王樂洋，吳　飛，吳良才

(1.東華理工大學(xué) 測(cè)繪工程學(xué)院，江西 南昌 330013；2.流域生態(tài)與地理環(huán)境監(jiān)測(cè)國(guó)家測(cè)繪地理信息局重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江西 南昌 330013；3.江西省數(shù)字國(guó)土重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江西 南昌 330013)

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GPS高程轉(zhuǎn)換的總體最小二乘組合方法

王樂洋1,2,3，吳飛1，吳良才1

(1.東華理工大學(xué) 測(cè)繪工程學(xué)院，江西 南昌 330013；2.流域生態(tài)與地理環(huán)境監(jiān)測(cè)國(guó)家測(cè)繪地理信息局重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江西 南昌 330013；3.江西省數(shù)字國(guó)土重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江西 南昌 330013)

摘要：在現(xiàn)有GPS高程轉(zhuǎn)換的研究中，通常只采用單一的解算方法，然而，不同的計(jì)算方法由于適用的條件不同，在對(duì)同一組數(shù)據(jù)進(jìn)行解算時(shí)，解算的精度也各有優(yōu)劣。針對(duì)以上問題，文中提出GPS高程轉(zhuǎn)換的總體最小二乘組合方法，對(duì)多種不同的高程轉(zhuǎn)換方法進(jìn)行組合，運(yùn)用總體最小二乘法計(jì)算不同方法的權(quán)值，結(jié)合實(shí)際工程數(shù)據(jù)，驗(yàn)證該方法的可行性。計(jì)算結(jié)果表明，提出的方法能夠有效地提高高程轉(zhuǎn)換精度。

關(guān)鍵詞：總體最小二乘；組合方法；GPS高程；高程轉(zhuǎn)換；多項(xiàng)式擬合

GPS高程擬合是將高程異常值與平面坐標(biāo)近似描述為多項(xiàng)式關(guān)系，利用已知大地高和正常高的公共點(diǎn)組成誤差方程，進(jìn)而求解多項(xiàng)式系數(shù)[1]。對(duì)于大多數(shù)的工程應(yīng)用，由于測(cè)區(qū)范圍不大，高程異常變化平緩，多項(xiàng)式擬合便可滿足精度要求[2]。通常可以采用最小二乘法求解多項(xiàng)式曲面的參數(shù)，該方法計(jì)算簡(jiǎn)單便捷。但是，在實(shí)際參數(shù)估計(jì)問題中，對(duì)于大部分線性模型來說,一般由于數(shù)據(jù)采樣大小、模型化及測(cè)量等原因引起系數(shù)矩陣的誤差，其系數(shù)陣并非常數(shù)陣而是由其他方法計(jì)算得到的具有一定誤差的變量矩陣[3]。文獻(xiàn)[4]～[7]分別基于最小二乘、總體最小二乘、加權(quán)總體最小二乘和比例總體最小二乘算法進(jìn)行多項(xiàng)式曲面擬合參數(shù)的求解；然而，上述研究中均只采用某一種解算方法，由于各個(gè)方法受自身適用條件的限制，其解算精度各不相同。文獻(xiàn)[8]～[10]將二次多項(xiàng)式曲面模型和BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法進(jìn)行組合，提出不同的組合方法。

本文運(yùn)用一種新的組合計(jì)算方法，根據(jù)不同方法對(duì)組合模型的貢獻(xiàn)度分別賦予相應(yīng)的權(quán)值，并通過采用總體最小二乘法計(jì)算不同方法的權(quán)值，通過對(duì)實(shí)際工程數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算，論證該方法的可行性與有效性。

1GPS高程轉(zhuǎn)換模型與方法

1.1多項(xiàng)式曲面擬合模型

二次多項(xiàng)式曲面的擬合方程為

ξ=a0+a1x+a2y+a3x2+a4xy+a5y2.(1)

三次多項(xiàng)式曲面擬合方程為

ξ=b0+b1x+b2y+b3x2+b4xy+b5y2+b6x2y+b7xy2+b8x3+b9y3.(2)

1.2總體最小二乘法

以二次多項(xiàng)式曲面為例，α為待估參數(shù)向量,ξ為觀測(cè)向量，A是設(shè)計(jì)矩陣，eξ是誤差向量，顧及系數(shù)矩陣中的誤差EA可得

(3)

本文通過迭代計(jì)算對(duì)參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，迭代過程[11]：

1)由最小二乘方法計(jì)算參數(shù)初值：

(4)

2)中間變量為

計(jì)算新的參數(shù)估值：

(5)

迭代終止條件為

(6)

判斷是否滿足終止條件，若滿足即終止計(jì)算，否則返回步驟2)。

同理，可以得到三次多項(xiàng)式曲面GPS高程轉(zhuǎn)換參數(shù)的總體最小二乘解。

2總體最小二乘組合方法

采用不同的GPS高程轉(zhuǎn)換方法時(shí)，計(jì)算得到高程異常函數(shù)的表達(dá)式記作φj(x,y)(其中下標(biāo)j表示第j種方法算子)。把這些函數(shù)作為基函數(shù)，所有的基函數(shù)的集合記作Φ，且有φj(x,y)∈Φ。

若φ1,φ2，…,φm關(guān)于點(diǎn)(x1,y1),…,(xn,yn)線性無關(guān)，其中m為方法的個(gè)數(shù)，n為點(diǎn)的個(gè)數(shù)，則Φ中的任一函數(shù)在點(diǎn)(xi,yi)處表示為

(7)

并令

(8)

則尋求最優(yōu)擬合曲面的問題轉(zhuǎn)換為求多元函數(shù)S(c1,c2,…,cm)最小值的問題[12]。

對(duì)權(quán)值系數(shù)ck進(jìn)行求導(dǎo)計(jì)算得到

(9)

可得到關(guān)于c1,…,cm的線性方程組

(10)

引入向量

(11)

(12)

記內(nèi)積向量

(13)

(14)

可得

(15)

由于φ是關(guān)于x,y的函數(shù)，并且各點(diǎn)坐標(biāo)均含有誤差，對(duì)式(15)引入誤差向量

(16)

其中

(17)

GPS高程轉(zhuǎn)換的總體最小二乘組合方法的基本思想：

1)利用總體最小二乘法求解不同方法對(duì)應(yīng)的高程異常計(jì)算參數(shù)并得到對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式φj(x,y)；

3)組成式(17)，從而得到最佳擬合曲面的組合式。

3算例分析

采用文獻(xiàn)[4]中的數(shù)據(jù)，選取12個(gè)點(diǎn)作為高程異常已知點(diǎn)，分別采用不同的方案進(jìn)行計(jì)算，求出5個(gè)待定點(diǎn)的高程異常，并對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行評(píng)價(jià)。圖1為已知高程異常點(diǎn)的坐標(biāo)經(jīng)過標(biāo)準(zhǔn)化處理之后的空間分布，表1為各方案列表。

圖1　已知與未知高程異常點(diǎn)的空間分布

方案方法1二次多項(xiàng)式曲面(TLS)2三次多項(xiàng)式曲面(TLS)3二次多項(xiàng)式曲面(WTLS)4二次多項(xiàng)式曲面(WTLS)5方案1、方案2組合6方案1、方案3組合7方案1、方案4組合8方案3、方案4組合9方案2、方案3組合10方案2、方案4組合11方案1、方案2、方案3組合12方案1、方案2、方案4組合13方案1、方案2、方案3、方案4組合

由于各個(gè)方案計(jì)算得到的結(jié)果差別較小，在計(jì)算各個(gè)方案所占權(quán)重的過程中，將引起法方程病態(tài)，在運(yùn)用總體最小二乘組合方法解算時(shí)，將不同方案解算的內(nèi)符合點(diǎn)高程異常與已知點(diǎn)的高程異常值進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，最后將通過組合方法計(jì)算得到的結(jié)果進(jìn)行反標(biāo)準(zhǔn)化處理。

本文一共采用13種方案，其中方案1與方案3、4的計(jì)算結(jié)果較接近，即使對(duì)內(nèi)符合點(diǎn)的高程異常再進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，得到的組合模型的法方程仍然出現(xiàn)病態(tài)，故文中對(duì)應(yīng)的組合方案采用了廣義逆進(jìn)行計(jì)算。

圖2為各個(gè)方案的外符合精度，從圖中可以看出，組合方法相對(duì)于僅采用單一計(jì)算方法的效果更好，且計(jì)算得到的精度提高17%～32%。表2中的c1，c2，c3，c4分別為各個(gè)方案中的不同方法的權(quán)值，可以看出待定點(diǎn)計(jì)算結(jié)果較好的方法，獲得的權(quán)值越大，其對(duì)組合模型的貢獻(xiàn)也更大。

圖2　外符合精度

4結(jié)論

本文通過運(yùn)用總體最小二乘法，組合了多種常用的GPS高程轉(zhuǎn)換方法，對(duì)不同的高程異常轉(zhuǎn)換方法賦予不同權(quán)值，結(jié)合實(shí)際工程數(shù)據(jù)對(duì)轉(zhuǎn)換參數(shù)及待定點(diǎn)高程異常值進(jìn)行計(jì)算，并對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較分析，論證本文采用方法的可行性與有效性。但是，本文僅分析了高程異常變化較小且點(diǎn)位分布較均勻的情況，對(duì)于點(diǎn)位分布較離散或者高程異常變化較大的情況，可以結(jié)合其它不同高程異常轉(zhuǎn)換方法的特點(diǎn)進(jìn)行組合，以達(dá)到提高精度的目的，具體的組合方法也有待進(jìn)一步研究。

表2　不同方案各方法所占權(quán)重

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[責(zé)任編輯：李銘娜]

Total least squares combination method of GPS height transformation

WANG Leyang1,2,3，WU Fei1，WU Liangcai1

(1.School of Geomatics，East China Institute of Technology，Nanchang 330013，China;2.Key Laboratory of Watershed Ecology and Geographical Environment Monitoring，NASG，Nanchang 330013，China；3.Jiangxi Province Key Lab for Digital Land，Nanchang 330013,China)

Abstract：In the current research on GPS height transformation，single calculation methods are used only.However，due to different calculation methods applicable for different conditions，though for the solution of the same set of data，the precision of each will also have advantages and disadvantages.In view of the above problems，this paper puts forward the total least squares combination method of GPS height transformation；it makes the combination of a variety of different height transformation methods and calculates the weight of different schemes.Calculations are performed by using the actual engineering data to verify the feasibility and effectiveness of the method.The test results show that the method can effectively improve the accuracy of height transformation.

Key words：total least squares；combination method；GPS height；elevation transformation；polynomial fitting

中圖分類號(hào)：P228

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1006-7949(2016)04-0011-04

作者簡(jiǎn)介：王樂洋(1983-)，男，博士，副教授，碩士生導(dǎo)師.

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(41204003，41161069，41304020)；測(cè)繪地理信息公益性行業(yè)科研專項(xiàng)(201512026)；江西省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(20132BAB216004)；江西省教育廳科技項(xiàng)目(GJJ13456，KJLD12077，KJLD14049)；地理空間信息工程國(guó)家測(cè)繪地理信息局重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室項(xiàng)目(201308)；東華理工大學(xué)博士科研啟動(dòng)金(DHBK201113)

收稿日期：2015-03-01；修回時(shí)間：2015-09-10