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        圖Pa,b的k-優(yōu)美性

        2016-04-11 02:52:20嚴(yán)謙泰姚艷紅
        關(guān)鍵詞:艷紅標(biāo)號(hào)安陽

        嚴(yán)謙泰,姚艷紅

        (安陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,河南 安陽 455000)

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        圖Pa,b的k-優(yōu)美性

        嚴(yán)謙泰,姚艷紅

        (安陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,河南 安陽 455000)

        [摘要]利用函數(shù)構(gòu)造的方法得到了圖P2和圖P2的一個(gè)k-優(yōu)美標(biāo)號(hào),從而證明了圖P2和圖P2的k-優(yōu)美性.

        [關(guān)鍵詞]優(yōu)美圖;k-優(yōu)美圖;頂點(diǎn)標(biāo)號(hào)

        1預(yù)備知識(shí)

        定義3設(shè)u,v是兩個(gè)固定頂點(diǎn). 用b條內(nèi)部互不相交且長(zhǎng)度皆為a的道路連接u,v所得的圖稱為圖Pa,b.

        本文研究了圖Pa,b的k-優(yōu)美性.文中未加說明的術(shù)語和記號(hào)參見文獻(xiàn)[1].

        2主要結(jié)果

        定理1圖P2r+1,2m+1是k-優(yōu)美圖.

        f(u)=k+(2r+1)(2m+1)-1;

        f(v)=((2r+1)(2m-1)-1)/2.

        當(dāng)j為奇數(shù)且0

        當(dāng)j為偶數(shù),i為奇數(shù)且0

        當(dāng)j為偶數(shù),i為偶數(shù)且0

        下面證明f是P2r+1,2m+1的一個(gè)k-優(yōu)美標(biāo)號(hào).

        首先證明P2r+1,2m+1各頂點(diǎn)標(biāo)號(hào)不同.

        顯然每個(gè)f(Vj)中的序列從上到下單調(diào)遞增且f(V1)

        即對(duì)任意的u,v∈V,若u≠v,則f(u)≠f(v).從而P2r+1,2m+1的頂點(diǎn)標(biāo)號(hào)各不相同,且有

        其次證明各邊標(biāo)號(hào)不同.記:

        故P2r+1,2m+1所有邊的標(biāo)號(hào)各不相同.

        由k-優(yōu)美標(biāo)號(hào)的定義知,f是P2r+1,2m+1的一個(gè)k-優(yōu)美標(biāo)號(hào).

        定理2P2r,b圖是k-優(yōu)美圖.

        0

        0

        下面證明f是P2r,b的一個(gè)k-優(yōu)美標(biāo)號(hào).

        ,

        .

        ,

        .

        顯然第i條道路奇數(shù)列頂點(diǎn)的標(biāo)號(hào)單調(diào)遞增,第i條道路偶數(shù)列頂點(diǎn)的標(biāo)號(hào)單調(diào)遞減,且

        ,

        從而當(dāng)

        b+12

        時(shí),第i條道路上第2到第2r-1條邊的標(biāo)號(hào)單調(diào)遞減;當(dāng)

        ≤i≤b時(shí),第i條道路上第2到第2r-1條邊的標(biāo)號(hào)單調(diào)遞增.且當(dāng)b為偶數(shù)時(shí),

        當(dāng)b為奇數(shù)時(shí),

        故P2r,b的邊和標(biāo)號(hào)一一對(duì)應(yīng).

        綜上可知,f是P2r,b的k-優(yōu)美標(biāo)號(hào),從而P2r,b是k-優(yōu)美圖.

        [參考文獻(xiàn)]

        [1]SHEPPARD D A. The factorial representation of majorbalanced labeled graphs[J].Discrete Math,1976,15:379-388.

        [3]吳躍生.非連通圖2C4m∪C8m-1∪G的優(yōu)美標(biāo)號(hào)[J].東北師大學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2015,47(3):60-63.

        [4]楊元生,容青,徐喜榮.一類優(yōu)美圖[J].數(shù)學(xué)研究與評(píng)論,2004,24:520-524.

        [5]嚴(yán)謙泰.圖P2r,2m的優(yōu)美標(biāo)號(hào)[J].系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué),2006,26(5):513-517

        (責(zé)任編輯:李亞軍)

        k-gracefulness of graphPa,b

        YAN Qian-tai,YAO Yan-hong

        (School of Mathematics and Statistics,Anyang Normal University,Anyang 455000,China)

        Abstract:A k-graceful labeling for all the P2 and P2 are given by function constructing. So the k-gracefulness of P2 and P2 are proved.

        Keywords:graceful graph;k-graceful graph;vertex labeling

        [中圖分類號(hào)]O 157.5[學(xué)科代碼]110·7470

        [文獻(xiàn)標(biāo)志碼]A

        [作者簡(jiǎn)介]嚴(yán)謙泰(1964—),男,教授,主要從事圖論及其應(yīng)用研究;通訊作者:姚艷紅,碩士,講師,主要從事圖論及其應(yīng)用研究.

        [基金項(xiàng)目]河南省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(0511013800);河南省教育廳自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(12A110003).

        [收稿日期]2014-08-21

        [文章編號(hào)]1000-1832(2016)01-0008-06

        [DOI]10.16163/j.cnki.22-1123/n.2016.01.003

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