張丹丹

(中北大學(xué) 信息探測與處理技術(shù)研究所,山西 太原 030051)

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基于Split-Bregman方法的稀疏角度CT重建算法研究

張丹丹

(中北大學(xué) 信息探測與處理技術(shù)研究所,山西 太原 030051)

摘要：離散梯度變換已被廣泛地用作稀疏算子，相應(yīng)的全變差(TV)最小化方法也被用于基于壓縮感知(CS)的CT重建中.與此同時(shí)Split-Bregman算法在求解L1正則化問題方面引起了很大關(guān)注，此方法對原來的L1正則化問題引入一個(gè)分裂變量后利用Bregman迭代求解.本文將Split-Bregman方法用于稀疏角度CT重建，并與傳統(tǒng)的SART和基于SART的軟閾值算法(STF-SART)進(jìn)行比較，最后用Head模型作為測試模型進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：對于稀疏角度CT重建問題，TV正則化(STF-SART和Split- Bregman)算法明顯優(yōu)于傳統(tǒng)的SART算法，且Split-Bregman算法在收斂速度和重建圖像質(zhì)量方面又優(yōu)于STF-SART算法.

關(guān)鍵詞：離散梯度變化；壓縮感知；稀疏角度CT；TV最小化；Split-Bregman算法

0引言

在醫(yī)學(xué)CT掃描過程中，過量的X射線照射會對接受掃描的患者造成一定的危害性，故需要在保證成像質(zhì)量的前提下盡可能降低X射線的輻射劑量.稀疏角度CT是降低X射線輻射劑量的一種有效手段，該方法在CT掃描過程中將只針對均勻分布的稀疏角度進(jìn)行投影采樣[1].但少量的投影數(shù)據(jù)并不滿足奈奎斯特采樣定率，若采用傳統(tǒng)的重建算法，往往得不到高質(zhì)量的圖像[1-3].

隨著壓縮感知(CS)理論的發(fā)展稀疏角度CT重建問題有了很大進(jìn)展.該理論表明若原始信號或圖像在適當(dāng)?shù)淖儞Q域內(nèi)具有稀疏表示，則可由少量投影重建圖像[4].離散梯度變換(DGT)是最為常用的稀疏算子之一，其L1范數(shù)被稱為TV，相應(yīng)的TV最小化方法也被用于基于CS的CT重建中，包括稀疏角度重建[5].該問題的關(guān)鍵是如何在投影數(shù)據(jù)的約束下最小化TV.

2009年，Yu等人使用梯度下降法進(jìn)行TV最小化，具體做法是先用經(jīng)典算法對圖像進(jìn)行更新，然后用梯度下降法調(diào)整TV以實(shí)現(xiàn)TV最小化[6].2010年，Yu和Wang應(yīng)用軟閾值濾波框架，通過構(gòu)建DGT的偽逆變換將軟閾值濾波算法用于實(shí)現(xiàn)TV的最小化[5,7].與此同時(shí)，Split- Bregman算法在求解L1正則化問題方面引起了很大關(guān)注.此方法對原來的L1正則化問題引入一個(gè)分裂變量后利用Bregman迭代求解.它將目標(biāo)函數(shù)的L1和L2范數(shù)部分“分裂”為多個(gè)子問題，該算法的有效性主要依賴于子問題的合理求解[8-9].本文基于TV最小化將Split-Bregman算法用于稀疏角度CT圖像重建.

2基于TV最小化的CT重建模型

在醫(yī)學(xué)成像領(lǐng)域，DGT已被廣泛用作稀疏算子.一個(gè)二維圖像f=(fi,j)I×J的DGT定義為：

(1)

相應(yīng)的TV定義為：

(2)

基于TV最小化的CT圖像重建問題可以表示為：

min‖f‖TV，s.t. ‖Af-Y‖≤ε

(3)

其中A是投影矩陣，Y是投影數(shù)據(jù)，ε是測量誤差.

通過引入懲罰項(xiàng)，問題(3)可轉(zhuǎn)換為無約束凸最小化問題：

(4)

其中μ是懲罰參數(shù).

該問題的求解通?？煞謨刹剑旱谝徊接媒?jīng)典迭代算法(如SART)進(jìn)行重建：

(5)

其中f=(fj)J′1∈J是二維圖像f=(fi,j)I×J的另一種表示形式，是迭代次數(shù)，0<λk<2是一個(gè)自由松弛因子；第二步在迭代框架下最小化圖像的TV.

3Split-Bregman算法

式(4)表示的CT重建問題的Split-Bregman算法的主要步驟可以概括如下.首先引入兩個(gè)新的變量將式(4)轉(zhuǎn)換為：

(6)

然后引入懲罰項(xiàng)，將(6)轉(zhuǎn)換為：

(7)

(7)可由Bregman迭代求解：

(8)

(9)

(10)

(8)可由交替方向乘子法(ADMM)交替迭代更新f和d：

第一步可使用各種優(yōu)化方法，考慮到CT重建矩陣A的特殊性，用最速下降法解決[10]：

fk+1=fk-αkgk

(11)

(12)

第二步可通過廣義收縮公式求解：

(13)

(14)

基于Split-Bregman算法的CT重建的具體流程為：

S2：使用(11)執(zhí)行梯度下降法；

S3：計(jì)算中間變量dx，dy，bx，by；

S4：轉(zhuǎn)到S2，直到滿足停止標(biāo)準(zhǔn).

3實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)及結(jié)果分析

實(shí)驗(yàn)選取Head模型進(jìn)行試驗(yàn)，模型的大小為256×256，掃描方式為圓軌跡扇束掃描，掃描半徑為500 mm，探測器包含320個(gè)探元，扇角為0.49弧度.實(shí)驗(yàn)對Head模型在[0,2π)范圍內(nèi)均勻采集90個(gè)角度下的投影數(shù)據(jù)，使用Split-Bregman算法進(jìn)行重建，并與傳統(tǒng)的SART算法和STF-SART進(jìn)行比較，迭代200次的重建結(jié)果如圖1所示.為了進(jìn)一步驗(yàn)證三種算法對噪聲數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性，對投影數(shù)據(jù)加入N(0，0.022)信噪比為38.2 dB的高斯噪聲，重建結(jié)果如圖2所示.另外為了定量地評估三種算法的性能，采用均方誤差(MSE)和結(jié)構(gòu)相似性(SSIM)作為評判標(biāo)準(zhǔn)，結(jié)果如表1所示.可以看出，對于稀疏角度CT重建，傳統(tǒng)的SART算法重建的圖像出現(xiàn)過平滑現(xiàn)象，TV正則化(STF-SART和Split- Bregman)算法重建圖像的質(zhì)量明顯優(yōu)于傳統(tǒng)的SART算法，且Split-Bregman在收斂速度和重建圖像的質(zhì)量方面又優(yōu)于STF-SART.這一結(jié)論同樣適用于噪聲投影數(shù)據(jù)的情況.

圖1　三種算法對無噪聲投影迭代200次的重建結(jié)果

圖2　三種算法對噪聲投影迭代200次的重建結(jié)果

算法SARTSTF-SARTSplit-BregmannSART-噪聲STF-SART-噪聲Split-Bregman-噪聲MSE0.16480.15520.11200.19020.18560.1255SSIM0.49660.53450.67150.46360.49340.6103

4結(jié)論

針對稀疏角度CT重建問題研究了Split-Bregman算法在TV最小化方面的應(yīng)用，并通過仿真實(shí)驗(yàn)與SART和STF-SART進(jìn)行了比較.實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，對于稀疏角度CT重建，TV正則化(STF和Split-Bregman)算法明顯優(yōu)于傳統(tǒng)的SART算法，且Split-Bregman算法在收斂速度和重建圖像質(zhì)量方面又優(yōu)于STF-SART算法.后續(xù)研究工作將基于GPU或者使用有序子集方法等對Split- Bregman算法進(jìn)行加速.

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[責(zé)任編輯：王軍]

Study on Split-Bregman algorithm for sparse-view CT reconstruction

ZHANG Dandan

(Institute of Signal Capturing Processing Technology, North University of China,Taiyuan 030051, China)

Abstract:The TV minimize technique which corresponds to Discrete Gradient transform is widely used in the CT reconstruction basing on CS, including sparse-view reconstruction based on compressed sensing(CS).Meanwhile, Split-Bregman algorithm has caused great concern in solving L1regularization issues, this method first introduces a split variation to the original regularized problem and then use Bregman iterative solve it.In this paper, we apply the Split-Bregman approach to reconstruct an ROI for the CS-based sparse-view CT reconstruction, and combined with the traditional SART algorithms and soft thresholding algorithm based on SART (STF-SART) .Finally Head model is applied as a test model to the simulation experiment，and the results shows that: for sparse-view CT reconstruction , TV regularization (STF-SART and Split- Bregman) algorithms outperform conventional SART algorithm, and Split-Bregman algorithm is superior to STF-SART algorithmsn terms of convergence speed and reconstructed image quality.

Key words:gradient descent algorithm; compressive sensing; sparse-view CT; TV minimization; Split-Bregman algorithm

中圖分類號：TP391.41

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

文章編號：1672-3600(2016)03-0013-04

作者簡介:張丹丹(1991-)，女，山西臨縣人，中北大學(xué)理學(xué)院碩士研究生，主要從事圖像重建研究.

收稿日期：2015-10-20