陳　欣， 趙　娜

(沈陽工業(yè)大學(xué)理學(xué)院， 遼寧　沈陽　110870)

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螺桿鉆具馬達(dá)線型的優(yōu)化設(shè)計

陳欣， 趙娜

(沈陽工業(yè)大學(xué)理學(xué)院， 遼寧沈陽110870)

[摘要]應(yīng)用齒輪嚙合理論原理，采用三次樣條函數(shù)作為擬合曲線進(jìn)行數(shù)值分析，得到離散的定子與轉(zhuǎn)子共軛線型.以簡單函數(shù)尋找解析解的方法為基礎(chǔ)，擴(kuò)散到以數(shù)值分析為基礎(chǔ)尋找優(yōu)化解的范圍.將簡單函數(shù)求解法與三次樣條插值法進(jìn)行比較，證明了優(yōu)化方法的有效性與可行性.

[關(guān)鍵詞]馬達(dá)線型；優(yōu)化；轉(zhuǎn)子；定子；螺桿鉆具

螺桿機(jī)械是以共軛螺旋曲面嚙合為工作原理的一類高技術(shù)機(jī)械裝備.單螺桿馬達(dá)是一類應(yīng)用非常廣泛的單螺桿動力裝置.它將液體(泥漿)的勢能轉(zhuǎn)換成轉(zhuǎn)子的動能，實(shí)現(xiàn)對鉆具轉(zhuǎn)子鉆頭的驅(qū)動.定子和轉(zhuǎn)子是螺旋機(jī)械的重要零件，線型是指單螺桿馬達(dá)的轉(zhuǎn)子和定子在橫截面中的曲線形狀.螺桿端面線型對鉆具的性能影響較大，因此端面線型的設(shè)計需遵循嚴(yán)格的要求：密封性能佳、傳動性能優(yōu)、工藝性能好.

目前，在國際上排在前三名的單螺桿鉆具生產(chǎn)制造企業(yè)是美國斯倫貝謝公司、美國貝克休斯公司和美國哈里伯頓公司.在單螺桿機(jī)械設(shè)計制造方面，這些公司的定轉(zhuǎn)子線型設(shè)計一直沿用1939年法國人莫諾提出的用數(shù)學(xué)解析方程式表示的共軛曲線作為定轉(zhuǎn)子廓形的傳動設(shè)計理論.

從定轉(zhuǎn)子的線型優(yōu)化設(shè)計到螺旋曲面的成型理論及制造工藝方法，國內(nèi)外學(xué)者都做了大量的理論和應(yīng)用研究，但在單螺桿機(jī)械內(nèi)螺旋定子截面廓形檢測方面國內(nèi)外沒有相關(guān)報道.近期，沈陽工業(yè)大學(xué)國家科技園在單螺桿動力裝置優(yōu)化設(shè)計方面通過對注膠后的內(nèi)螺旋定子進(jìn)行檢測，根據(jù)檢測結(jié)果重新設(shè)計出新的轉(zhuǎn)子線型，這樣加工出的轉(zhuǎn)子和注膠后的定子就能達(dá)到理想的嚙合，大幅度提高了螺桿副的嚙合精度.

本研究主要是在數(shù)控加工技術(shù)可以滿足任意三維離散表面和二維曲線的成型要求，以及計算機(jī)輔助技術(shù)解決了復(fù)雜共軛嚙合方程及超越函數(shù)數(shù)值求解[1]的基礎(chǔ)上，應(yīng)用嚙合理論建立螺桿鉆具馬達(dá)線型方程，選用三次樣條函數(shù)作為擬合曲線，以數(shù)值分析為基礎(chǔ)求離散的數(shù)值優(yōu)化解的范圍，最終實(shí)現(xiàn)螺桿鉆具馬達(dá)線型的優(yōu)化設(shè)計.

1螺桿鉆具馬達(dá)線型的理論基礎(chǔ)

1.1嚙合理論基礎(chǔ)

單螺桿馬達(dá)是螺桿鉆具的主要動力部件，馬達(dá)總成是由轉(zhuǎn)子和定子兩個基本部分組成的容積式動力機(jī)械.然而，轉(zhuǎn)子和定子能夠形成一個容積式馬達(dá)應(yīng)具備以下基本條件[2]：

(1)密封條件：定轉(zhuǎn)子曲面應(yīng)組成空間共軛封閉，即轉(zhuǎn)子、定子副必須大于馬達(dá)的最小長度，并具有合適的間隙值；

(2)連續(xù)下移條件：轉(zhuǎn)子連續(xù)轉(zhuǎn)動能導(dǎo)致密封腔沿軸向向下連續(xù)移動；

(3)隔離條件：轉(zhuǎn)子、定子副能形成相互分隔的密封腔，即：轉(zhuǎn)子在定子的任何位置時過流截面能分成確定的互不連通區(qū)域；

(4)消失條件：當(dāng)轉(zhuǎn)子在定子中運(yùn)動時，各個區(qū)域的大小能從最大變?yōu)榱?

轉(zhuǎn)子、定子副在工作時，定子固定不動，而螺桿馬達(dá)螺旋轉(zhuǎn)子在定子內(nèi)作偏心距為e的平面行星運(yùn)動，定子曲面就是在這種確定的相對運(yùn)動條件下轉(zhuǎn)子螺桿曲面的包絡(luò)曲面.

在平面行星運(yùn)動中，假設(shè)轉(zhuǎn)子為5頭螺桿，定子為6頭螺桿，轉(zhuǎn)子與定子中心距為偏心距e，讓定子保持不動，轉(zhuǎn)子在繞自身回轉(zhuǎn)中心作順時針方向自轉(zhuǎn)運(yùn)動的同時，又繞定子襯套中心作方向?yàn)槟鏁r針的公轉(zhuǎn)運(yùn)動.運(yùn)動過程中，轉(zhuǎn)子與定子在任何位置都有若干個嚙合點(diǎn)，每個嚙合點(diǎn)的位置連續(xù)變化，所形成的嚙合線是一條連續(xù)曲線.于是，轉(zhuǎn)子和定子能夠嚙合的條件為：

(1)轉(zhuǎn)子與定子的頭數(shù)比為N/(N+1)；

(2)轉(zhuǎn)子與定子具有相同的偏心距e；

(3)轉(zhuǎn)子與定子的導(dǎo)程比為N/(N+1)；

(4)轉(zhuǎn)子與定子的嚙合線連續(xù).

1.2三次樣條曲線

在實(shí)際生產(chǎn)中，端截面廓形往往不能用解析方程式的形式給出，而是通過設(shè)計、測量、實(shí)驗(yàn)得到離散點(diǎn)坐標(biāo)(xi，yi)(i=0,1，…，n)進(jìn)行描述.可先將離散數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行曲線擬合，構(gòu)成端面的近似截面曲線，再形成空間螺旋面.將曲線擬合成連續(xù)曲線的方法有很多種，但由于有些實(shí)際問題要求二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，且在節(jié)點(diǎn)處只給出函數(shù)值，不給出導(dǎo)數(shù)值，同時保證曲線光滑性較好，因此，插值方法的選取主要考慮三次樣條函數(shù)[3，4].

設(shè)[a，b]上有插值節(jié)點(diǎn)a≤x0

(i)S(x)∈C2[a，b](C2[a，b]代表[a，b]上二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)的函數(shù)集合)；

(ii)S(xi)=yi(i=0,1，…，n)；

(iii)S(x)在每個小區(qū)間[xi，xi+1](i=0，1，…，n-1)上是三次多項(xiàng)式；

則稱S(x)為三次樣條插值函數(shù).在采用三次樣條擬合螺旋曲面廓形時，需保證擬合段內(nèi)曲線的橫坐標(biāo)x保持單調(diào)性.如果被擬合曲線的橫坐標(biāo)x不單調(diào)，可采用分段擬合法對每個小區(qū)間進(jìn)行分段處理.

由上述定義可知，S(x)在每個小區(qū)間[xi，xi+1](i=0，1，…，n-1)內(nèi)為一個三次多項(xiàng)式，需確定4個待定系數(shù)；共有n個小區(qū)間，故需要確定4n個系數(shù).根據(jù)S(x)∈C2[a，b]，在節(jié)點(diǎn)xi(i=0,1,…,n)處應(yīng)滿足連續(xù)性條件：

S(xi-0)=S(xi+0)

S′(xi-0)=S′(xi+0)(i=0，1，…，n-1)

S″(xi-0)=S″(xi+0)

共有3n-3個條件，再加上S(x)滿足插值條件S(xi)=yi(i=0，1，…，n)，總共有4n-2個條件.要想唯一確定S(x)還必須附加兩個條件.通常在[a，b]的兩端點(diǎn)a=x0，b=xn給出約束條件(稱為邊界條件)[5，6].因?yàn)槁輻U轉(zhuǎn)子各段齒形間是圓弧連接，所以本文采用的邊界條件為：

(1)

2螺桿鉆具馬達(dá)共軛線型的優(yōu)化設(shè)計模型

2.1螺桿鉆具馬達(dá)的共軛線型模型

如圖1所示，設(shè)轉(zhuǎn)子的齒頂曲線CR是已知的光滑連續(xù)函數(shù)，CS是與其共軛的定子曲線，M0是兩曲線在初始位置的嚙合點(diǎn)；φR、φS為獨(dú)立運(yùn)動參數(shù)；轉(zhuǎn)子和定子自初始位置分別轉(zhuǎn)過φR、φS后曲線CR和CS到達(dá)CR′和CS′的位置.此時，兩曲線上必有某接觸點(diǎn)M′是轉(zhuǎn)子齒廓與定子齒廓的公共點(diǎn).

圖1　定子與轉(zhuǎn)子的共軛嚙合運(yùn)動

由齒輪嚙合原理，螺桿鉆具馬達(dá)轉(zhuǎn)子與定子齒廓的共軛嚙合方程[7，8]為：

(2)

定子共軛線型的通用方程[9，10]為:

θ∈[-θcr，θcr]

(3)

θ∈[-θcr,θcr]

(4)

其中：

γ是轉(zhuǎn)子齒頂曲線CR上任意點(diǎn)的切線矢量τR與x1軸的夾角，e是定子與轉(zhuǎn)子的偏心距.

p=xsinγ-ycosγ.

2.2 螺桿鉆具馬達(dá)線型的優(yōu)化設(shè)計

在螺桿馬達(dá)中，描述共軛副的基本特征的參數(shù)主要是綜合曲率、過流面積和相對滑動率三項(xiàng).本文以最大綜合曲率、最大相對滑動率和過流面積最大為目標(biāo)函數(shù)，以無曲率干涉、具備足夠的齒形接觸強(qiáng)度和共軛線型的光滑連續(xù)性為約束條件來建立優(yōu)化模型.

2.2.1目標(biāo)函數(shù)

minF(X)=Wρmax(ρRS)+Wηmax(ηRS)+

WA(-ASR)

式中，

這里，Wρ、Wη和WA為權(quán)重系數(shù)，Wρ+Wη+WA=1；KR、KS分別為轉(zhuǎn)子曲線CR和定子曲線CS的相對曲率.

ψ=[df(θ，φR)/dφR]+ζ[df(θ，φR)/dθ]，

ξ=-(i·H)/[i(dRt/dθ)].

2.2.2約束條件

(1)無曲率干涉

轉(zhuǎn)子共軛曲線CR和定子共軛曲線CS在任意嚙合點(diǎn)的誘導(dǎo)曲率[11-14]KRS為：

對于嚙合的轉(zhuǎn)子和定子，在嚙合點(diǎn)的鄰域內(nèi)無曲率干涉的充要條件是：

KRS<0，

則其約束方程應(yīng)為：

M1(X)=ψ<0.

(2)具備足夠的齒形接觸強(qiáng)度

為了保證轉(zhuǎn)子和定子的共軛線型具有足夠的耐磨性和抗疲勞強(qiáng)度，令

M2(X)=[(ρRt)min/ρRt]-1≤0，

M3(X)=[ρRt/(ρRt)max]-1≤0，

M4(X)=[(ρRr)min/ρRr]-1≤0，

M5(X)=[ρRr/(ρRr)max]-1≤0，

M6(X)=[(ρSt)min/ρSt]-1≤0，

M7(X)=[ρSt/(ρSt)max]-1≤0，

M8(X)=[(ρSr)min/ρSr]-1≤0.

其中，ρRt、ρRr、ρSt、ρSr分別是轉(zhuǎn)子齒頂、轉(zhuǎn)子齒根、定子齒頂、定子齒根的曲率半徑.

(3)共軛線型的光滑連續(xù)性

轉(zhuǎn)子齒頂Rt(θ)是預(yù)先給定的光滑連續(xù)曲線，雖然它滿足數(shù)學(xué)理論，但未必在實(shí)際工程應(yīng)用中適用，通常存在干涉現(xiàn)象，需要進(jìn)行幾何修形.為了滿足齒形的密封和嚙合原理，則在分界點(diǎn)需滿足二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)的條件，即(1)式成立.

3實(shí)例分析

假設(shè)某螺桿鉆具，轉(zhuǎn)子與定子的頭數(shù)比是5∶6，定子與轉(zhuǎn)子的偏心距e=9 mm，其轉(zhuǎn)子齒根的最小直徑是(ΦRr)min=86 mm，定子齒頂?shù)淖畲髢?nèi)徑是(ΦSt)max=140 mm.應(yīng)用優(yōu)化模型及優(yōu)化設(shè)計程序，對轉(zhuǎn)子與定子的共軛線型進(jìn)行計算研究.表1的3種線型方案分別是：普通內(nèi)擺線外等距曲線，普通漸開線曲線，三次樣條離散曲線.

表1　線型優(yōu)化設(shè)計結(jié)果的比較(令WH=Wη=WA=1/3)

比較表1中的各項(xiàng)數(shù)據(jù)，可得到如下結(jié)論：

(1)表1中的數(shù)據(jù)表明，對于幾何參數(shù)相同的螺桿馬達(dá)，本文采用的三次樣條離散曲線方法求得的轉(zhuǎn)子與定子的共軛線型的最大綜合曲率和最大相對滑動率指標(biāo)均最小，即嚙合性能最佳.同時，其共軛線型的過流面積也比普通簡單函數(shù)的線型要大，可滿足低轉(zhuǎn)速大扭矩螺桿鉆具馬達(dá)的技術(shù)性能條件.

(2)選用普通內(nèi)擺線外等距曲線、普通漸開線曲線這樣的簡單函數(shù)作為轉(zhuǎn)子齒頂廓形的生成線，都存在不同程度的打扣和曲率干涉現(xiàn)象，很難得到定子與轉(zhuǎn)子的共軛線型，實(shí)際應(yīng)用中需要進(jìn)行修正.詳細(xì)研究發(fā)現(xiàn)，干涉點(diǎn)均出現(xiàn)在分界點(diǎn)處，因?yàn)檫@兩種線型在分界點(diǎn)處的一階和二階導(dǎo)數(shù)不光滑連續(xù).

由此可以推論：若利用三次樣條離散曲線的方法，采用分段連續(xù)的轉(zhuǎn)子廓形，螺桿鉆具馬達(dá)將會獲得嚙合性能較佳和過流面積較大的定子與轉(zhuǎn)子共軛線型.

4結(jié)語

(1)本文運(yùn)用嚙合原理，建立螺桿鉆具馬達(dá)共軛線型通用方程組，構(gòu)造的優(yōu)化設(shè)計數(shù)學(xué)模型對內(nèi)嚙合傳動副具有普遍的適用性.

(2)本文采用優(yōu)化設(shè)計方法，將采用三次樣條函數(shù)作為原始廓形曲線，所求得離散的定子與轉(zhuǎn)子共軛曲線和普通擺線類與漸開線類曲線相比，線型光滑連續(xù)，無干涉現(xiàn)象發(fā)生，嚙合性能指標(biāo)好，過流面積大，最大綜合曲率和最大相對滑動率小，是一種很有前景的線型方案.

(3)本文以數(shù)值分析為基礎(chǔ)，尋找離散數(shù)據(jù)點(diǎn)的數(shù)值優(yōu)化解的范圍，區(qū)別于傳統(tǒng)螺桿鉆具馬達(dá)定子與轉(zhuǎn)子的共軛線型的優(yōu)化，為優(yōu)化設(shè)計提供了新的思路和方法.

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(責(zé)任編輯穆剛)

Research of optimum design method with positive displacement motor linear

CHEN Xin, ZHAO Na

(School of Science, Shenyang University of Technology, Shenyang Liaoning 110870, China)

Abstract：The application of theory of gear meshing principle, using cubic spline function fitting curves, to the numerical analysis, the discrete conjugate linear of stator and rotor is obtained. Based on the simple function for analytical solution method, spreading to the base of the numerical analysis the range of optimized solution is obtained. Compared with the simple function solving method and cubic spline interpolation method, the effectiveness and feasibility of the optimization method are verified.

Key words：motor linear; optimization; rotor; stator; positive displacement motor

[中圖分類號]O29

[文獻(xiàn)標(biāo)志碼]A

[文章編號]1673-8004(2016)02-0023-04

[作者簡介]陳欣(1963—)，女，山東蓬萊人，教授，博士，主要從事工程數(shù)學(xué)、復(fù)雜曲面制造技術(shù)、曲面反求理論等方面的研究.

[收稿日期]2015-06-27