劉　暢, 張　莉, 秦　爽

(1. 信陽職業(yè)技術(shù)學(xué)院, 河南　信陽　464000; 2.蘭州工業(yè)學(xué)院基礎(chǔ)學(xué)科部, 甘肅　蘭州　730050;

3.蘭州交通大學(xué)數(shù)理學(xué)院, 甘肅　蘭州　730070)

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一個超混沌Lorenz系統(tǒng)的Hopf分岔分析

劉暢1, 張莉2, 秦爽3

(1. 信陽職業(yè)技術(shù)學(xué)院, 河南信陽464000; 2.蘭州工業(yè)學(xué)院基礎(chǔ)學(xué)科部, 甘肅蘭州730050;

3.蘭州交通大學(xué)數(shù)理學(xué)院, 甘肅蘭州730070)

[摘要]分析了一個超混沌Lorenz系統(tǒng),并且對其平衡點的局部穩(wěn)定性和Hopf分岔的存在性進行研究，通過非線性動力學(xué)理論研究該系統(tǒng)Hopf分岔周期解的穩(wěn)定性；最后通過計算機仿真證明理論分析的正確性.

[關(guān)鍵詞]超混沌系統(tǒng);Lyapunov指數(shù);Hopf分岔;范式理論

自上個世紀(jì)Lorenz在一個三維自治系統(tǒng)中發(fā)現(xiàn)混沌吸引子以后[1],在研究混沌理論及其應(yīng)用的過程中,混沌理論的研究價值及其他的應(yīng)用價值不斷被學(xué)者們所認(rèn)識,對混沌系統(tǒng)運動研究的關(guān)注越來越多.伴隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展以及對混沌理論的逐步深入研究以及工程實際的需要,學(xué)者們相繼提出各種各樣的非線性混沌系統(tǒng).袁地[2]構(gòu)造了一個不同于Lorenz系統(tǒng)和Chen系統(tǒng)的三維連續(xù)自治混沌系統(tǒng),并且對系統(tǒng)在不同參數(shù)時所產(chǎn)生的復(fù)雜動力學(xué)現(xiàn)象進行分析.劉俊紅[3]討論了一類新型混沌動力學(xué)系統(tǒng)的自適應(yīng)控制及同步問題,實現(xiàn)了在不同初值且參數(shù)未知情況下的自適應(yīng)同步.高智中[4]構(gòu)造了一個新的四維超混沌系統(tǒng),并用數(shù)值模擬方法研究該系統(tǒng)的相圖、分岔圖、Lyapunov 指數(shù)譜等動力學(xué)行為. 文獻[5]設(shè)計了一個二次非線性控制器,可以把具有潛在威脅的亞臨界Hopf分岔轉(zhuǎn)化成為超臨界Hopf分岔. 文獻[6]通過Washout-filter方法設(shè)計了一個Hopf分岔狀態(tài)反饋控制器,在保持平衡點不變的情況下,使得非線性系統(tǒng)在期望的參數(shù)值處將原來發(fā)生的亞臨界Hopf分岔轉(zhuǎn)化為超臨界Hopf分岔,并且保證了系統(tǒng)在參數(shù)值范圍內(nèi)是漸近穩(wěn)定的. 杜文舉等[7]基于Washout濾波器對一類Vander Pol-Duffing系統(tǒng)設(shè)計了狀態(tài)反饋控制器，研究了控制增益對Hopf分岔的存在性及其極限環(huán)幅值的影響. Dang等[8]提出了一個超混沌Lorenz系統(tǒng)，設(shè)計了兩類非線性控制器實現(xiàn)了該系統(tǒng)的同步,并且根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性理論證明了系統(tǒng)的全局漸進穩(wěn)定性.但文獻[8]并沒有系統(tǒng)研究Hopf分岔.本文運用中心流行理論和范式理論，更進一步對系統(tǒng)的Hopf分岔行為進行研究.

1新的四維混沌系統(tǒng)

本文主要研究一個新的四維混沌系統(tǒng)[8].該系統(tǒng)的狀態(tài)方程如下：

(1)

其中x=(x,y,z,u)Τ∈R4是系統(tǒng)的狀態(tài)變量,a,b,c,m為實參數(shù).當(dāng)參數(shù)a=35,b=7,c=12,d=3,m=5時,系統(tǒng)(1)存在一個混沌吸引子,如圖1(a)所示.此時，系統(tǒng)(1)的時間響應(yīng)圖、龐加萊截面圖、Lyapunov指數(shù)譜圖，如圖1 (b)、圖1(c)和圖1(d)所示.

圖1　(a) 三維空間吸引子圖;(b)系統(tǒng)時間響應(yīng)圖;

2平衡點分析和Hopf分岔的存在性

令方程組(1)的右邊等于零，則有

a(y-x)=0,bx+cy-xz+u=0,

-dx+xy=0,-mx=0.

(2)

可以解得系統(tǒng)有唯一的平衡點E0=(0,0,0,0).

系統(tǒng)(1)在E0=(0,0,0,0)的Jacobian矩陣為

(3)

所以,求得系統(tǒng)(1)在平衡點E0處Jacobian矩陣的特征方程為

f(λ)=(λ+d)[λ3+(a-c)λ2+

(m-ab-ac)λ+am]=0

(4)

根據(jù)Routh-Hurwitz判據(jù), 知方程(4)的一切根的實部為負(fù)數(shù)的充要條件是不等式

d>0,a>c,am>0,m-a(b+c)>0,

(a-c)(m-ab-ac)>am

成立.所以,當(dāng)滿足以上條件時,平衡點E0漸近穩(wěn)定.

令λ=iω(ω>0)為方程(4)的根,則有

-iω3-(a-c)ω2+(m-ab-ac)iω+am=0

分離以上方程的實部和虛部可得

以及方程(4)的4個特征值為

λ1，2=±iω0,λ3=-d,λ4=c-a.

對方程(4)兩邊同時關(guān)于m求導(dǎo),有

(5)

根據(jù)上式可得

根據(jù)Hopf定理[8],可知m0便是分岔的臨界值. 當(dāng)mm0時,有極限環(huán)出現(xiàn).綜上所述,系統(tǒng)(1)發(fā)生局部的Hopf分岔.假設(shè)a>0,b>0,c<0,m>0,a+c>0,當(dāng)m穿過臨界值m0時,系統(tǒng)(1)在平衡點E0處發(fā)生Hopf分岔.

3周期解的方向及其穩(wěn)定性

以下利用Hassard等在文獻[9]中提到的范式理論,對系統(tǒng)(1)Hopf分岔所分支出的周期解的方向及其穩(wěn)定性做進一步研究.通過計算可以得出

Jυ1=iω0υ1,Jυ3=-dυ3,Jυ4=(c-a)υ4

的特征向量

對系統(tǒng)(1)定義如下矩陣

P=(Reυ1,-lmυ1,υ3,υ4)

和變換

(x1,y1,z1,u1)T=P(x2,y2,z2,u2)T

從而有

(6)

其中，

F4(x2,y2,z2,u2)=-kmc(a-c)x2z2+ka(a-c)2u2z2,

k1=ak(a-c)[(a-c)(b+c-1)+m],

k2=ω0k[(a-c)3+ma],

k5=k(a3-2a2c+ac2-a2+2ac-c3),

k7=-kmc[m+(a-c)(b+c-1)],

k9=k(a-c)[(a-c)(a2-ac)+a-ab+c2+2mc],

應(yīng)用Hassard等在文獻[9]中提出的方法,進而我們有

通過解方程

Dw11=-h11,(D-2iω0I)w20=-h20,

可得

其中，

基于上面的分析和計算可得

=0,

因此,可以得到下面的表達(dá)式

μ2決定Hopf分岔的方向:當(dāng)μ2>0(μ2<0)時,Hopf分岔是亞臨界的(超臨界的),并且如果m>m0(m0)時,周期解在中心流形上是穩(wěn)定的(不穩(wěn)定的).τ2決定周期解的周期:如果τ2>0(τ2<0),則周期是遞增的(遞減的).因為當(dāng)a>0,b>0,c<0時,則有Re(λ′(m0))>0.因此,如果Re(C1(0))>0(Re(C1(0))<0),則系統(tǒng)(1)在平衡點E0的Hopf分岔是超臨界的(亞臨界的),并且周期解在中心流形上是穩(wěn)定的(不穩(wěn)定的).

4數(shù)值仿真

為了驗證以上理論分析,選取一組參數(shù):a=3,b=2,c=-1,d=3.可以通過計算得出Hopf的臨界值m0=12. 當(dāng)m>m0時,則平衡點是穩(wěn)定的; 當(dāng)m0,τ2=-0.068 593<0, 則系統(tǒng)(1)在平衡點E0的Hopf分岔是超臨界的,當(dāng)m

圖2　當(dāng)(a,b,c,d)=(3,2,-1,3)時的平衡點穩(wěn)定情況：

5結(jié)論

本文對一類超混沌Lorenz系統(tǒng)的Hopf分岔行為進行研究，通過理論分析對系統(tǒng)平衡點的穩(wěn)定性進行研究，選取適當(dāng)?shù)姆植韰?shù)證明了系統(tǒng)Hopf的存在性，而且進一步分析了Hopf分岔周

期解的方向及其穩(wěn)定性，并通過計算機仿真給出分岔參數(shù)變化時系統(tǒng)的相圖，數(shù)值仿真和理論分析吻合,證明了理論分析的正確性.

[參考文獻]

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[3]劉俊紅,楊萬利,鄭素文.一類新型混沌動力學(xué)系統(tǒng)的自適應(yīng)控制及同步研究[J]. 裝甲兵工程學(xué)院學(xué)報, 2010,24(4):91-94.

[4]高智中.一個新超混沌系統(tǒng)及其線性反饋同步[J].中山大學(xué)學(xué)報, 2012, 51(6):31-34.

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[6]安袆春,張慶靈,張艷，等.基于Wash-out-filter方法控制非線性系統(tǒng)Hopf分岔[J]．東北大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版), 2008, 29(10):1318-1384.

[7]黨紅剛,何萬生,郭麗峰. 超混沌Lorenz系統(tǒng)的同步[J]．重慶工學(xué)院學(xué)報(自然科學(xué)版), 2008,22(11):104-106.

[8]杜文舉,張建剛,俞建寧,等. 基于Washout濾波器的VanderPol-Duffing系統(tǒng)的Hopf分岔控制[J]．吉林大學(xué)學(xué)報(理學(xué)版)，2014,52(3): 568-574.

[9]HASSARDBD,KAZARINOFFND,WANYH．TheoryandapplicationsofHopfbifurcation[M].London:CambridgeUniversityPress, 1981.

(責(zé)任編輯吳強)

Hopf bifurcation analysis of a hyperchaotic lorenz system

LIU Chang1, ZHANG Li2, QIN Shuang3

(1. Xinyang Vocational & Technical College, Xinyang He’nan 464000, China;2. Basic Courses Department， Lanzhou Institute of Technology, Lanzhou Gansu 730050, China;3. School of Mathematics and Physics, Lanzhou Jiaotong University, Lanzhou Gansu 730070, China)

Abstract：The paper mainly focuses on the analysis of a hyperchaotic Lorenz system. The local stability of equilibrium is analyzed and existence of Hopf bifurcation is established. The stability of bifurcating periodic solutions is studied by nonlinear dynamic theory. Finally, numerical simulation is given to illustrate the theoretical analysis.

Key words：hyperchaotic system; Lyapunov exponents; Hopf bifurcation; normal form theory

[中圖分類號]O415.5

[文獻標(biāo)志碼]A

[文章編號]1673-8004(2016)02-0014-05

[通訊作者]秦爽(1992—) , 女，黑龍江大慶人，碩士，主要從事非線性系統(tǒng)動力學(xué)及其控制方面的研究.

[作者簡介]劉暢(1983—), 女, 河南信陽人，助教,主要從事非線性動力學(xué)方面的研究.

[基金項目]國家自然科學(xué)基金項目(61364001).

[收稿日期]2015-09-17