秦　爽, 張建剛, 俞建寧, 杜文舉

(1.蘭州交通大學(xué)數(shù)理學(xué)院, 甘肅　蘭州　730070; 2.蘭州交通大學(xué)交通運(yùn)輸學(xué)院, 甘肅　蘭州　730070)

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一類自參數(shù)動(dòng)力吸振器減震系統(tǒng)的Hopf分岔分析

秦爽1, 張建剛1, 俞建寧1, 杜文舉2

(1.蘭州交通大學(xué)數(shù)理學(xué)院, 甘肅蘭州730070; 2.蘭州交通大學(xué)交通運(yùn)輸學(xué)院, 甘肅蘭州730070)

[摘要]通過(guò)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的拉格朗日方程和牛頓第二定律,建立了振動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程，并對(duì)一類帶有粘性阻尼擺的自參數(shù)動(dòng)力吸振器減振系統(tǒng)的復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為進(jìn)行研究.通過(guò)非線性動(dòng)力學(xué)理論,分析該系統(tǒng)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，選擇適當(dāng)?shù)姆植韰?shù)證明了Hopf分岔的存在.最后,通過(guò)數(shù)值仿真證明理論分析的正確性.

[關(guān)鍵詞]自參數(shù)吸振器系統(tǒng);穩(wěn)定性;Hopf分岔;Lyapunov系數(shù);周期軌道

動(dòng)力吸振通過(guò)動(dòng)力吸振器吸收主系統(tǒng)振動(dòng)的能量,達(dá)到使主系統(tǒng)振動(dòng)降低的目的.目前,已有許多以擺或者類似于擺的作用為輔助系統(tǒng)的自參數(shù)振動(dòng)系統(tǒng)的研究.Hatwal等對(duì)兩自由度自參數(shù)振動(dòng)系統(tǒng)在受到諧波外激勵(lì)作用時(shí)產(chǎn)生的周期和混沌運(yùn)動(dòng)進(jìn)行研究,輔助系統(tǒng)采用的是單擺上附加的扭轉(zhuǎn)彈簧[1-3].Cuvalci等分析研究了一個(gè)以單擺為輔助系統(tǒng)的懸臂梁自參數(shù)振動(dòng)系統(tǒng)[4].Banerjee等采用高階平均法對(duì)兩自由度自參數(shù)弱非線性振動(dòng)系統(tǒng)的分岔及其通往混沌的道路進(jìn)行研究與探討[5].

Hopf分叉在實(shí)際問(wèn)題中有著廣泛的應(yīng)用，它是一類比較簡(jiǎn)單但又必不可少的動(dòng)態(tài)分叉問(wèn)題.由于它密切聯(lián)系著自激振動(dòng)產(chǎn)生的問(wèn)題，所以在動(dòng)態(tài)分叉研究和極限環(huán)研究中有著重要的理論價(jià)值和研究意義.目前學(xué)者們已經(jīng)發(fā)表了很多有關(guān)分叉的文獻(xiàn)和專著[6-9].

JerzyWarminski等討論了一個(gè)附加阻尼擺的自參數(shù)吸振器系統(tǒng)的主參共振區(qū)的不穩(wěn)定性[8].文獻(xiàn)[9]在此基礎(chǔ)上采用多尺度法討論了該系統(tǒng)的平衡解,并通過(guò)羅斯-霍爾維茲判據(jù)判斷其穩(wěn)定性條件.但是,文獻(xiàn)[8,9]并沒(méi)有對(duì)系統(tǒng)的Hopf分岔行為進(jìn)行研究.本文詳細(xì)研究該系統(tǒng)的Hopf分岔行為，通過(guò)對(duì)系統(tǒng)的第一Lyapunov系數(shù)的計(jì)算，分析了該系統(tǒng)的Hopf分岔的方向，最后為驗(yàn)證理論推導(dǎo)的正確性，對(duì)該系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)值仿真.

1模型的建立

考慮一個(gè)帶有粘性阻尼擺的自參數(shù)動(dòng)力吸振器減振系統(tǒng)的動(dòng)力系統(tǒng),其結(jié)構(gòu)示意圖如圖1所示.該系統(tǒng)主要由質(zhì)量為m1的物塊和非線性彈簧組成的非線性振子以及質(zhì)量分別為mp、m2的桿和小球組成的單擺這兩個(gè)子系統(tǒng)構(gòu)成,并且此單擺附著在質(zhì)量為m1的物塊的一個(gè)支點(diǎn)處.記此處單擺的粘性阻尼系數(shù)為cφ.因?yàn)橄到y(tǒng)受到外激勵(lì)作用,我們將這個(gè)非線性振子受迫于一個(gè)線性的彈簧.

假定此系統(tǒng)的彈簧振子是非線性Duffing型振子,即有F=kx+k1x3.將自參數(shù)動(dòng)力吸振器系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的廣義坐標(biāo)定為垂直方向位移x和其上附著單擺的角度位移φ,運(yùn)用拉格朗日方程和牛頓第二定律,可以得到此模型所對(duì)應(yīng)的微分方程：

(1)

其中，單擺的長(zhǎng)度記為l,單擺與質(zhì)塊m1的粘性阻尼系數(shù)記為cφ，非線性振子中阻尼的阻尼系數(shù)記為c.

圖1　自參數(shù)動(dòng)力吸振器系統(tǒng)力學(xué)模型

為了方便研究與分析,選取新的時(shí)間尺度和長(zhǎng)度尺度,將自參數(shù)動(dòng)力吸振器系統(tǒng)進(jìn)行無(wú)量綱化,令

對(duì)方程(1)進(jìn)行無(wú)量綱化：

(2)

其中對(duì)應(yīng)的無(wú)量綱系數(shù)分別為：

這里,單擺角度位移φ的二階導(dǎo)數(shù)(擺動(dòng)加速度)和φ的一階導(dǎo)數(shù)(擺動(dòng)速度)的平方這兩個(gè)耦合項(xiàng)引起了方程(2)的自參數(shù)激勵(lì).對(duì)無(wú)量綱化運(yùn)動(dòng)微分方程(2)進(jìn)行轉(zhuǎn)化,轉(zhuǎn)化為一階微分方程組的形式,即

(3)

固定α1=0.26,α2=0.1,q=2.45,μ=17.228,λ=0.127,γ=0,θ=0.6時(shí),系統(tǒng)(3)可以得到如圖2(a)~(d)所示的一個(gè)混沌吸引子.

把系統(tǒng)(3)化為五維的自治系統(tǒng),采用Wolf算法,計(jì)算得到系統(tǒng)(3)的5個(gè)Lyapunov指數(shù)分別為:λ1=0.061 1,λ2=0,λ3=-0.102 9,λ4=-0.170 1,λ5=-0.211 1.利用Kaplan-Yorke猜想公式,求出Lyapunov維數(shù)DKY=2.593 78.圖3(a)~(d)為系統(tǒng)(3)的時(shí)間響應(yīng)圖、龐加萊截面、Lyapunov指數(shù)譜圖及功率譜圖.

2平衡點(diǎn)穩(wěn)定性分析

令x5=cosθτ,x6=-θsinθτ,將系統(tǒng)(3)化為六維自治系統(tǒng)

(4)

圖2　系統(tǒng)(1)在不同空間的吸引子

圖3　(a) 時(shí)間響應(yīng)圖　(b) x1-x2平面的龐加萊截面　(c) Lyapunov指數(shù)譜圖　(d)功率譜圖

顯然,E0=(0,0,0,0,0,0)恒為系統(tǒng)(4)的平衡點(diǎn).為了簡(jiǎn)便,本文只討論平衡點(diǎn)E0處的穩(wěn)定性以及Hopf分岔情況.

系統(tǒng)(4)在平衡點(diǎn)E0處的Jacobian矩陣為

(5)

求得系統(tǒng)(4)在平衡點(diǎn)E0處Jacobian矩陣的特征方程為

p(ξ)=k0ξ6+k1ξ5+k2ξ4+k3ξ3+k4ξ2+k5ξ+k6

(6)

其中，k0=1,k1=α1+α2,k2=θ2+α1α2+λ+1,k3=α1θ2+α2θ2+α2+λα1,k4=θ2+α1α2θ2+λθ2+λ,k5=α2θ2+α1λθ2,k6=λθ2.

根據(jù)Routh-Hurwitz判據(jù),知方程(6)的所有特征值都具有負(fù)實(shí)部,當(dāng)且僅當(dāng)

k1>0,Δi>0(i=2,3,4,5),k6>0.

(7)

定理1選λ為分岔參數(shù),λ=λ0使得

ki>0(i=0,1,…,6),Δi>0(i=1,2,3,4)

(8)

成立時(shí),系統(tǒng)(4)發(fā)生Hopf分岔,其中λ0為Hopf分岔的臨界值.

3平衡點(diǎn)E0處的Hopf分岔分析

先回顧文獻(xiàn)[11]中介紹的對(duì)于四維系統(tǒng)Hopf分岔的第一Lyapunov系數(shù)的求法, 然后進(jìn)行理論分析.考慮以下系統(tǒng)

x′=f(x,ζ)

(9)

其中x∈R6,ζ∈Rm分別是系統(tǒng)的狀態(tài)變量和控制參數(shù).假設(shè)系統(tǒng)(9)有一個(gè)平衡點(diǎn)x=x0,ζ=ζ0,并且變量x-x0仍然記為x,則F(x)=f(x,ζ0)的泰勒展開式為

(10)

其中A=fx(0,ζ0),并且對(duì)i=1,…，6有

(11)

假設(shè)在平衡點(diǎn)(x0,ζ0)處系統(tǒng)(9)有一對(duì)純虛根λ1,2=±iω0,(ω0>0),而且系統(tǒng)其他特征值具有非零實(shí)部.

令p,q∈C6，滿足

Aq=iω0q,ATp=-iω0p,〈p,q〉=1

(12)

其中AT為A的轉(zhuǎn)置，則第一Lyapunov系數(shù)可以定義為

(13)

其中，

I6為6×6的單位矩陣.

取參數(shù)α1=0.26,α2=0.1,q=2.45,μ=17.228,γ=0,θ=0.6時(shí)可以求得Hopf分岔臨界值λ0=0.135 14,并且有

k0=1,k1=0.36,k2=1.521 1,k3=0.264 7,

k4=0.553 1,k5=0.048 6,k6=0.048 6,

Δ1=0.36,Δ2=0.282 9,Δ3=0.020 7,

顯然,定理1條件滿足.當(dāng)參數(shù)λ變化經(jīng)過(guò)λ0=0.135 14時(shí),系統(tǒng)(4)在平衡點(diǎn)E0處發(fā)生Hopf分岔.

下面通過(guò)求解系統(tǒng)(4)的第一Lyapunov系數(shù),判斷Hopf分岔的穩(wěn)定性.在給定的參數(shù)下,系統(tǒng)(4)在平衡點(diǎn)E0處Jacobian矩陣的特征方程為

p(ξ)=ξ6+0.36ξ5+1.5211ξ4+0.2647ξ3+

0.5531ξ2+0.0486ξ+0.0486

(14)

方程(14)的6個(gè)特征值分別為

λ1,2=±0.6002i,λ3,4=-0.13±0.9915i,

λ5,6=-0.0499±0.639i.

根據(jù)(11)式,可以得到對(duì)應(yīng)于f的線性函數(shù)

B(x,y)=(0,0.6293(x3y3-x4y4)+

0.2328(x3y4+x4y3),0,0.1352(x1y3+x3y1)+

0.0351(x2y3+x3y2)-0.3311(x3y5+x5y3),0,0)T,

C(x,y,z)=(0,1.5418(x5y3z3+x3y5z3+x3y3z5)-0.1636x3y2z3-0.6293x3y1z3,0,0.6293×

(x3y4z4+x4y4z3+x4y3z4)-0.0629(x4y3z3+x3y4z3+x3y3z4)-0.4139x3y3z3,0,0)T

(15)

通過(guò)直接計(jì)算可以求得滿足(12)式的特征向量

q=(-1.004-3.2201i,-0.6026-1.9329i,

-0.3992-0.6889i,-0.2396-0.4135i,

-1.6673i,1)T,

p=(0.6767+1.06i,1.4788-1.4677i,

-5.3643-6.1859i,-11.4875+7.0152i,

-0.7633+0.6083i,-1.0139-1.2722i)T.

并且有

B(q,q)=(0,-47.887+104.15i,0,-1.0471+

0.4303i,0,0)T,

h20=(-39.27+208.86i,-250.63-47.12i,

13.35-18.8i,22.57+16.02i,0,0)T,

B(q,h11)=(0,313.36-128.5i,0,-4.1365+

86.0414i,0,0)T,

12.7225i,0,0)T,

-41.3933-80.845i,0,0)T,

H21=(0,625.7397+1.8826i,0,-47.8663+

78.5153i,0,0)T,

G21=956.36-2199.5i.

定理2系統(tǒng)(4)在平衡點(diǎn)E0處的第一Lyapunov系數(shù)為

(16)

因此,系統(tǒng)(4)在平衡點(diǎn)E0處發(fā)生亞臨界的Hopf分岔,并且產(chǎn)生一個(gè)不穩(wěn)定的極限環(huán).

4數(shù)值仿真

為驗(yàn)證理論分析的正確性,本文選取λ=0.14>λ0,λ=λ0=0.135 14,λ=0.12<λ0,分別得到系統(tǒng)(4)的3組時(shí)間響應(yīng)圖和相圖,如圖4~圖6所示.當(dāng)λ=0.12<λ0時(shí),平衡點(diǎn)是穩(wěn)定的;當(dāng)λ=0.14>λ0時(shí),平衡點(diǎn)是不穩(wěn)定的.數(shù)值模擬與前一節(jié)的理論相符,系統(tǒng)(4)在平衡點(diǎn)E0處發(fā)生的Hopf分岔是亞臨界的Hopf分岔,并且產(chǎn)生一個(gè)不穩(wěn)定的極限環(huán).

圖4　當(dāng)λ=0.12時(shí)系統(tǒng)(4)的時(shí)間響應(yīng)圖和相圖

圖5　當(dāng)λ=λ0=0.135 14時(shí)系統(tǒng)(4)的時(shí)間響應(yīng)圖和相圖

圖6　當(dāng)λ=0.14時(shí)系統(tǒng)(4)的時(shí)間響應(yīng)圖和相圖

5結(jié)論

本文通過(guò)嚴(yán)格的數(shù)學(xué)推導(dǎo)及數(shù)值仿真研究了一類帶有粘性阻尼擺的自參數(shù)動(dòng)力吸振器減振系統(tǒng),對(duì)該系統(tǒng)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性理論進(jìn)行分析,并且通過(guò)選取適當(dāng)?shù)姆植韰?shù),證明了系統(tǒng)在分岔參數(shù)穿過(guò)臨界值時(shí)發(fā)生Hopf分岔，并計(jì)算得到系統(tǒng)的第一Lyapunov系數(shù)，進(jìn)而判定系統(tǒng)分岔的方向和穩(wěn)定性；最后通過(guò)數(shù)值模擬驗(yàn)證了理論推導(dǎo)的正確性.

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(責(zé)任編輯吳強(qiáng))

Hopf bifurcation analysis in an autoparametric dynamic vibration absorber

QIN Shuang1, ZHANG Jiangang1, YU Jianning1, DU Wenju2

(1. School of Mathematics and Physics, Lanzhou Gansu 730070, China;2. School of Traffic and Transportation, Lanzhou Jiaotong University, Lanzhou Gansu 730070, China)

Abstract：The complex dynamic behavior of the autoparametric vibration absorbing system is studied. The dynamical equation of the system is established using Lagrangian and Newton’s second law. More precisely, the stability of the equilibrium points were studied by means of nonlinear dynamics theory. The existence of Hopf bifurcation is investigated by choosing the appropriate bifurcation parameter. Besides, numerical simulation is given to illustrate the theoretical analysis.

Key words：autoparametric vibration absorbing system; stability; Hopf bifurcation; Lyapunov coefficients; periodic orbits

[中圖分類號(hào)]O322

[文獻(xiàn)標(biāo)志碼]A

[文章編號(hào)]1673-8004(2016)02-0027-06

[作者簡(jiǎn)介]秦爽(1992—) ,女, 黑龍江大慶人, 碩士, 主要從事非線性系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)及其控制方面的研究.

[基金項(xiàng)目]國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(61364001).

[收稿日期]2015-11-25