卜 紅 彧

(遼東學(xué)院師范學(xué)院數(shù)學(xué)系，遼寧 丹東 118003)

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具有年齡結(jié)構(gòu)的三種群捕食與被捕食系統(tǒng)的最優(yōu)邊界控制

卜 紅 彧

(遼東學(xué)院師范學(xué)院數(shù)學(xué)系，遼寧 丹東 118003)

[摘要]研究了一類具有年齡結(jié)構(gòu)的三種群非線性捕食系統(tǒng)的最優(yōu)邊界控制問題，由Mazur定理得到了最優(yōu)邊界控制的存在性，利用法錐概念給出了最優(yōu)控制滿足的條件.

[關(guān)鍵詞]捕食系統(tǒng)；年齡結(jié)構(gòu)；最優(yōu)邊界控制；最優(yōu)條件

1預(yù)備知識(shí)

對(duì)單種群動(dòng)力系統(tǒng)最優(yōu)控制問題的研究具有重要的應(yīng)用價(jià)值，且已獲得了較為系統(tǒng)的成果.[1-3]但對(duì)于多種群系統(tǒng)控制問題的研究，因其復(fù)雜性，尚不夠完善.已有主要成果如下:文獻(xiàn)[4-5]討論了具有年齡結(jié)構(gòu)的捕食-食餌種群動(dòng)力系統(tǒng)的最優(yōu)收獲控制；文獻(xiàn)[6-8]研究了具有年齡結(jié)構(gòu)的競(jìng)爭(zhēng)種群系統(tǒng)的適定性及最優(yōu)控制問題；文獻(xiàn)[9]討論了具有空間擴(kuò)散和年齡結(jié)構(gòu)的三種群捕食與被捕食系統(tǒng)的最優(yōu)收獲問題；文獻(xiàn)[10]討論了具有年齡結(jié)構(gòu)的兩種群非線性競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)的最優(yōu)邊界控制.本文將在此基礎(chǔ)上，討論三種群捕食與被捕食系統(tǒng)的最優(yōu)邊界控制問題.考慮如下數(shù)學(xué)模型：

(1)

其中：Q=(0，A)×(0，T)，A為種群最大年齡，T為時(shí)間周期；pi(r，t)為第i個(gè)種群的分布密度；μi，βi分別為第i個(gè)種群的平均死亡率和平均生育率；λi為種群間的相互作用系數(shù)；pi0是第i個(gè)種群的初始分布密度；Pi(t)為第i個(gè)種群t時(shí)刻的種群總量；Si(t)為第i個(gè)種群t時(shí)刻的加權(quán)總量；wi(r，t)為權(quán)函數(shù)；fi是種群的外部擾動(dòng)函數(shù)，如遷移等；控制變量vi(t)為r=0時(shí)的邊界函數(shù).

考慮如下的最優(yōu)邊界控制問題

(2)

(H2) 對(duì)(r，t)∈Q，βi∈L∞(Q)；若s∈R+，對(duì)任意(r，t；s)∈Q×(0，+∞)，0≤βi(r，t；s)≤C1(C1為正常數(shù))，βi關(guān)于s兩次連續(xù)可微，偏導(dǎo)數(shù)有界且是不減的.

(H3)λi∈L∞(Q)，0≤λi(r，t；s)≤C2，這里C2為正常數(shù).

(H4)pi0(r)∈L∞(0，A)，0≤pi0(r)≤C3，0≤w(r，t)≤C4，這里C3，C4為正常數(shù).

(H5) 0≤fi(r，t)≤Ki，(r，t)∈Q，Ki為正常數(shù)，i=1，2，3.

定義1所謂系統(tǒng)(1)的解，是指存在函數(shù)p=(p1，p2，p3)∈L∞(Q；R3)且滿足方程(1).

2最優(yōu)邊界控制的存在性

證明設(shè)

(3)

(4)

(5)

根據(jù)文獻(xiàn)[11]中引理5.1.1知

(6)

(7)

由(6)與(7)式及極限的唯一性得

(8)

同理可推得

(9)

因Ui(i=1，2，3)有界，則U1×U2×U3中存在一個(gè)子序列，仍記為{(v1n，v2n)}，當(dāng)n→∞時(shí)

(10)

(11)

(12)

由J的凸性知

(13)

在(13)式中令n→∞，再由(3)式得

(14)

而顯然有

(15)

由(11)、(14)及(15)式得

(16)

由(5)、(6)、(9)式及假設(shè)(H1)、(H2)得：

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

3最優(yōu)條件

在不影響問題討論的實(shí)質(zhì)性的前提下，假設(shè)種群的外部擾動(dòng)函數(shù)fi(r，t)=0，i=1，2，3.

(24)

其中qi為下列對(duì)偶系統(tǒng)的解：

(25)

上式移項(xiàng)整理并兩端同除以ε，取ε→0+的極限得

(26)

(27)

將(27)式中第一式兩邊乘以q1(r，t)并在Q上積分，利用(25)式中第四、五式，(27)式中第五式有

將(25)式中第一式代入上式，并注意到(27)式中第四式，

(28)

同理將(27)式中第二、三式分別乘以q2(r，t)、q3(r，t)，在Q上積分，并將(25)式中第二、三式分別代入得：

(29)

(30)

將(28)、(29)、(30)式相加，并注意到(27)式中第六式，有

(31)

將(31)式代入(26)式可得(24)式成立.定理證畢.

綜合上面的結(jié)果，我們有如下結(jié)論.

[參考文獻(xiàn)]

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(責(zé)任編輯：李亞軍)

Optimal boundary control for an age-dependent predator-prey population dynamics of three species

BU Hong-yu

(Mathematics Department of Teacher’s College，Eastern Liaoning University，Dandong 118003，China)

Abstract:The optimal boundary control for an age-dependent predator-prey population dynamics of three species is investigated. The existence of the optimal boundary control is obtained by Mazur’s theorem and the optimal condition is deduced by means of normal cone.

Keywords:predator-prey population dynamics；age-dependence；optimal boundary control；optimal condition

[中圖分類號(hào)]O 231.4[學(xué)科代碼]110·47

[文獻(xiàn)標(biāo)志碼]A

[作者簡(jiǎn)介]卜紅彧(1981—)，女，碩士，講師，主要從事分布參數(shù)系統(tǒng)控制研究.

[基金項(xiàng)目]遼寧省科技計(jì)劃項(xiàng)目(W2011162)；中國高等教育學(xué)會(huì)“十一五”教育科學(xué)研究規(guī)劃課題項(xiàng)目(06AIG0200048)；遼東學(xué)院青年基金資助項(xiàng)目(2014Q19).

[收稿日期]2014-10-15

[文章編號(hào)]1000-1832(2016)01-0039-05

[DOI]10.16163/j.cnki.22-1123/n.2016.01.010