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        判定直線平行“四途徑”

        2016-04-09 02:17:07吳行民
        初中生天地 2016年7期
        關(guān)鍵詞:途徑

        □吳行民

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        判定直線平行“四途徑”

        □吳行民

        平行線在現(xiàn)實(shí)生活中隨處可見,它構(gòu)成了平面內(nèi)兩條直線的基本位置關(guān)系.下面簡(jiǎn)要介紹判定直線平行的四種途徑.

        途徑一:利用對(duì)頂角的性質(zhì)、等量代換

        例1如圖1,已知:直線AB、CD相交于點(diǎn)E,∠A=∠1,∠2=∠B,試說明:AC∥BD.

        圖1

        分析:依據(jù)判定直線平行的條件,本題需要尋找相等的同位角或內(nèi)錯(cuò)角,或互補(bǔ)的同旁內(nèi)角.

        解:因?yàn)橹本€AB、CD相交于點(diǎn)E,所以∠1=∠2(對(duì)頂角相等).又因?yàn)椤螦=∠1,∠2=∠B(已知),所以∠A=∠B(等量代換),所以AC∥BD(內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行).

        點(diǎn)評(píng):平行線的判定是以角的相等或互補(bǔ)為前提的.本題的關(guān)鍵是借助對(duì)頂角相等、等量代換,找到一組內(nèi)錯(cuò)角相等,從而使問題獲解.

        途徑二:利用垂直、等式的性質(zhì)

        例2如圖2,已知BA⊥DA于A,CD⊥AD于D,∠1=∠2,那么直線AE、DF平行嗎?為什么?

        圖2

        分析:直線AE、DF被DA所截,圖中有內(nèi)錯(cuò)角,如果內(nèi)錯(cuò)角相等,那么兩直線就平行,所以我們要想辦法判定直線AE、DF被DA所截形成的內(nèi)錯(cuò)角是否相等.

        解:AE與DF平行.理由如下:

        因?yàn)锽A⊥DA,CD⊥AD,

        所以∠BAD=∠ADC=90°.

        又因?yàn)椤?=∠2,

        所以∠BAD-∠1=∠ADC-∠2,

        即∠DAE=∠ADF.

        所以AE∥DF(內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行).

        點(diǎn)評(píng):尋找圖中可推出直線平行的內(nèi)錯(cuò)角或同位角,這是逆向思維的運(yùn)用.根據(jù)垂直定義,可以得到一對(duì)相等的角,再加上已知∠1= ∠2,利用等式的性質(zhì),可得到一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等,從而得到兩直線平行.

        途徑三:利用等角、角平分線定義

        例3如圖3,已知B,D,E三點(diǎn)在一條直線上,∠ABD=∠CDE,BF平分∠ABD,DG平分∠CDE,那么直線BF與直線DG平行嗎?為什么?

        圖3

        分析:直線BF與直線DG被BD所截,如果同位角相等,兩直線就平行,所以要判定這兩條直線是否平行,就要轉(zhuǎn)化為判定同位角是否相等,如相等就平行,如不相等就不平行.

        解:BF與DG平行.理由如下:

        因?yàn)锽F平分∠ABD,DG平分

        ∠CDE,

        又因?yàn)椤螦BD=∠CDE,

        即∠1=∠2.

        所以BF∥DG(同位角相等,兩直線平行).

        點(diǎn)評(píng):在幾何學(xué)習(xí)中,常會(huì)由已知條件得到多個(gè)結(jié)論,我們應(yīng)從中篩選對(duì)解題有用的結(jié)論.例如,要說明本題的結(jié)論,需要知道什么角相等,其余的結(jié)論不要注意,以免分散注意力.已知中有∠ABD= ∠CDE,由此條件可得AB∥CD.但對(duì)于此題來說這個(gè)結(jié)論沒有用,因此,不要考慮這個(gè)結(jié)論.

        途徑四:利用平行線的性質(zhì)、等量代換

        例4如圖4,已知∠1=∠2,再添上什么條件可使AB∥CD成立?并就你添上的其中的一個(gè)條件說明理由.

        圖4

        分析:若添加能說明同位角相等、內(nèi)錯(cuò)角相等或同旁內(nèi)角互補(bǔ)的條件,這樣就能用直線平行的判定來說明兩條直線平行了.

        解:可分別添上以下任意條件:

        (1)EB∥FD;

        (2)∠MBE=∠MDF;

        (3)∠EBN=∠FDN;

        (4)∠EBD+∠FDB=180°;

        (5)EB⊥MN,F(xiàn)D⊥MN等.

        已知:∠1=∠2,EB∥FD,試說明:AB∥CD.

        理由:因?yàn)镋B∥FD,

        所以∠EBM=∠FDM(兩直線平行,同位角相等).

        又因?yàn)椤螮BM=∠1+∠ABM,

        ∠FDM=∠2+∠CDM,

        ∠1=∠2,

        所以∠ABM=∠CDM(等量代換),

        所以AB∥CD(同位角相等,兩直線平行).

        點(diǎn)評(píng):本題研究直線平行的判定條件,要搞清楚的是添加哪個(gè)條件可以得到哪兩條直線平行.本題有一定的開放性,回答不同,對(duì)應(yīng)的說理過程也不同.

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