王辰琳，趙長見，宋志國

（中國運(yùn)載火箭技術(shù)研究院，北京，100076）

基于蒙特卡羅方法的固體火箭姿態(tài)控制系統(tǒng)設(shè)計

王辰琳，趙長見，宋志國

（中國運(yùn)載火箭技術(shù)研究院，北京，100076）

在固體火箭姿態(tài)控制系統(tǒng)設(shè)計過程中，為保證設(shè)計結(jié)果的可靠性，需要針對發(fā)動機(jī)性能、全箭質(zhì)量及氣動參數(shù)等進(jìn)行拉偏仿真分析，各項(xiàng)偏差的大小及使用方法直接影響對固體火箭控制能力的需求。傳統(tǒng)固體火箭姿態(tài)控制系統(tǒng)設(shè)計時，一般針對各項(xiàng)偏差進(jìn)行極限拉偏組合仿真，導(dǎo)致設(shè)計結(jié)果較為保守。針對總體各項(xiàng)偏差量，建立概率模型，采用蒙特卡羅方法進(jìn)行控制力分析。數(shù)學(xué)仿真結(jié)果表明，相比傳統(tǒng)設(shè)計方法，在保證系統(tǒng)具有一定的可靠度情況下，大幅降低了對姿態(tài)控制系統(tǒng)的需求，優(yōu)化了系統(tǒng)方案。

概率設(shè)計方法；總體偏差量；蒙特卡羅方法

0 引 言

固體火箭控制系統(tǒng)設(shè)計的基本目標(biāo)是：在一定的可靠度下保證固體火箭飛行過程中舵機(jī)所能產(chǎn)生的控制力和控制力矩不低于箭身所受的干擾力和干擾力矩，否則，固體火箭會因所受干擾力矩過大而失控。由于輸入?yún)?shù)存在不確定性，這里的控制力、控制力矩和干擾力、干擾力矩都不是一個確定的值，而是由若干隨機(jī)變量組成的多元隨機(jī)變量，它們都具有一定的分布概率[1]。

在目前工程應(yīng)用中，為提高設(shè)計的可靠性，通常按3σ要求給出偏差量的取值區(qū)間，并對各偏差量采用極限和的方法處理，然后在極限和的基礎(chǔ)上乘以安全系數(shù)，以此作為選擇舵機(jī)力矩大小的依據(jù)[2～4]。由于偏差量取值過于保守，安全系數(shù)依據(jù)主觀經(jīng)驗(yàn)選取[5]，導(dǎo)致傳統(tǒng)設(shè)計方法中理論計算出的干擾力和力矩過大，對執(zhí)行機(jī)構(gòu)推力需求余量過大，提升了設(shè)計的難度[6]。

為解決這個問題，本文以概率設(shè)計的方法來確定控制力矩需求，將設(shè)計中所考慮的總體偏差量當(dāng)作隨機(jī)變量來處理，建立總體偏差量的概率模型，通過蒙特卡羅仿真方法計算由偏差量引起的干擾力矩，避免出現(xiàn)傳統(tǒng)設(shè)計中為追求安全可靠，對控制系統(tǒng)執(zhí)行機(jī)構(gòu)要求過高，造成不必要的成本上升，研制難度增大的問題。

1 姿態(tài)控制數(shù)學(xué)模型

固體火箭控制系統(tǒng)屬于多維非線性時變的系統(tǒng)。為了使非線性的問題得以解決，工程上常常運(yùn)用在一定的假設(shè)條件來進(jìn)行擾動線性化，才能把空間運(yùn)動分解成相互獨(dú)立的平面運(yùn)動。由于非線性微分方程可以進(jìn)行線性化處理的最基本的假設(shè)是變量和工作點(diǎn)之前的偏差量非常小，并且要求變量在該點(diǎn)處存在導(dǎo)數(shù)或者偏導(dǎo)數(shù)。若該條件成立，則可以在該工作點(diǎn)的附近區(qū)域中將描述控制系統(tǒng)特性的非線性微分方程通過變量偏差形式展為泰勒數(shù)，并忽略高階偏差小量，就可以得到以變量相應(yīng)于平衡點(diǎn)處的偏差量作為自變量的線性微分方程[7]。通過理論推導(dǎo)，建立固體火箭的三通道線性化模型[8]：

設(shè)計控制系統(tǒng)時要了解箭體的動態(tài)特性，在經(jīng)典自動控制理論中用傳遞函數(shù)等來表征系統(tǒng)的動態(tài)特性。傳遞函數(shù)概念一般只適合于線性控制系統(tǒng)，為解決非線性時變的問題，實(shí)際工程上一般運(yùn)用系數(shù)凍結(jié)法。系數(shù)凍結(jié)法是依據(jù)控制系統(tǒng)參數(shù)變化的范圍和快慢來進(jìn)行分段凍結(jié)的方法[9]，不同段的取值不同，同段內(nèi)參數(shù)值相同并按定常系統(tǒng)處理。由于固體火箭繞質(zhì)心運(yùn)動的暫態(tài)過程比方程系數(shù)變化快得多，所以可以近似認(rèn)為在姿態(tài)角偏差暫態(tài)過程中方程系數(shù)不變，即將方程系數(shù)凍結(jié)在相應(yīng)的飛行秒上，因此可將傳遞函數(shù)概念用在控制系統(tǒng)的分析設(shè)計上。

由式（1）～（3）可得剛性箭體的傳遞函數(shù)：

2 蒙特卡羅方法

蒙特卡羅方法也稱為隨機(jī)模擬方法，有時也被稱為隨機(jī)抽樣技術(shù)或統(tǒng)計試驗(yàn)方法。它的基本思想是為了求解數(shù)學(xué)、物理、工程技術(shù)以及生產(chǎn)管理等方面的問題，首先建立一個概率模型或隨機(jī)過程，使它的參數(shù)等于問題的解；然后通過對該模型或過程的抽樣試驗(yàn)（仿真）來計算所求參數(shù)的統(tǒng)計特征；最后給出所求解的近似值，而解的精確度可用估計值的標(biāo)準(zhǔn)誤差或其它統(tǒng)計特征來表示。

用蒙特卡羅方法模擬某過程時，需要產(chǎn)生各種概率分布的隨機(jī)變量。為了方便，通常把[0,1]區(qū)間上均勻分布隨機(jī)變量的抽樣值稱為隨機(jī)數(shù)，其他分布隨機(jī)變量的抽樣都是借助于隨機(jī)數(shù)來實(shí)現(xiàn)的?，F(xiàn)在，隨機(jī)數(shù)基本上都是用計算機(jī)來產(chǎn)生的，例如Matlab里的Random函數(shù)。嚴(yán)格地說，這種隨機(jī)數(shù)是由一種迭代過程即數(shù)學(xué)工程產(chǎn)生的，能通過一系列的局部隨機(jī)性檢驗(yàn)，如均勻性、獨(dú)立性檢驗(yàn)，通常稱這樣產(chǎn)生的數(shù)為偽隨機(jī)數(shù)。

假定已獲得了上述隨機(jī)數(shù)，根據(jù)概率模型的特點(diǎn)和隨機(jī)變量的分布特性，設(shè)計和選取合適的抽樣方法并對每個隨機(jī)變量進(jìn)行隨機(jī)抽樣。這里的抽樣方法有直接抽樣、分層抽樣、相關(guān)抽樣等，選取合適抽樣方法的目的是降低模擬結(jié)果的估計方差，提高模擬精度，或者在保證精度的前提下提高計算效率[10]。

設(shè)ri(i=1,2,...,12)是[0,1]區(qū)間上均勻分布隨機(jī)量的12次抽樣值，根據(jù)概率統(tǒng)計理論，隨機(jī)數(shù)ri的期望值為1/2，標(biāo)準(zhǔn)差為則可由如下的近似抽樣法產(chǎn)生一個標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機(jī)數(shù)

從仿真結(jié)果可知，為保證固體火箭各通道姿態(tài)可控，俯仰通道至少需要10 053.769 N·m的控制力矩，偏航通道至少需要11 271.419 N·m的控制力矩，滾動通道至少需要1932 N·m的控制力矩，單舵最大舵偏角可達(dá)29.81°，超出最大舵偏27°限制，控制力無法滿足需求。

假設(shè)需要的正態(tài)隨機(jī)量滿足η～N(μ,σ2)，則η可由下式得到：

式中 μ,σ分別為隨機(jī)變量η的期望值和標(biāo)準(zhǔn)差。

3 基于蒙特卡羅的姿態(tài)控制系統(tǒng)概率設(shè)計

3.1 總體偏差量概率模型

對固體火箭設(shè)計、生產(chǎn)與使用過程進(jìn)行分析可知，引起固體火箭戰(zhàn)技指標(biāo)偏離的原因有2類：a）系統(tǒng)偏差，如發(fā)射平臺的固有系統(tǒng)誤差、瞄準(zhǔn)誤差、射擊諸元裝訂誤差、大地測量誤差、恒風(fēng)測量誤差等[11]，這些誤差所引起的偏差是確定的，是可以消除的；b）隨機(jī)偏差，包括固體火箭質(zhì)量特性偏差、發(fā)動機(jī)性能偏差、氣動特性偏差等。固體火箭總體設(shè)計的偏差量特指隨機(jī)偏差。

通過對大量實(shí)測及計算數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析，建立了總體各項(xiàng)偏差的概率分布模型，見表1。

表1 總體偏差量的概率分布

3.2 控制力分析

3.2.1 傳統(tǒng)設(shè)計方法

由于總體各項(xiàng)參數(shù)與實(shí)際飛行時有差異，姿態(tài)運(yùn)動方程式系數(shù)額定狀態(tài)并不能完全代表飛行器的飛行條件，因此要進(jìn)行上下限偏差設(shè)計。在傳統(tǒng)設(shè)計方法中，將偏差量的取值組合按照對控制系統(tǒng)的影響分為姿控上限狀態(tài)和下限狀態(tài)。

a）系統(tǒng)的上限狀態(tài)選取固體火箭總體參數(shù)、控制系統(tǒng)參數(shù)的偏差組合，應(yīng)使開環(huán)幅頻增大，高頻幅裕度減??；

b）系統(tǒng)的下限狀態(tài)選取固體火箭總體參數(shù)、控制系統(tǒng)參數(shù)的偏差組合，應(yīng)使開環(huán)幅頻減小，低頻幅裕度減小。

選取式（4）～（6）各項(xiàng)系數(shù)的上限、下限狀態(tài)，可以得到姿控系統(tǒng)的上限、下限狀態(tài)。按姿控上限、下限狀態(tài)分別進(jìn)行仿真，結(jié)果見表2。

表2 傳統(tǒng)設(shè)計方法仿真結(jié)果

3.2.2 蒙特卡羅方法

以Matlab/Simulink為平臺，根據(jù)式（1）～（3）所描述的固體火箭三通道姿態(tài)運(yùn)動方程，搭建姿態(tài)控制系統(tǒng)仿真模型。仿真計算流程見圖1。

表1中的總體偏差量數(shù)據(jù)利用Matlab軟件中的normrnd函數(shù)生成，部分?jǐn)M合結(jié)果分布見圖2。

經(jīng)驗(yàn)證，各偏差量均獨(dú)立且符合其概率分布模型。采用蒙特卡羅方法仿真計算50 000次，得到各通道舵機(jī)偏轉(zhuǎn)角和干擾力矩隨時間變化的曲線，通過提取每條曲線上舵機(jī)偏轉(zhuǎn)最大值和干擾力矩最大值，統(tǒng)計并計算其均值和標(biāo)準(zhǔn)差。仿真過程中3個通道的最大需用舵偏角的統(tǒng)計結(jié)果見圖3。

圖1 蒙特卡羅方法流程

圖2 擬合結(jié)果分布

圖3 三通道仿真最大舵偏角數(shù)據(jù)直方圖

在給定置信度（3σ）條件下，確定出最大舵偏角和控制力矩的許用設(shè)計值列于表3。俯仰通道至少需要8519.193 N·m的控制力矩，偏航通道至少需要9869.928 N·m的控制力矩，滾動通道至少需要1657.033 N·m的控制力矩，單舵最大需用舵偏角為19.475°。

表3 概率設(shè)計方法仿真結(jié)果

3.2.3 對比分析

表4為概率設(shè)計方法和傳統(tǒng)方法的對比。從表4可知，在設(shè)計輸出參數(shù)滿足3σ要求的同時，概率設(shè)計方法能降低執(zhí)行機(jī)構(gòu)的需求力矩和需用舵偏角，滿足執(zhí)行機(jī)構(gòu)對舵偏角的限制。

表4 傳統(tǒng)方法與概率設(shè)計方法對比

4 結(jié) 論

本文按照概率設(shè)計方法的思想，在滿足給定置信度的要求下，建立了固體火箭總體偏差量的概率模型，采用蒙特卡羅方法進(jìn)行大量仿真計算，結(jié)果證明：概率設(shè)計方法可在一定程度上減少姿態(tài)控制系統(tǒng)的需用力矩和最大需用舵偏角，在保證設(shè)計可靠的同時又不過于保守，降低對控制系統(tǒng)要求，優(yōu)化固體火箭姿態(tài)控制系統(tǒng)設(shè)計方案。

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Design of Solid-fuel Rocket Attitude Control System Based on Monte Carlo Method

Wang Chen-lin, Zhao Chang-jian, Song Zhi-guo
(China Academy of Launch Vehicle Technology, Beijing, 100076)

In the design process of solid-fuel rocket attitude control system, it is necessary to simulate based on population deviations of engine performance, whole solid-fuel rocket mass and aerodynamic parameter in order to assure the reliability of design results, because the using method of deviation factors are accounted for the demand of solid-fuel rocket control. The extreme value of population deviations are taken in the traditional design method, but it leads to more conservative design results. The probability models of population deviations are established, and then Monte Carlo methods are introduced to analysis the controlling force. The simulated results show that, compared to the traditional design method, the probability design method reduces the demand of solid-fuel rocket attitude control system and optimizes the system design scheme obviously.

Probability design method; Population deviation; Monte Carlo method

V448.22

A

1004-7182(2016)05-0028-05

10.7654/j.issn.1004-7182.20160506

2015-12-14；

2016-03-30

王辰琳（1991-），女，碩士，主要研究方向?yàn)轱w行器姿態(tài)控制系統(tǒng)設(shè)計