徐麗平，李治　(長江大學(xué)信息與數(shù)學(xué)學(xué)院，湖北 荊州 434023)

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由分數(shù)布朗運動驅(qū)動的隨機泛函微分方程傳輸不等式

徐麗平，李治(長江大學(xué)信息與數(shù)學(xué)學(xué)院，湖北 荊州 434023)

[摘要]通過分形分析方法，在Riemann-Stieltje積分意義下，對關(guān)于分數(shù)布朗運動的積分建立一些合理的估計，利用所建立的估計在賦予一致度量的連續(xù)函數(shù)空間上，對一類參數(shù)的分數(shù)布朗運動驅(qū)動的隨機泛函微分方程解的概率分布建立Talagrand-類型T1傳輸不等式。

[關(guān)鍵詞]傳輸不等式；Girsanov定理；分數(shù)布朗運動

假設(shè)(E,d)是賦予σ-域β的度量空間，且d是β?β-可測的。給定常數(shù)p≥1和E上的概率測度μ,ν，Wasserstein距離定義為：

這里，φ(μ,ν)表示所有E×E上邊緣分布為μ和ν的乘積概率測度。Talagrand[1]對Rn上的標準的Gaussian測度μ建立了傳輸不等式：

f>0μ(f)=0

其中，d(x,y)=|x-y|。

一般地，如果存在常數(shù)C≥0使得對任意的概率測度ν滿足：

(1)

(2)

其中，Cτ=C([-τ,0];R)是[-τ,0]→R賦予一致范數(shù)‖·‖∞的連續(xù)函數(shù)空間；對?u∈[-τ,0]，Xt∈Cτ表示函數(shù)Xt(u)=X(t+u)；b,σ:Ω×[0,T]×Cτ→R。

方程(2)中的隨機積分是樣本軌道意義下的Riemann-Stieltje積分。下面，筆者將應(yīng)用一些最新的分數(shù)微分方程的結(jié)論和Girsanov變換方法，對方程(2)解的概率分布建立傳輸不等式。

1預(yù)備知識

對任意給定的T，考慮區(qū)間[0,T]，設(shè)(Wt)t∈[0,T]是定義在概率空間(Ω,F,P)上的布朗運動，記Ft=σ(Ws,s≤t)表示W(wǎng)生產(chǎn)的σ-代數(shù)。設(shè)BH=(BH(t))t∈[0,T]是定義在(Ω,F,P)由W變換得到的分數(shù)布朗運動，也就是說BH能表示為：

(3)

式中，核函數(shù)KH被定義為：

(4)

如果s≥t，則KH(t,s)=0。

對給定的實數(shù)0≤λ≤1及0≤s

‖f‖λ=‖f‖s,t,∞+‖f‖s,t,λ

其中：

考慮下面的假設(shè)條件：

(H1)函數(shù)b(t,ξ)是連續(xù)的，進一步，b(t,ξ)對t關(guān)于ξ是Lipschitz連續(xù)和線性增長的，即存在常數(shù)L1,L2使得對所有的ξη∈Cτ及t∈[0,T]滿足：

|b(t,ξ)-b(t,η)|≤L1‖ξ-μ‖

|b(t,ξ)|≤L2(1+‖ξ‖)

(H2)函數(shù)σ(t,ξ)連續(xù)且對ξFrechet可微，進一步，存在常數(shù)L3,L4,L5使得對所有的ξ,η∈Cτ及t∈[0,T]滿足：

|Dξσ(t,ξ)|≤L3

|Dξσ(t,ξ)-Dξσ(t,η)|≤L4‖ξ-η‖

|σ(t,ξ)-σ(s,ξ)|+|Dξσ(t,ξ)-Dξσ(s,ξ)|≤L5|t-s|

在假設(shè)條件(H1)、(H2)下，文獻[9]證明了如果1-H<α

2由粗糙函數(shù)驅(qū)動的確定性微分方程

這里處理由Holder連續(xù)函數(shù)驅(qū)動的確定性微分方程，主要目的是證明由2個不同的Holder連續(xù)函數(shù)驅(qū)動的確定性微分方程的解關(guān)于一致度量d∞的估計。

(5)

的可測函數(shù)f:[0,T]→R和g:[0,T] →R，其中：

C1-α+ε([0,T];R)?W1-α+∞([0,T];R)?C1-α([0,T];R)?ε>0

給定函數(shù)f∈Wα,1([0,T];R)及g∈W1-α,∞([0,T];R)，由分數(shù)階導(dǎo)數(shù)算子[11]定義的一般化Stieltjes積分為：

定義：

進一步，有：

(6)

對任意的λ≥0，在空間C1-α([a,b];R)中引入下面的等價范數(shù)：

(7)

(8)

這里x0=φ∈Cτ。

‖x‖t-α,λ0≤M0

其中，λ0是依賴于T,α,Li的常數(shù)；M0是依賴于T,α,φ,Li的常數(shù)；i=1,…,5。

(9)

(10)

證明由式(6)，σ的有界性及假設(shè)條件(H2)知：

|Jσ(x)(t)|≤∧α(g)‖σ(xt)‖α,1

引理1得證。

進一步，如果令Δ=(2L1)-1∧1，則對所有的T≤Δ，存在常數(shù)K使得：

(11)

證明由方程(7)和(8)知：

利用式(6)及引理1有：

因此：

(12)

在式(12)中，令t=T并注意到對T≤1,有T1-α≥T2-2α≥T2-α，于是得到式(11)。

3主要結(jié)果

引理2[2]設(shè)μ是度量空間(E,d)上的概率測度，ξ,ξ′是概率分布為μ取值與E的2個獨立的隨機變量，如果：

有限，則μ在(E,d)上滿足傳輸不等式T1(C)。

(13)

下面估計∧α(BH)。根據(jù)∧α的定義知：

因此：

另一方面，利用文獻[7]中引理8知：

在式(13)兩邊取期望得：

因此，定理1得證。

注1在方程(2)中，如果τ=0，b,σ是時齊的，定理1弱化為文獻[8]中的定理2，而文獻[8]定理2的T1(C)性質(zhì)中的常數(shù)C獨立于初始值。但是對于泛函情況，在定理1中的C依賴于初值。盡管如此，對于僅僅漂移項含有時間延遲的情況下方程(2)的T1(C)性質(zhì)中的常數(shù)C也獨立于初始值φ。

(14)

可以得到定理2。

證明從定理1 的證明可知，如果命題1中的K獨立于初始值函數(shù)φ，則定理2立即成立。為此，定義：

接下來估計Gσ(x)(t)。由式(6)，σ的有界性及假設(shè)條件(H2)知：

|Gσ(x)(t)|≤∧α(g)‖σ(t,x(t))‖α,1

考慮下面2個確定性微分方程：

(15)

(16)

這里x(0)=φ(0)。

類似于命題1的證明，定義Δ=(2L1)-1∧1，則對所有的T≤Δ，存在獨立于初始函數(shù)φ的常數(shù)K使得：

證畢。

4結(jié)語

利用分形分析的方法，在R上對一類分數(shù)布朗運動驅(qū)動的隨機泛函微分方程在一致度量空間上建立了T1傳輸不等式。進一步，將在無窮維空間中，利用Girsanov變化方法對分數(shù)布朗運動驅(qū)動的隨機時滯偏微分方程和中立型方程建立T1和T2傳輸不等式。

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[編輯]洪云飛

[文獻標志碼]A

[文章編號]1673-1409(2016)01-0070-07

[中圖分類號]O211.63

[作者簡介]徐麗平 (1980-)，女， 碩士， 講師，現(xiàn)主要從事隨機微分方程方面的教學(xué)與研究工作； E-mail: xlp211@126.com。

[基金項目]國家自然科學(xué)基金項目(11271093)； 湖北省教育廳青年人才項目(Q20141306)。

[收稿日期]2015-10-28

[引著格式]徐麗平，李治.由分數(shù)布朗運動驅(qū)動的隨機泛函微分方程傳輸不等式[J].長江大學(xué)學(xué)報(自科版)，2016,13(1)：70～76.