劉苑華

摘 要：期權(quán)是現(xiàn)代金融風(fēng)險(xiǎn)管理的重要工具之一，確定的執(zhí)行價(jià)格以及特殊的損益是期權(quán)最大的特點(diǎn)。美式期權(quán)可以在期權(quán)到期日之前的任何時(shí)間行權(quán)，封頂確定了市場(chǎng)價(jià)格和執(zhí)行價(jià)格之間的間距，看漲期權(quán)具有損失有限收益無(wú)限的特點(diǎn)。自1973年Fischer Black 和 Myron Scholes提出了著名的期權(quán)定價(jià)公式，Black-Scholes的研究框架成為期權(quán)定價(jià)研究的主流。標(biāo)準(zhǔn)的美式封頂看漲期權(quán)定價(jià)是自由邊界問(wèn)題，本文從美式封頂看漲期權(quán)性質(zhì)研究開(kāi)始，繼而建立自由邊界模型和變分不等方程兩種模型對(duì)美式封頂看漲期權(quán)的定價(jià)進(jìn)行分析。

關(guān)鍵詞：美式封頂看漲期權(quán)；自由邊界模型；變分不等方程模型

一、期權(quán)理論概述

1.期權(quán)概述

期權(quán)根據(jù)買(mǎi)方對(duì)標(biāo)的價(jià)格不同方向的判斷分為看漲期權(quán)和看跌期權(quán)，看漲期權(quán)的買(mǎi)方有權(quán)利按照?qǐng)?zhí)行價(jià)格買(mǎi)入期權(quán)標(biāo)的，買(mǎi)方認(rèn)為期權(quán)標(biāo)的的價(jià)格未來(lái)是會(huì)上漲的；看跌期權(quán)的買(mǎi)方有權(quán)利按照?qǐng)?zhí)行價(jià)格賣(mài)出期權(quán)標(biāo)的，買(mǎi)方認(rèn)為期權(quán)標(biāo)的的價(jià)格未來(lái)會(huì)下跌。對(duì)于期權(quán)的買(mǎi)方來(lái)講，收益是不固定的，最大損失已經(jīng)固定是全部的期權(quán)費(fèi)用加上無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率收益，對(duì)于期權(quán)的賣(mài)方來(lái)講，最大收益固定是全部的期權(quán)費(fèi)用，損失空間卻很大。

2.美式封頂看漲期權(quán)性質(zhì)

看漲期權(quán)的損失有限，最大的損失就是購(gòu)買(mǎi)期權(quán)支付的費(fèi)用，盈利則是無(wú)限的，損益如圖所示。當(dāng)市場(chǎng)價(jià)格等于行權(quán)價(jià)格加上期權(quán)費(fèi)用之和，看漲期權(quán)損益正好平衡，市場(chǎng)價(jià)格越高，看漲期權(quán)盈利越大，并且沒(méi)有盈利上限，但是在現(xiàn)實(shí)生活中，期權(quán)標(biāo)的是不可能無(wú)限上漲的，因此筆者認(rèn)為期權(quán)中最重要的就是行權(quán)價(jià)格的選擇，也就是行權(quán)價(jià)格和市場(chǎng)價(jià)格之間的間距確定，封頂期權(quán)很好的解決了這個(gè)問(wèn)題。封頂價(jià)格對(duì)看漲期權(quán)來(lái)說(shuō)是定約價(jià)加上一個(gè)封頂間距，如果底層證券達(dá)到或高于看漲期權(quán)的封頂價(jià)格，封頂期權(quán)將自動(dòng)履約。設(shè)定一個(gè)封頂價(jià)格就相當(dāng)于設(shè)定一個(gè)期權(quán)獲利區(qū)域，根據(jù)美式封頂看漲期權(quán)的性質(zhì)，期權(quán)標(biāo)的的價(jià)格明顯有兩種損益，當(dāng)市場(chǎng)價(jià)格大于零（現(xiàn)實(shí)中不存在標(biāo)的價(jià)格小于零的情況），小于或等于行權(quán)價(jià)格時(shí)，看漲期權(quán)處于虧損狀態(tài)，損失為期權(quán)費(fèi)用，這時(shí)持有人應(yīng)當(dāng)繼續(xù)持有期權(quán)，因此這個(gè)區(qū)域稱(chēng)為持有區(qū)域，當(dāng)市場(chǎng)價(jià)格大于行權(quán)價(jià)格時(shí)，期權(quán)損益出現(xiàn)轉(zhuǎn)折，市場(chǎng)價(jià)格小于行權(quán)價(jià)格和期權(quán)費(fèi)用之和，期權(quán)仍舊處于虧損狀態(tài)，但是虧損在逐漸縮小，此時(shí)期權(quán)的損益等于市場(chǎng)價(jià)格減去行權(quán)價(jià)格減去期權(quán)費(fèi)用，這時(shí)期權(quán)仍舊不應(yīng)當(dāng)被執(zhí)行，當(dāng)市場(chǎng)價(jià)格大于行權(quán)價(jià)格與期權(quán)費(fèi)用之和，看漲期權(quán)開(kāi)始盈利，這時(shí)應(yīng)當(dāng)執(zhí)行期權(quán)，不再被持有，因此期權(quán)處于終止持有區(qū)域，持有到終止持有的盈利過(guò)程在兩個(gè)區(qū)域之間流轉(zhuǎn)，因此一定存在一條最佳實(shí)施邊界，并且這個(gè)邊界與封頂上限L有密切聯(lián)系。

二、永久美式封頂看漲期權(quán)定價(jià)--自由邊界模型

我們將永久美式封頂看漲期權(quán)作為自由邊界模型定價(jià)的研究對(duì)象，永久指的是沒(méi)有到期日的意思，也就是時(shí)間T=∞，因?yàn)闆](méi)有到期日的限制，永久美式封頂看漲期權(quán)是同類(lèi)型美式封頂看漲期權(quán)中最貴的，擁有最多最大的獲利機(jī)會(huì)。

1.模型的推導(dǎo)

模型推導(dǎo)中的前提是風(fēng)險(xiǎn)中性市場(chǎng)的標(biāo)準(zhǔn)假設(shè)，即假設(shè)市場(chǎng)不存在任何套利機(jī)會(huì)，投資者的投資態(tài)度是中性的，所有證券的預(yù)期收益率都等于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率，將期望值用無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率折現(xiàn)。假設(shè)期權(quán)標(biāo)的的市場(chǎng)價(jià)格S符合隨機(jī)微分方程其中μ是期望回報(bào)率，永恒為常數(shù)正數(shù)，σ是波動(dòng)率，同樣是正常數(shù)，表示達(dá)到市場(chǎng)平衡的波動(dòng)幅度。dWt表示的是期權(quán)標(biāo)的的價(jià)格遵循幾何分式布朗運(yùn)動(dòng)。設(shè)P是永久美式封頂看漲期權(quán)的價(jià)格；r是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率，和基準(zhǔn)利率密切相關(guān)；q是連續(xù)支付的紅利。然后以對(duì)沖原理為基礎(chǔ)，目標(biāo)是整個(gè)投資不存在風(fēng)險(xiǎn)，可以構(gòu)造的投資組合是：，△表示期權(quán)標(biāo)的的份數(shù)穩(wěn)定持有，在時(shí)間段t+dt內(nèi)不會(huì)改變。根據(jù)以上假設(shè)持有期權(quán)，那么投資組合滿(mǎn)足以下公式：

在期權(quán)標(biāo)的的市場(chǎng)價(jià)格S非常小的情況下，標(biāo)的價(jià)格會(huì)小于行權(quán)價(jià)格，S-K小于零，期權(quán)不應(yīng)當(dāng)執(zhí)行，期權(quán)價(jià)格滿(mǎn)足方程1，當(dāng)期權(quán)標(biāo)的市場(chǎng)價(jià)格足夠高時(shí)，S-K大于零，表示執(zhí)行期權(quán)有盈利，期權(quán)持有者用約定的執(zhí)行價(jià)格買(mǎi)入標(biāo)的，獲得的是市場(chǎng)很高的價(jià)值，低價(jià)買(mǎi)入高價(jià)賣(mài)出獲取中間的差價(jià)利潤(rùn)，這時(shí)應(yīng)當(dāng)立即執(zhí)行期權(quán)，否則就會(huì)產(chǎn)生支付紅利和貼現(xiàn)的損失。是否應(yīng)當(dāng)執(zhí)行期權(quán)的分界線(xiàn)，用C表示，當(dāng)標(biāo)的市場(chǎng)價(jià)格S小于C時(shí)，不應(yīng)當(dāng)執(zhí)行期權(quán)，S在持有區(qū)域中，此時(shí)期權(quán)價(jià)格P符合方程1，當(dāng)S大于C時(shí)，應(yīng)當(dāng)執(zhí)行期權(quán)獲取盈利，S處于執(zhí)行區(qū)域，此時(shí)期權(quán)的價(jià)格P=S-K。在整個(gè)價(jià)格分析中，固定的一個(gè)時(shí)間點(diǎn)，分界線(xiàn)C是未知的，也是我們所研究的自由邊界，但是顯然C應(yīng)當(dāng)大等于期權(quán)執(zhí)行價(jià)格K，如果C小于K，那么C-K小于零，應(yīng)當(dāng)持有期權(quán)，處在持有區(qū)域，這和基本前提是互相矛盾的。

假設(shè)當(dāng)S=0時(shí)，市場(chǎng)是一只無(wú)形手，有自動(dòng)調(diào)節(jié)平衡的功能，期權(quán)價(jià)格不可能無(wú)限高而沒(méi)有邊界，因此P（0）是有邊界的。當(dāng)S=L（L大于K）時(shí)，發(fā)行人按價(jià)格L-K回購(gòu)，從而P（L）=L-K。

美式期權(quán)的執(zhí)行時(shí)間由持有者決定，持有者會(huì)根據(jù)自己對(duì)市場(chǎng)的判斷，綜合考慮多種因素，繼而選取一個(gè)利益最大化的約定執(zhí)行期權(quán)價(jià)格K（即自由邊界C），這時(shí)期權(quán)的價(jià)格達(dá)到最大值，可以得到（P；C）符合等式2：

將計(jì)算結(jié)果和分析歸納為金融解釋?zhuān)梢缘玫饺缦陆Y(jié)論：（1）期權(quán)標(biāo)的價(jià)格上漲，市場(chǎng)對(duì)標(biāo)的的盈利能力的期望也隨之增加，期權(quán)的價(jià)格就會(huì)上升。（2）對(duì)于美式看漲期權(quán)來(lái)講，執(zhí)行價(jià)格K越大，購(gòu)買(mǎi)期權(quán)的持有者獲利越困難，獲利空間越小，期權(quán)的價(jià)格越低。（3）波動(dòng)率是指價(jià)格的波幅，波動(dòng)率大表示價(jià)格會(huì)有大幅變動(dòng)的可能，將會(huì)增加盈利的可能，因此期權(quán)的價(jià)格和波動(dòng)率的大小成正比。（4）期望回報(bào)率和無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率之間聯(lián)系緊密，期望回報(bào)率隨著無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率的增加而增加。（5）封頂價(jià)格指的是獲利的固定空間，封頂價(jià)格變小，獲利空間變窄，期權(quán)的最終收益隨之減少，期權(quán)的價(jià)格降低。

三、變分不等方程模型

除了永久美式封頂看漲期權(quán)之外，其余類(lèi)型的美式封頂看漲期權(quán)的價(jià)格都不能夠用一個(gè)表達(dá)式表示，只能根據(jù)收益函數(shù)：收益=（min（St，L）-K）+，基于變分不等方程的離散化，用數(shù)值的方法，對(duì)一般美式封頂看漲期權(quán)的定價(jià)進(jìn)行建模研究。

建模需要有一系列的假設(shè)，在此假設(shè)期權(quán)標(biāo)的的價(jià)格遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng)，存在固定常數(shù)的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r，期權(quán)標(biāo)的支付紅利為常數(shù)q，交易過(guò)程中沒(méi)有稅費(fèi)和交易費(fèi)用產(chǎn)生，市場(chǎng)中不存在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)。

4.顯式差分格式

在區(qū)域對(duì)收益函數(shù)的變分不等方程作變換，從而期權(quán)價(jià)格P的求解問(wèn)題就是在帶狀區(qū)域上構(gòu)成區(qū)域解網(wǎng)格，每一個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)都是固定的二維函數(shù)，將期權(quán)價(jià)格和波動(dòng)率進(jìn)行定義，代入變分不等式方程得到格點(diǎn)上的方程組合解析式，利用反向歸納的方法，對(duì)變分方程進(jìn)行代入數(shù)值求解，這個(gè)模型是顯式差分格式，不需要具體解析代數(shù)方程的，區(qū)域內(nèi)的解也無(wú)法用線(xiàn)性邏輯描述。最終可以得到的變分方程是：

在這一部分中主要研究的參數(shù)對(duì)期權(quán)價(jià)格的影響如下：美式封頂看漲期權(quán)隨著到期日時(shí)間t的臨近，波動(dòng)率逐漸變小，因此期權(quán)價(jià)格和到期日反向運(yùn)動(dòng)；期權(quán)價(jià)格臨近到期日越高，就證明看漲期權(quán)獲益更大，因此期權(quán)價(jià)格與期權(quán)標(biāo)的的價(jià)格同向運(yùn)動(dòng)。

四、期權(quán)定價(jià)總結(jié)

執(zhí)行價(jià)格越低，市場(chǎng)價(jià)格變化幅度越大并且是上漲趨勢(shì)的期權(quán)合約價(jià)格越高。假設(shè)將期權(quán)標(biāo)的的價(jià)格確定下來(lái)，t時(shí)刻期權(quán)標(biāo)的的價(jià)格是S，期權(quán)價(jià)格為P，則可以在期權(quán)價(jià)格區(qū)域內(nèi)確定點(diǎn)Pt=P（S，t），這個(gè)點(diǎn)是確定的二維坐標(biāo)區(qū)域中的一個(gè)，期權(quán)定價(jià)就是建立常微分方程和變分不等方程的離散將這個(gè)函數(shù)的等式表示出來(lái)。期權(quán)定價(jià)工作的理論基礎(chǔ)是布萊克和肖爾斯在1973年做出的歐式期權(quán)定價(jià)的推導(dǎo)公式，關(guān)于偏微分方程的顯示解。

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