(gòu)造切觸有理插值函數(shù).如果所構(gòu)造的切觸有理插值次數(shù)較高，我們可以通過引入?yún)?shù)的方法，將所構(gòu)造的切觸有理插值函數(shù)的分子分母同時(shí)降低次數(shù).由于本節(jié)所構(gòu)造的切觸有理插值可以通過多次降次來化簡(jiǎn)，給出形式較為簡(jiǎn)潔的低次切觸有理插值，因而在實(shí)際應(yīng)用中可以大大地減少計(jì)算量.

步驟1：給出用于構(gòu)造插值基函數(shù)的多項(xiàng)式插值.

構(gòu)造多項(xiàng)式插值如下：

對(duì)于給定的x0

wk(x)=(x-x0)…(x-xk-1)(x-xk+1)

…(x-xm),

(1)

以上所構(gòu)造的多項(xiàng)式插值wk(x)滿足

1)

wk(xs)=0,

k≠s,k,s=0,1,…,m.

2)

這種多項(xiàng)式插值的特性有助于插值基函數(shù)的構(gòu)造.

步驟2：構(gòu)造插值基函數(shù)

(2)

其中

Q(x)=[w0(x)]2+…+[wk(x)]2+

(3)

以上所構(gòu)造的插值基函數(shù)αk(x)滿足

1)

(4)

k,s=0,1,2,…,m.

2)

(5)

k,s=0,1,2,…,m.

通過這種方法給出的插值基函數(shù)形式簡(jiǎn)潔，規(guī)律性強(qiáng)，便于構(gòu)造切觸有理插值.

步驟3：引入二階插值算子，構(gòu)造切觸有理插值函數(shù).

給定x0

給出二階插值算子為

pk(x)=f(xk)+f′(xk)(x-xk)

+f″(xk)(x-xk)2

(6)

(k=0,1,2,…,m)

則(6)式滿足

pk(xk)=f(xk)，

p(l)(xk)=f(l)(xk)

(7)

(l=0,1,2)

用以上構(gòu)造的二階插值算子，給出插值公式如下：

(8)

(8)式即為利用二階插值算子所構(gòu)造的插值公式.

經(jīng)過驗(yàn)證

R(l)(xs)=f(l)(xs)

(9)

l=0,1,2.

(8)式中所構(gòu)造的切觸有理插值函數(shù)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，且應(yīng)用無條件制約.而傳統(tǒng)的連分式方法計(jì)算必須先假定計(jì)算中每一步的可行性，如分母是零的情況不會(huì)出現(xiàn)，而實(shí)際計(jì)算前根本無法判定.本節(jié)給出的新型切觸有理插值構(gòu)造法很好地避免了連分式方法的這一缺點(diǎn).

例1給出節(jié)點(diǎn)以及相應(yīng)的函數(shù)值、導(dǎo)數(shù)值如下：

x0=1，f(x0)=0，f′(x0)=1，f″(x0)=2；

x1=0，f(x1)=1，f′(x1)=2，f″(x1)=3；

x2=2，f(x2)=2，f′(x2)=0，f″(x2)=1.

解由 (6) 式可求二階插值算子

p0(x)=0+(x-1)+2(x-1)2

p1(x)=1+2(x-0)+3(x-0)2

p2(x)=2+0(x-2)+1(x-2)2

由(1)、(2)、(3)式知

通過 (7) 式可求出

(10)

經(jīng)過驗(yàn)證

R(l)(xs)=f(l)(xs)，l=0,1,2，s=0,1,2.

(10)式中的切觸有理插值函數(shù)R(x)是我們通過引入二階插值算子得到的有理插值函數(shù).從上述實(shí)例中可以看出，本文給出的切觸有理插值構(gòu)造方法思路簡(jiǎn)單、清晰，構(gòu)造的切觸有理插值函數(shù)形式較為簡(jiǎn)潔，且其應(yīng)用并不像連分式方法一樣的約束條件，因此應(yīng)用范圍廣，具有較高的應(yīng)用價(jià)值.

我們也可以對(duì)所構(gòu)造的切觸有理插值函數(shù)進(jìn)行降階，給出普遍適用的降階方法.用這種降階方法可以靈活地引入?yún)?shù)，降低所構(gòu)造的切觸有理插值函數(shù)分子分母的次數(shù)，也可以通過該降階方法，連續(xù)多次對(duì)插值函數(shù)進(jìn)行降階，得到次數(shù)符合應(yīng)用需求的切觸有理插值函數(shù).

步驟4：引入?yún)?shù)，給出降低切觸有理插值函數(shù)分子分母次數(shù)的一般方法.

給定節(jié)點(diǎn)x0

(11)

滿足插值條件

R(l)(xs)=f(l)(xs)，l=0,1,2.

例2對(duì)例1中用二階插值算子構(gòu)造的有理分式函數(shù)R(x)進(jìn)行降次.

解

由(11)式知

令2β0+3β1+β2=0，將有理分式進(jìn)行降次，則β0=-2,β1=1,β2=1.

故得

(12)

上式中，分子次數(shù)為5次、分母次數(shù)為2次，而(10)式中所構(gòu)造的原始插值函數(shù)的分子次數(shù)為6次、分母次數(shù)為4次，通過該方法實(shí)現(xiàn)了降次.可以通過多次降階的途徑得到滿足應(yīng)用需求的切觸有理插值函數(shù).由于該方法可以靈活地降低切觸有理插值函數(shù)的次數(shù)，故其應(yīng)用范圍很廣.我們可以將本文所構(gòu)造的切觸有理插值用于模糊控制和估計(jì)復(fù)雜系統(tǒng)的可靠性中，利用切觸有理插值新方法建立新型插值控制算法.這種算法下的控制器具有設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單、不需要選擇具體隸屬函數(shù)、不需要過多的專家經(jīng)驗(yàn)等好處，可以得到很好的控制效果，在實(shí)際生產(chǎn)中有更大的靈活性和更高的應(yīng)用價(jià)值.

2結(jié)論

(12)式中降階所得有理分式比(10)式中原始切觸有理插值函數(shù)的分子分母次數(shù)明顯降低.這充分說明了上述通過引入?yún)?shù)實(shí)現(xiàn)對(duì)有理函數(shù)分子、分母進(jìn)行降次的方法是十分有效和實(shí)用的，而且操作方便，計(jì)算量不大.

本文通過引入二階插值算子，給出的構(gòu)造切觸有理插值函數(shù)方法比常用的連分式方法更為簡(jiǎn)便易行，給出的插值公式也較為實(shí)用.我們也可以將這種思想方法繼續(xù)推廣，給出高階的插值算子，用于解決更為復(fù)雜的切觸有理插值問題.本文所給出的切觸有理插值構(gòu)造的新方法由于結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)潔，降階規(guī)律性強(qiáng)，需要的計(jì)算量較小，因此在模糊控制論[6]、圖像壓縮與重建、有理曲線和曲面生成以及復(fù)雜系統(tǒng)性能評(píng)估等領(lǐng)域都有較高的應(yīng)用價(jià)值[7].

[參考文獻(xiàn)]

[1]王仁宏，朱功勤. 有理函數(shù)逼近及其應(yīng)用[M].北京：科學(xué)出版社，2004.

[2]MAINAR E，PENA P M. A basis of C-Bezier splines with optimal properties[J].Computer Aided Geometric Design，2012，19(4):291-295.

[3]WANG G Z，CHEN Q Y，ZHOU M H. NUATB-spline curves[J].Computer Aided Geometric Design，2004，21 (2):193-205.

[4]朱功勤,馬錦錦.構(gòu)造切觸有理插值的一種方法[J].合肥工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2006，29(10) :1320-1326.

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[6]史健，黃麗，李中夫.模糊控制與插值[J].四川大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2009，12(5):646-650.

[7]楊文光，趙海良. 基于樣條插值的模糊控制算法[J]. 模糊系統(tǒng)與控制，2009，23(3):152-157.

(責(zé)任編輯穆剛)

A method of constructing bivariate osculatory rational interpolating operator

MA Jinjin

(College of Mathematics & Physics, Anhui Jianzhu University, Hefei Anhui 230601, China)

Abstract：In this paper, osculatory rational interpolating function was constructed by a new method of introducing bivariate interpolating operator. For osculatory rational interpolating function that we had constructed, we could reduce its number of times by choosing parameters. Existing methods of constructing osculatory rational interpolating function were almost related to calculation of continued fractions. But the feasibility of their algorithms was conditional and they needed a large amount of calculation. This new method in this paper was fairly simple and had immense application foreground.

Key words：bivariate interpolating operator; osculatory rational interpolation; deflation; parameter; continued fractions

[中圖分類號(hào)]O174.42

[文獻(xiàn)標(biāo)志碼]A

[文章編號(hào)]1673-8004(2016)02-0037-03

[作者簡(jiǎn)介]馬錦錦(1981-)，女，安徽臨泉人，講師，碩士，主要從事應(yīng)用數(shù)值逼近方面的研究.

[基金項(xiàng)目]安徽省高等學(xué)校省級(jí)自然科學(xué)研究項(xiàng)目(KJ2013B067).

[收稿日期]2015-07-30