陳保穎， 高學(xué)軍

(廣東工業(yè)大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院, 廣東 廣州 510520)

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一種新的三維二次自治型混沌系統(tǒng)的分類準(zhǔn)則

陳保穎， 高學(xué)軍

(廣東工業(yè)大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院, 廣東 廣州 510520)

摘要:基于調(diào)控網(wǎng)絡(luò)的觀點，提出一種新的關(guān)于三維二次自治型混沌系統(tǒng)的分類準(zhǔn)則.首先，把混沌系統(tǒng)看成生物學(xué)上的調(diào)控網(wǎng)絡(luò)，網(wǎng)絡(luò)中的每個節(jié)點唯一地對應(yīng)于混沌系統(tǒng)的一個變量，通過研究調(diào)控網(wǎng)絡(luò)的運行機制，以理解混沌產(chǎn)生的機制.然后，根據(jù)調(diào)控網(wǎng)絡(luò)與三維自治多項式型混沌系統(tǒng)之間的關(guān)系，討論三維二次自治型混沌系統(tǒng)的分類.

關(guān)鍵詞:混沌系統(tǒng)； 調(diào)控系統(tǒng)； 混沌分類； ilinikov定理

近幾十年來，盡管混沌理論及其研究內(nèi)容得到了快速發(fā)展和極大豐富[1-5],但混沌研究仍很零散，缺乏系統(tǒng)性，研究結(jié)果極大地依賴于特定模型.混沌的傳統(tǒng)研究思路與研究手段的局限導(dǎo)致混沌理論最近幾十年難有突破，基本停留在早期的水平.甚至與混沌有關(guān)的某些基本問題還沒有得到解決，例如：在三維自治多項式型常微分方程系統(tǒng)中，具有怎樣結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)才會產(chǎn)生混沌；如何找出具有產(chǎn)生混沌潛能的所有可能系統(tǒng)；基于混沌的特征如何分類其中的混沌系統(tǒng)等.

目前為止，許多學(xué)者試圖尋找三維二次多項式自治混沌系統(tǒng)標(biāo)準(zhǔn)型和一般性理論.特別的，關(guān)于混沌判定的理論結(jié)果主要有：Marotto定理(離散型)與i’lnikov同(異)宿軌定理(連續(xù)型)[6-7].盡管如此，如何對自治系統(tǒng)中的混沌進(jìn)行合理分類，仍然沒有系統(tǒng)結(jié)果，甚至相關(guān)研究也較少.然而，研究混沌系統(tǒng)的分類問題無論從理論研究還是從工程應(yīng)用角度，都是十分重要且有意義的.

本文主要討論三維二次多項式自治系統(tǒng)混沌分類的問題.關(guān)于混沌分類，目前主要有兩種不同的代數(shù)準(zhǔn)則以及一種解析分類準(zhǔn)則：兩種不同的代數(shù)準(zhǔn)則分別由elikovsky等[8]和Yang[9]提出，這些準(zhǔn)則是根據(jù)系統(tǒng)的線性化系統(tǒng)的系數(shù)來給出的，因此屬于局部性準(zhǔn)則.然而，一個非線性系統(tǒng)的線性部分往往只影響系統(tǒng)的局部動力學(xué)性質(zhì)，混沌行為主要取決于非線性部分的影響.因此，這兩種準(zhǔn)則雖然可以對某些混沌系統(tǒng)進(jìn)行分類，但卻不能很好地揭示出混沌吸引子的幾何結(jié)構(gòu)和混沌的形成機制[10].周天壽提出了一種新的解析分類準(zhǔn)則[11]，即基于i′lnikov同(異)宿軌準(zhǔn)則，混沌系統(tǒng)分為4類：i′lnikov同宿軌型；i′lnikov異宿軌型；i′lnikov同異宿軌混合型以及其他類型.這種準(zhǔn)則對現(xiàn)有的自治型混沌系統(tǒng)能夠做出較為科學(xué)的分類，然而不管是利用傳統(tǒng)意義下還是推廣的i′lnikov定理來證明混沌的存在性[12]，需要事先假定系統(tǒng)存在一條同(異)宿軌線.由于同(異)宿軌的敏感性，因此應(yīng)用中這個條件通常很難判斷，這促使我們試圖尋找一種更好的混沌分類方法.本文借用生物學(xué)上的調(diào)控原理將三維二次自治型混沌系統(tǒng)映射為調(diào)控網(wǎng)絡(luò)，討論網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)分類與混沌分類之間的關(guān)系，從調(diào)控網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的觀點提出了一種新的關(guān)于三維二次自治型混沌系統(tǒng)的分類準(zhǔn)則.

1確定性方程得到網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖的一般規(guī)則

為了劃分和理解三維二次自治多項式型動力系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)，以下面的二維數(shù)學(xué)模型(把x，y看做網(wǎng)絡(luò)節(jié)點)為例給出由確定性方程得到網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖的一般規(guī)則：

圖1　混沌系統(tǒng)的調(diào)控網(wǎng)絡(luò)示意圖

2基于調(diào)控網(wǎng)絡(luò)的一種新的混沌分類準(zhǔn)則

為了從網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的角度對三維二次自治型混沌系統(tǒng)做出合理的分類,首先確定三維二次自治型混沌系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的核心構(gòu)件，如圖2(b)所示.其中，數(shù)字代表各個調(diào)控網(wǎng)絡(luò)核心構(gòu)件示例，網(wǎng)絡(luò)復(fù)雜度按照箭頭方向逐漸降低.以圖1(a)中Sprott(e)系統(tǒng)為例，其網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)由一個正反饋和一個負(fù)反饋以及自促進(jìn)耦合而成.假設(shè)刪掉網(wǎng)絡(luò)中的一條調(diào)控關(guān)系(y節(jié)點的自促進(jìn))后相應(yīng)的網(wǎng)絡(luò)仍可產(chǎn)生混沌性態(tài)(表明這條調(diào)控關(guān)系對混沌性態(tài)的形成僅起修飾作用)，但是繼續(xù)刪掉一條調(diào)控關(guān)系(x節(jié)點對z節(jié)點的促進(jìn))后，無論如何調(diào)整系統(tǒng)參數(shù)、變化初值條件，相應(yīng)的網(wǎng)絡(luò)都不會生成混沌，那么刪掉y節(jié)點的自促進(jìn)后的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)可看作Sprott(e)系統(tǒng)生成混沌的一個核心構(gòu)件.然后，利用地圖集策略[15]，以所有的3節(jié)點混沌調(diào)控網(wǎng)絡(luò)作為節(jié)點構(gòu)造一拓?fù)鋸?fù)雜網(wǎng)絡(luò)，如圖2(a)所示.節(jié)點的位置取決于該調(diào)控網(wǎng)絡(luò)中調(diào)控關(guān)系的數(shù)量,如果3節(jié)點調(diào)控網(wǎng)絡(luò)調(diào)控關(guān)系數(shù)目多，則位于網(wǎng)絡(luò)上層，反之，位于下層；如果調(diào)控網(wǎng)絡(luò)之間可通過添加或刪除一條調(diào)控關(guān)系相互變異，則相應(yīng)的節(jié)點間連通，反之，不連通.在此拓?fù)鋸?fù)雜網(wǎng)絡(luò)中(由上至下逐層)于底層找到幾種典型網(wǎng)絡(luò)模塊,它們應(yīng)該是候選混沌網(wǎng)絡(luò)的核心構(gòu)件，形式相對簡單并且拓?fù)洳坏葍r.那么由這些最簡混沌網(wǎng)絡(luò)模塊的種類即可實現(xiàn)混沌分類的目的.

圖23節(jié)點調(diào)控網(wǎng)絡(luò)作為節(jié)點構(gòu)成的拓?fù)鋸?fù)雜網(wǎng)絡(luò)的一部分示例(a)和混沌調(diào)控網(wǎng)絡(luò)核心構(gòu)件示例(b)

Fig.2A part of the example about a 3-node network as nodes of the topologically complex network(a) and the example of how to determine the chaotic regulatory network core(b)

3結(jié)論

本文基于調(diào)控網(wǎng)絡(luò)的觀點提出了一種新的關(guān)于三維二次自治型混沌系統(tǒng)的分類準(zhǔn)則.從系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的角度來研究混沌的產(chǎn)生機制，利用生物學(xué)上的調(diào)控網(wǎng)絡(luò)理論來研究混沌產(chǎn)生與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)之間的關(guān)系，這種新的研究方法將對揭示混沌的本質(zhì)機制有重要幫助.

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New Classification Rules of 3-D Quadratic Autonomous Chaotic System

Chen Bao-ying, Gao Xue-jun

(School of Applied Mathematics, Guangdong University of Technology, Guangzhou 510520, China)

Abstract:This paper discusses the classification rules of chaos in 3-dimensional quadratic autonomous systems. The author develops a new effective classification and provides a basic classification framework. Based on regulatory network, the research first views a chaotic system as a regulatory network in which every node corresponds uniquely to a variable in the chaotic system. Then, it studies the relationship between regulatoy networks of 3 nodes and 3-dimensional autonomous chaotic system of polynomial type. Finally, the paper classifies 3-dimensional autonomous chaotic systems of polynomial type from the viewpiont of regulatory network.

Key words:chaotic system; regulatory system; chaos classification; ilinikov theorem

中圖分類號:N93

文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A

文章編號:1007-7162(2016)01- 0026- 03

doi:10.3969/j.issn.1007- 7162.2016.01.005

作者簡介:陳保穎(1980-)，女，講師，主要研究方向為混沌的控制與反控制. E-mail：sunnycby@126.com.通信作者: 高學(xué)軍(1962-)，女，副教授，主要研究方向為微分方程數(shù)值計算. E-mail：gaoxxj@163.com.

基金項目:國家自然科學(xué)基金資助項目(11326130，11501128);廣東省對外科技合作項目(2013B051000075)

收稿日期:2015- 05- 14