陳積瞻,蘇海東,祁勇峰

（長江科學院a.水利部水工程安全與病害防治工程技術研究中心；b.材料與結構研究所,武漢 430010)

?

基于CAD幾何的數(shù)值流形方法初步研究

陳積瞻a,b,蘇海東a,b,祁勇峰a,b

（長江科學院a.水利部水工程安全與病害防治工程技術研究中心；b.材料與結構研究所,武漢 430010)

摘 要：計算機輔助工程中的設計—分析—再設計的反復過程,蘊含著計算機輔助設計（CAD)與計算機輔助工程分析（CAE)相融合的迫切需求。提出基于CAD幾何的數(shù)值流形方法:按照CAE真實物理場分布的復雜程度來布置數(shù)學網(wǎng)格和設置近似函數(shù)階次,比等幾何分析方法更合理；只需引入自動且快速的切割操作,就能實現(xiàn)CAD模型進入CAE后無需修改而直接建模；針對以往的流形法需要將曲線邊界離散成折線的問題,給出了曲線邊界與網(wǎng)格直邊的切割算法,實現(xiàn)了幾何模型在CAE建模和網(wǎng)格細化中的保形性；針對流形法通常使用的多項式近似函數(shù),推導了曲線“近似”單純形的解析積分公式并應用于帶有曲線邊界的流形元的精確積分運算；最后通過平板內的圓孔算例驗證了方法的可行性。該方法對CAD和CAE的融合提出了全新的思路,為實現(xiàn)CAD進入CAE后的自動化分析打下了基礎。

關鍵詞：數(shù)值流形方法；等幾何分析方法；CAD幾何；曲線與直線的切割；單純形積分；CAD/ CAE協(xié)同

2016,33（02):137-143

1 研究背景

隨著計算機科學與數(shù)值分析技術的迅速發(fā)展,計算機輔助工程包括計算機輔助設計（CAD)與計算機輔助工程分析（CAE)等,已成為現(xiàn)代設計的主要工具和手段［1］。應用CAE數(shù)學模型替代以往的物理模型對設計結果進行分析和評價,可為改進、優(yōu)化設計提供重要依據(jù)。這種設計—分析—再設計的反復過程,蘊含著CAD設計與CAE分析相融合（又稱為CAD和CAE協(xié)同設計與分析)的迫切需求。我們認為,最終目標是實現(xiàn)CAD進入CAE后的自動化分析。

計算分析方法和軟件是CAE的關鍵因素［1］。目前,有限元方法是應用最為廣泛的分析方法,但有限元網(wǎng)格需要適應材料邊界并保持單元合適形狀的硬性要求帶來了2方面的影響:其一,CAD幾何模型在進入CAE時一般要經(jīng)過修剪、整理與簡化,如去掉小的圓形倒角并進行細節(jié)修補、曲線或曲面（本文以下部分均以曲線為例)邊界的分段簡化（如線性化)等；其二,對形狀復雜的結構進行有限元網(wǎng)格劃分往往非常困難。因此需要大量繁瑣且非常耗時的人工操作,而最令分析人員頭疼的是設計—分析反復過程導致的因設計變更而重復建模。雖然一些大型商用有限元軟件如ANSYS旗下的協(xié)同分析平臺以及MSC公司最新推出的APEX平臺等,提供了一定程度的“智能化”協(xié)同分析和網(wǎng)格劃分功能,但離分析人員的預期仍有不小的距離,這是由于有限元方法自身的局限性使之在CAD和CAE融合方面存在一定的困難。

2005年,Hughes等［2］提出了等幾何分析方法,在幾何模型和分析模型中采用一套描述方式——通常是NURBS（Non-Uniform Rational B-Splines非均勻有理B樣條),解決了傳統(tǒng)數(shù)值計算的求解域描述與幾何設計之間不相兼容的問題,實現(xiàn)了CAD和CAE的無縫連接。CAD模型可直接參與CAE分析而無需再劃分網(wǎng)格,避免了設計與分析之間過多的人工交互以及設計修改后的分析模型重建。同時,該方法具有幾何模型的精確性,即保形性:在CAE建模時避免了因幾何模型簡化而產生的誤差,且網(wǎng)格細分后仍保持原有邊界曲線的幾何特征［3］。另外還具有近似函數(shù)的高階連續(xù)性,計算精度相對較高。等幾何分析方法提出了CAD和CAE融合的新思路,成為國際上的研究熱點。

然而,等幾何分析方法也存在諸多不足:工業(yè)界通常采用以邊界數(shù)據(jù)表示的幾何模型,與等幾何分析要求的基于實體造型的幾何模型不匹配［4］,而要求工業(yè)界為了適應某種計算方法而改變現(xiàn)狀是很難的,反之,將邊界模型轉化為實體模型,無異于做一次完整的網(wǎng)格剖分；該方法采用的樣條形函數(shù)具有多維基函數(shù)的張量積特征,形成的網(wǎng)格在拓撲上是規(guī)整的［4］,對于復雜求解域的適應性以及局部的網(wǎng)格細化不如有限元法方便；“等參”是等幾何分析的基礎,而“等參”帶來的實際物理域映射到標準參數(shù)域的一些問題,比如,網(wǎng)格扭曲（相對于規(guī)則網(wǎng)格)、曲線邊界（相對于直線邊界)所造成的多項式精度階次降低,數(shù)值積分精度難以把握等,也會被帶入等幾何分析方法［4］；筆者認為該方法最主要的問題是,“等幾何”將物理場的復雜性和幾何描述的復雜性等同起來,然而實際情況是,幾何描述簡單或復雜并不意味著物理場也同樣簡單或復雜,因此在計算效率方面值得討論；同時,等幾何分析中的NURBS基函數(shù)及其導數(shù)的計算遠比有限元法復雜［4］。

本文基于數(shù)值流形方法,提出CAD與CAE融合的另一種新思路:根據(jù)該方法“構造近似函數(shù)的數(shù)學網(wǎng)格與描述求解域的幾何模型相互獨立”的特點,只需引入自動且快速的切割操作,就能實現(xiàn)CAD幾何模型無需修改而直接進行CAE建模,其中,采用曲線幾何邊界與直線網(wǎng)格邊界的切割,實現(xiàn)CAE建模和網(wǎng)格細化的保形性；針對多項式級數(shù)的近似函數(shù),采用單純形（包括具有曲線邊界的“近似”單純形)積分法進行剛度矩陣和荷載向量各項中的被積函數(shù)的解析積分；最終目標是采用自動化的前處理并根據(jù)誤差估計來控制計算精度,實現(xiàn)CAD進入CAE后的自動化分析,即CAD和CAE的完全融合。

2 數(shù)值流形方法與CAD幾何

1991年,石根華博士首次將現(xiàn)代數(shù)學“流形”思想引入工程計算,發(fā)明了數(shù)值流形方法［5-6］（以下簡稱流形法),其中很關鍵的一點是:與有限元法將求解域離散成網(wǎng)格的方式不同,流形法構造物理場近似解的所謂“數(shù)學網(wǎng)格”與實際求解域分離（求解域只用于定義積分區(qū)域),要求數(shù)學網(wǎng)格在空間上完全覆蓋求解域。如圖1所示,圖中著色的橢圓形求解域被矩形數(shù)學網(wǎng)格完全覆蓋。

對應于數(shù)學流形中的“覆蓋”,數(shù)學網(wǎng)格又被稱為數(shù)學覆蓋。數(shù)值計算中,在各覆蓋上定義覆蓋函數(shù)Vi,通過單位分解函數(shù)φi聯(lián)系起來形成整體近似函數(shù)（n為覆蓋數(shù))。覆蓋函數(shù)Vi常用多項式級數(shù)。

圖1 矩形數(shù)學覆蓋與求解域示意圖Fig.1 Schematic diagrams of rectangular mathematical covers and solving domain

從數(shù)學網(wǎng)格（數(shù)學覆蓋)的形式上看,流形法的研究分為2大類:

（1)傳統(tǒng)流形法的數(shù)學網(wǎng)格大都采用有限元網(wǎng)格［7］,如圖1（a)所示的矩形網(wǎng)格,這種覆蓋形式稱為完全重疊的數(shù)學覆蓋［8］。在有限元結點上定義級數(shù)作為覆蓋函數(shù),單位分解函數(shù)就是有限單元的形函數(shù)。其網(wǎng)格細化仍要采用有限元網(wǎng)格的加密方式。

（2)非有限元的數(shù)學網(wǎng)格,目前主要是文獻［8］提出的部分重疊覆蓋的數(shù)學網(wǎng)格,引入了“獨立覆蓋”,即單位分解函數(shù)φi＝1、近似函數(shù)V就是給定級數(shù)Vi的覆蓋區(qū)域。如圖1（b)所示,圖中的大矩形就是獨立覆蓋,各覆蓋僅在條形區(qū)域重疊。建議條形厚度取較小值,其單位分解函數(shù)φi取為有限單元形函數(shù)（如2個覆蓋之間的條形為一維線性函數(shù))實現(xiàn)覆蓋之間的線性過渡。該方法又被稱為基于獨立覆蓋的數(shù)值流形方法［9］,其一大優(yōu)勢是覆蓋加密方便,如圖2所示,在大的矩形覆蓋中劃分小覆蓋,可保證近似函數(shù)的協(xié)調性,已被證明能有效提高精度［10］。

圖2 矩形獨立覆蓋的加密Fig.2 Refinement of rectangular independent covers

有別于等幾何分析法的CAE“等幾何”特性,流形法具有CAE數(shù)學網(wǎng)格與CAD幾何模型的相互獨立性,根據(jù)CAE真實物理場分布的復雜程度來布置數(shù)學網(wǎng)格和設置近似函數(shù)階次,這種分析方式更為合理。但等幾何分析法可以直接利用CAD實體幾何模型的網(wǎng)格作為CAE分析模型的網(wǎng)格,而流形法要單獨生成數(shù)學網(wǎng)格,通常采用如圖1所示的簡單且可自動生成的數(shù)學網(wǎng)格,需要付出數(shù)學網(wǎng)格與幾何邊界進行切割的代價。考慮到這種切割操作只涉及簡單的幾何運算,能夠自動且快速地完成,因此流形法的前處理同樣比有限元法簡單得多,可做到完全的自動化。

如圖1所示,經(jīng)過切割操作后,在數(shù)學網(wǎng)格內有可能形成不能占滿整個網(wǎng)格的物理區(qū)域（數(shù)學網(wǎng)格內的物理區(qū)域稱為流形元),以圖1中的矩形網(wǎng)格c為例,如圖3所示,由頂點P1,P2,P3,P4,P5,P6,P7所組成的流形元具有不規(guī)則的形狀,其中P1至P5是由離散的折線來近似邊界曲線。對于任意形狀的流形元,當近似函數(shù)為多項式級數(shù)時,通常采用單純形積分公式［6］進行解析積分。如圖3所示,將相鄰頂點構成的線段依次與某一外點P0（通常取為坐標原點)相連形成一個有向單純形,可取逆時針頂點順序為正向,如P2,P1,P0等為正向,而P7,P6,P0和P1,P7,P0為負向。這樣,對于剛度矩陣和荷載向量各項中的被積函數(shù)經(jīng)整理后［11］形成的各單項式xm1ym2（m1, m2為正整數(shù)),在各單純形中可得到精確的積分,考慮積分區(qū)域的正、負向后,累加得到整個流形元上的精確積分。

圖3 單純形積分示意圖Fig.3 Schematic diagram of simplex integration

當CAD幾何模型進入CAE后,無需像有限元法那樣進行“去倒角”等細節(jié)修補工作,因為倒角是幾何邊界的一部分,它與CAE數(shù)學網(wǎng)格沒有關系,可以保留作為網(wǎng)格內的流形元邊界的一部分。

圖4 CAD曲線邊界的線段化Fig.4 Process of changing CAD curve boundaries to line segments

與等幾何分析方法相比,現(xiàn)有的流形法仍然需要將曲線邊界線性化（線段化),如圖4所示。這會帶來幾個不利影響:首先,在CAE分析中會造成幾何模型誤差,且網(wǎng)格細分時面對的是已經(jīng)線性化的幾何邊界；其次,在CAE分析前就要預估線性化的程度（如將曲線劃分為多少直線段),這需要分析人員具有一定的經(jīng)驗；同時,對于每條線段都要進行一次單純形積分,若為減小幾何誤差而劃分較多線段,可能會影響計算效率,特別是對于小的圓形倒角情況。以上問題造成了流形法在CAD和CAE系統(tǒng)之間的不匹配。

因此,本文除了以上的論述——分析流形法在CAD和CAE融合中的特色外,下面的主要工作就是要做到保形性,即在分析模型構造和網(wǎng)格細化以及計算分析過程中保持原有的幾何形狀。本文以平面計算為例,僅需兩項工作:曲線幾何邊界與直線網(wǎng)格邊界的切割；曲線邊界“近似”單純形的解析積分。

3 曲線幾何邊界與直線網(wǎng)格邊界的切割

數(shù)學網(wǎng)格和幾何模型邊界的切割操作,只涉及簡單幾何運算。目前的流形法基于直線段的切割,已有成熟算法和程序,主要過程如下［6］:①將數(shù)學網(wǎng)格和幾何邊界線段化,每個數(shù)學網(wǎng)格的邊和每條描述邊界的折線都各自作為一條線段；②所有線段之間相互切割；③根據(jù)每條線段上記錄的交點位置順序及每個交點對應的線段序號,按照一定規(guī)則確定環(huán)路,同時刪除不能形成環(huán)路的“樹枝”,在求解域內的每個環(huán)路就是一個流形元；④根據(jù)流形元的形心判斷它屬于哪個數(shù)學網(wǎng)格。

圖5 坐標轉換Fig.5 Coordinate transformation

本文中,過程①的曲線幾何邊界無需變成折線,直接進入過程②與直線網(wǎng)格邊界進行切割。切割算法如下:如圖5所示,設曲線n可表示為

求其函數(shù)與直線段A （xa,ya)—B（xb,yb)的交點。

將整體坐標系轉換到以A（xa,ya)為原點、AB方向為xt軸的局部坐標系（xt,yt)

式中θ為AB線段與整體坐標x軸的夾角。則式（1)為

設局部坐標下的交點為（xt,0) ,令xm＝xtcosθ＋xa,則式（3)為

利用二分法求得xm的值,即可求出xt,再利用式（2)得到整體坐標系下的交點坐標（x,y)。在多個交點情況下可參考文獻［12］進行求解。

對于圓、橢圓曲線,雖然整體上不能簡單表示成式（1)的函數(shù)形式,但可以用分段函數(shù)表示?；蛘卟捎闷渌绞?如圖6所示的以O為圓點的圓弧與直線MN相交,記交點為J（x,y) ,則OM大于半徑,ON小于半徑,按二分法迭代求解,當OJ等于半徑時即為交點。

可見,曲線與直線求交方式多樣化,是由曲線種類的多樣性決定的。在CAD中,可將一些復雜曲線統(tǒng)一由NURBS表示,而NURBS與直線求交的算法已很成熟,限于篇幅不再詳述。

圖6 圓弧與直線段相交Fig.6 A circle arc intersected by a line segment

當然,曲線與直線求交的運算量要遠大于直線之間求交的運算量,因此為提高效率,事先要排除無關的直線段,如圖7（a)所示的曲線n ,采用包圍盒子法［13］排除盒子（圖中虛線)外的無關線段,再區(qū)分圖7（b)的幾種直線情況:首先按函數(shù)值排除法,如直線段5和6的首尾端點的函數(shù)值均在曲線上方或下方；然后,直線段2和3的某一端點在曲線上,則交點為其端點；豎直的線段4,將x坐標代入曲線方程即可求得y坐標；最后才用圖5所示的坐標轉換及二分法處理直線段1。

圖7 包圍盒子法及交點的多種情況Fig.7 Bounding box method and some circumstances of intersection points

4 曲線邊界“近似”單純形的解析積分

仍以圖1中的矩形網(wǎng)格c為例,與圖3中將流形元曲線邊界轉化為多條折線的方式不同,如圖8（a)所示,P1到P5仍用原始曲線表示,將其與P0相連,構成一條邊為曲線的“近似”單純形,如圖8 （b)所示,其解析積分分為2部分:一部分是直線邊的單純形,按常規(guī)單純形公式［14］計算；另一部分是P1PkP5,其積分下限為P1到P5的直線,積分上限為P1到P5的曲線。以下討論后一部分。

圖8 含一條曲線邊的“近似”單純形Fig.8 An approximate simplex containing a curved edge

設作為積分上限的曲線表述為多項式函數(shù)

m為多項式的最高階次,不能寫成函數(shù)形式時可分段表示為函數(shù)。作為積分下限的直線為

其中, ai, bi為已知系數(shù)。曲線兩端點為（x1,y1)、（x2,y2) ,被積函數(shù)f（x,y)為xm1ym2,則

記:L＝1/（m2＋1)；Am＝[a0a1…am]T；Xm＝[x0x1…xm]T；B＝[b0b1]T；m＝m＋1,化簡

102為

關鍵是求出下式的精確解,

展開式中仍有同類項需要合并,若各項的冪次0·N0＋1·N1＋2·N2…＋m·Nm相等,則標記為同類項,合并后一共有m·m0＋1項,記各項系數(shù)為Kj（j是從0至m·m0＋1遞增的整數(shù)),則式（9)可寫為

可見,隨j增大的各項按照x的冪差為1的次序遞增,為編程提供了良好的遞推規(guī)律,即后項比前項多乘一個x1和x2。

上述方法理論上對于積分上限為任意多項式的曲線均可以計算,但如果描述曲線的多項式階數(shù)過高,則計算量較大,且容易引入數(shù)值誤差?？紤]到一般計算中的數(shù)學網(wǎng)格不至于很大,網(wǎng)格內的曲線也不會過于復雜,2階或3階多項式就可以很好地描述,因此,建議首先用2階或3階多項式逼近網(wǎng)格內的復雜曲線（可以是任意表達式,如NURBS,還包括高于3階的多項式),再利用上述公式進行解析積分。

對于曲線邊界l上的分布力荷載,設分布力p＝[Px,Py]T,其荷載向量中的被積函數(shù)也分解成單項式xm1ym2的形式［11］?？紤]l為二次曲線y＝∑i＝20aixi,導數(shù)為y′＝a1＋2a2x。若計算的正壓力荷載為線性分布P＝c0＋c1x＋c2y ,則Px＝Pcosθ,Py＝Psinθ（θ為曲線上某點的法線與坐標x軸的夾角),

其最終仍可歸結為求式（9)中R的解析積分。

5 算 例

中部開小圓孔（半徑為1 m)的矩形板在上、下兩端受均布拉力p＝10 kN/ m2,基于對稱性,采用如圖9（a)所示的1/4計算模型,左邊和底部用積分形式的罰函數(shù)法施加法向約束。計算圓孔中部邊界點的應力集中系數(shù),理論值是3。

采用如圖1（b)所示的基于矩形獨立覆蓋的新型流形法,充分利用其覆蓋網(wǎng)格自動生成、h型覆蓋加密以及p型升階方便的優(yōu)勢,在誤差指標控制下嘗試h-p型混合自適應,初步實現(xiàn)了CAE自動化分析:結構外形（含曲線邊界)由CAD輸入,人工只需輸入材料參數(shù)和邊界條件,其它所有工作完全交由計算機完成（另文介紹)。

最終的流形元網(wǎng)格如圖9（a)所示,圓孔周邊局部在圖9（b)中放大,1/4圓弧被矩形網(wǎng)格分為5段,分別位于3個獨立覆蓋及2個條形內。在包含上述曲線邊界的流形元的積分運算中,取每段圓弧中點及2個端點的坐標為插值點,采用2階多項式逼近圓弧邊界。計算程序自動設置獨立覆蓋的多項式階次:大多數(shù)為2階,只在圓孔周邊的少數(shù)幾個覆蓋用到3至4階多項式。自由度總數(shù)為462。

圖9 圓孔算例的1/4計算模型Fig.9 1/4 model of a rectangular plate with a small circular hole

圖10 垂直向應力與理論值的對比Fig.10 Comparison between calculated data and analytical data of vertical stress

計算得到的底部一條線上的垂直向應力σy見圖10（標注“曲線邊界”),可見與理論解［16］很好地符合。其中圓孔邊界點的σy為30.16 kN/ m2,應力集中系數(shù)約為3.02,與理論值非常接近,自由表面應力σx和τxy分別為0.09 kN/ m2和0.05 kN/ m2,與理論上的零應力也非常接近。

另外按傳統(tǒng)方法,1/4圓弧用10段折線離散,其他條件不變。計算得到圓孔邊界點的σy為29.66 kN/ m2,應力集中系數(shù)約為2.97。底部一條線上的垂直向應力σy如圖10所示（標注“折線邊界”),雖然也與理論解較吻合,但不如曲線邊界的計算精度高,不難看出幾何誤差帶來的影響。

6 結 語

本文提出基于CAD幾何的數(shù)值流形方法,與等幾何分析方法相比具有以下特點:采用工業(yè)界通用的以邊界數(shù)據(jù)表示的CAD幾何模型；在CAE建模和網(wǎng)格細化中同樣具有幾何模型的保形性,避免了幾何誤差；針對流形法通常使用的多項式近似函數(shù)（其計算過程比等幾何分析中的NURBS基函數(shù)要簡單),采用單純形精確積分法實現(xiàn)任意形狀流形元的解析積分,沒有等幾何分析方法的“等參”方式所帶來的諸多問題。

在等幾何分析方法中,CAD實體模型與CAE分析模型相同?？紤]到幾何描述的復雜性并不等同于物理場的復雜性,本文方法根據(jù)真實物理場分布的復雜程度來布置數(shù)學網(wǎng)格和設置近似函數(shù)階次,似更為合理。而且只需采用自動且快速的切割操作,也能實現(xiàn)CAD模型無需修改而直接在CAE中建模,甚至完全自動化的前處理。配合使用基于獨立覆蓋的新型流形法,網(wǎng)格加密很方便,對復雜求解域的適應性更強。只是本文方法的近似函數(shù)不具備等幾何分析方法的高階連續(xù)性。

因此,本文方法為CAD與CAE融合提供了全新的思路,最終能夠實現(xiàn)CAD進入CAE后的自動化分析（另文介紹),即CAD和CAE的完全融合。當然,本文僅對二維問題開展了初步研究,提出的切割算法、“近似”單純形積分算法只為說明方法的基本學術思想,算法的適用性及效率等問題還有待進一步研究。在算例中雖然采用了基于獨立覆蓋的新型流形法,但本文方法也適用于采用有限元數(shù)學網(wǎng)格的傳統(tǒng)流形法。將來擴展到三維研究,涉及曲面幾何邊界與平面網(wǎng)格邊界的切割和曲面“近似”單純形的解析積分,本文的思路同樣適用。

致謝：部分重疊覆蓋的思想來自于石根華博士，筆者的研究一直受到石根華博士的指導，文中有關常規(guī)單純形積分的部分內容采用了長江科學院林紹忠教授的研究成果，在此表示由衷的感謝。

參考文獻：

［1］ 百度百科.CAE［EB/ OL］.（2015-06-11)［2015-07-10］. http:/ / baike.baidu.com/ view/112169.htm.

［2］ HUGHES T J R,COTTRELL J A,BAZILEVS Y. Isogeometric Analysis: CAD, Finite Elements, NURBS, Exact Geometry and Mesh Refinement［J］. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering,2005,194:39-41.

［3］ 吳紫俊,黃正東,左兵權,等.等幾何分析研究概述［J］.機械工程學報,2015,51（5):114-129.

［4］ 夏 陽.假設位移協(xié)調有限元及其在精確幾何分析中的應用［D］.大連:大連理工大學,2013.

［5］ SHI G H. Manifold Method of Material Analysis［C］/ / U. S. Army Research Office. Transactions of the Ninth Army Conference on Applied Mathematics and Computing, Minneapolis, Minnesota, U S A, June 18-21,1991:57-76.

［6］ 石根華.數(shù)值流形方法與非連續(xù)變形分析［M］.裴覺民譯.北京:清華大學出版社,1997.

［7］ 張湘?zhèn)?章爭榮,呂文閣,等.數(shù)值流形方法研究及應用進展［J］.力學進展, 2010, 40（1): 1-12 .

［8］ 祁勇峰,蘇海東,崔建華.部分重疊覆蓋的數(shù)值流形方法初步研究［J］.長江科學院院報, 2013,30（1):65-70 .

［9］ 蘇海東,頡志強,龔亞琦,等.基于獨立覆蓋的流形法的收斂性及覆蓋網(wǎng)格特性［J］.長江科學院院報, 2016,33（2):131-136.

［10］蘇海東,祁勇峰.部分重疊覆蓋流形法的覆蓋加密方法［J］.長江科學院院報, 2013, 30（7):95-100.

［11］林紹忠,祁勇峰,蘇海東.基于矩陣特殊運算的高階流形單元分析［J］.長江科學院院報, 2006,23（3):36-39.

［12］林 永,陳 浩.用二分法求解一元實系數(shù)多項式方程的全部實根［J］.大學數(shù)學,2008,24（4):89-91 .

［13］孫家廣,楊長貴.計算機圖形學［M］.北京:清華大學出版社,1995.

［14］林紹忠.單純形積分的遞推公式［J］.長江科學院院報, 2005,22（3):32-34.

［15］蘇方方.動態(tài)規(guī)劃算法計算組合數(shù)Cmn［J］.現(xiàn)代計算機,2011,（10):35-37.

［16］徐芝綸.彈性力學（第2版)［M］.北京:人民教育出版社,1982.

（編輯:劉運飛)

Preliminary Study of Numerical Manifold Method Based on CAD Geometry

CHEN Ji-zhan1,2,SU Hai-dong1,2,QI Yong-feng1,2
（1. Research Center on Water Engineering Safety and Disease Control Engineering Technology under Ministry of Water Resources, Yangtze River Scientific Research Institute, Wuhan 430010, China；2. Material and Engineering Structure Department, Yangtze River Scientific Research Institute, Wuhan 430010, China)

Abstract:The iterative process of design-analysis-redesign implies urgent requests of the integration of computer aided design（CAD) and computer aided engineering（CAE). In this paper, we present a numerical manifold method（NMM) based on CAD geometry: we can arrange mathematical meshes and set order of approximation functions according to the complexity degree of physical field distribution in CAE, which is more reasonable than isogeometric analysis（IGA) method. Through introducing automatic and fast cutting operations, we can realize direct modeling from CAD model to CAE model without modifications. Moreover, to solve the problem that curves on geometric boundaries are required to be discretized into line segments in present NMM, we put forward algorithms to cut the curves of geometric boundary with the lines of mesh boundary, hence preserving the shape of the geometric model in the procedures of CAE modeling and mesh refinement. Furthermore, as for the polynomial approximation functions usually used in NMM, we deduce analytical integral formula of“approximate”simplex with a curved edge and use it to obtain precise integral calculations of manifold elements with curved boundaries. Finally, we verify the feasibility of the method through an example of a circular hole in a plate. The research offers new thinking for the integration of CAD and CAE, and lays foundation for the automatic analysis from CAD models to CAE.

Key words:numerical manifold method（NMM)；isogeometric analysis（IGA)；CAD geometry；cutting of curves and lines；simplex integration；CAD/ CAE cooperativity

通訊作者：蘇海東（1968-),男,湖北武漢人,教授級高級工程師,博士,從事水工結構數(shù)值分析工作和計算方法研究,（電話)027-82927167（電子信箱)suhd@ mail.crsri.cn。

作者簡介：陳積瞻（1990-),男,海南樂東人,碩士研究生,從事水工結構數(shù)值分析工作和計算方法研究,（電話)18827620840（電子信箱)xincunyihaoqiao@163.com。

基金項目：國家自然科學基金項目（51409012)；中央級公益性科研院所基本科研業(yè)務費項目（CKSF2014054/ CL)

收稿日期：2015-07-16;修回日期：2015-09-11

doi:10.11988/ ckyyb.20150599

中圖分類號：TB115;TV311

文獻標志碼：A

文章編號：1001-5485(2016)02-0137-07