鄭世旺

(商丘師范學(xué)院　物理與電氣信息學(xué)院，河南　商丘 476000)

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完整系統(tǒng)Tzénoff方程Mei對稱性的共形不變性與守恒量

鄭世旺

(商丘師范學(xué)院物理與電氣信息學(xué)院，河南商丘 476000)

摘要：研究了完整力學(xué)系統(tǒng)Tzénoff方程Mei對稱性的共形不變性及其守恒量，首先建立了完整系統(tǒng)的Tzénoff方程，給出了完整系統(tǒng)Tzénoff方程的Mei 對稱性及其共形不變性的確定方程，得到了這種共形不變性產(chǎn)生守恒量的條件和導(dǎo)出守恒量的函數(shù)式，最后給出一個應(yīng)用實(shí)例.

關(guān)鍵詞：完整力學(xué)系統(tǒng)；Tzénoff方程；Mei對稱性；共形不變性

0引言

對稱性原理是物理學(xué)中的一種高層次法則，動力學(xué)系統(tǒng)中的守恒量能揭示深刻的物理現(xiàn)象,如動量守恒律、動量矩守恒律、能量守恒律及其它物理量的守恒規(guī)律.1918年德國女科學(xué)家A.E.Noether首次發(fā)現(xiàn)，對稱性與守恒量之間有對應(yīng)關(guān)系[1]，這就為尋找實(shí)際力學(xué)系統(tǒng)的守恒律提供了方法和途徑.本世紀(jì)初以來,我國學(xué)者在Noether對稱性、Lie 對稱性、Mei對稱性及其守恒量方面進(jìn)行了大量研究,取得了一系列重要成果[2-12].1997年,俄羅斯學(xué)者Galiullin等在研究Birkhoff 系統(tǒng)動力學(xué)時首次提出了Birkhoff方程的共形不變性和共形因子的概念, 并討論了Pfaff 作用量在無限小變換下的不變性與共形不變性及Lie 對稱性與共形不變性之間的關(guān)系[13].共形不變性及其守恒量的研究較為復(fù)雜，我國學(xué)者關(guān)于約束系統(tǒng)共形不變性的研究起步較晚，蔡建樂和梅鳳翔教授在2008年研究了Lagrange 系統(tǒng)Lie點(diǎn)變換下的共形不變性與守恒量[14]，從此推動了共形不變性及其守恒量的研究, 現(xiàn)在共形不變性的研究已擴(kuò)展到Hamilton系統(tǒng)、相對運(yùn)動系統(tǒng)、機(jī)電力學(xué)系統(tǒng)、變質(zhì)量力學(xué)系統(tǒng)等動力學(xué)系統(tǒng)[15-20].1953年保加利亞科學(xué)院院士Tzénoff構(gòu)造了經(jīng)典力學(xué)系統(tǒng)的一種新型動力學(xué)函數(shù)稱為Tzénoff函數(shù)，他建立了一類新型運(yùn)動微分方程被稱為Tzénoff方程，與其它動力學(xué)方程如Lagrange方程、Nielsen方程、Appell方程相比較，Tzénoff方程至今仍為最簡捷的動力學(xué)微分方程．在1985到1987年期間，我國學(xué)者梅鳳翔、程丁龍等把Tzénoff方程推廣到了可控力學(xué)系統(tǒng)[21]、變質(zhì)量系統(tǒng)[22].近年來Tzénoff方程的對稱性與守恒量的研究也取得了一些成果[23-29],但關(guān)于Tzénoff方程的共形不變性與守恒量的研究才剛剛起步,目前已成功研究了完整系統(tǒng)Tzénoff方程Lie對稱性的共形不變性與守恒量[30].

本文研究了完整系統(tǒng)Tzénoff方程Mei對稱性的共形不變性與其守恒量.首先建立完整系統(tǒng)的Tzé-noff方程,定義了完整系統(tǒng)Tzénoff方程Mei對稱性的共形不變性, 給出了直接用Tzénoff函數(shù)來表達(dá)的Mei對稱性共形不變性的確定方程和其導(dǎo)出的相應(yīng)守恒量, 最后,通過一個簡例說明本文結(jié)果的應(yīng)用.

1完整系統(tǒng)的Tzénoff方程

設(shè)力學(xué)系統(tǒng)的位形由n個廣義坐標(biāo)qs(s=1,…,n)來確定，質(zhì)點(diǎn)的矢徑ri=ri(t,qs),系統(tǒng)的Tzé-noff函數(shù)為

(1)

由于

(2)

(3)

展開(3)式可得到廣義加速度

(4)

有

對(4)式求導(dǎo)可得廣義加加速度

(5)

2完整系統(tǒng)Tzénoff方程Mei對稱性的共形不變性

取時間和坐標(biāo)的群的無限小變換

(6)

或其展開式

(7)

其中ε是一無限小參數(shù)，ξ0,ξs為無限小生成元.于是有

(8)

(8)式中

因?yàn)橛米儞Q后的動力學(xué)函數(shù)代替變換前的動力學(xué)函數(shù)，運(yùn)動微分方程的形式仍保持不變的一種對稱性稱為Mei對稱性[3]，故可得到完整系統(tǒng)Tzénoff方程Mei對稱性的定義和判據(jù)分別為

定義1如果用變換后的Tzénoff函數(shù)K*代替變換前的函數(shù)K時，方程(3)的形式保持不變，那么這種不變性稱為Tzénoff方程的Mei對稱性.

把(8)式代入Tzénoff方程(3)可得到

判據(jù)若完整力學(xué)系統(tǒng)的Tzénoff函數(shù)K，在無限小生成元ξ0,ξs變換下滿足方程

(9)

則Tzénoff方程具有Mei對稱性.

(10)

(11)

(12)

反之, 若Tzénoff方程(3)具有共形不變性,(10)式和(11)式相減得

(13)

3Tzénoff方程Mei對稱性的共形不變性所導(dǎo)出的守恒量

完整系統(tǒng)Tzénoff方程Mei對稱性的共形不變性在一定條件下也可導(dǎo)出相應(yīng)的守恒量.

定理2對于完整力學(xué)系統(tǒng)Tzénoff方程Mei對稱性的共形不變性的生成元ξ0,ξs，如果能找到規(guī)范函數(shù)G滿足如下結(jié)構(gòu)方程

(14)

則Tzénoff方程的Mei對稱性的共形不變性將直接導(dǎo)出守恒量

(15)

(14)式中

證明 對(14)式求導(dǎo)并考慮到完整系統(tǒng)Tzénoff方程(3)及其Mei對稱性的共形不變性的判據(jù)方程(10)成立，有

證畢.

4應(yīng)用例子

已知完整力學(xué)系統(tǒng)的Tzénoff函數(shù)為

(16)

試研究該力學(xué)系統(tǒng)Mei對稱性的共形不變性和其導(dǎo)出的守恒量.

解把Tzénoff函數(shù)(16)代入完整力學(xué)系統(tǒng)的Tzénoff方程(3),得

(17)

即

(18)

所以有

(19)

取ξ0=0,ξ1=q1,ξ2=q2, 則

(20)

有

(21)

所以,Mei對稱性共形不變性的判據(jù)方程(10)成立, 系統(tǒng)具有Mei對稱性的共形不變性,其共形因子

(22)

由 (17)式的關(guān)系,有

(23)

故Mei對稱性判據(jù)方程(9)成立,系統(tǒng)同時也具有Mei對稱性.由(18)式的關(guān)系，(20)式可變?yōu)?/p>

(24)

把(24)式代入結(jié)構(gòu)方程(14)并考慮(19)式的關(guān)系,可得

(25)

將(25)代入(15)式可得守恒量

5結(jié)語

本文研究了完整系統(tǒng)Tzénoff方程Mei對稱性的共形不變性及其守恒量.通過建立完整系統(tǒng)的Tzé-noff方程,定義了完整系統(tǒng)Tzénoff方程Mei對稱性的共形不變性的概念, 給出了直接用Tzénoff函數(shù)來表達(dá)的Mei對稱性共形不變性的判據(jù)方程和導(dǎo)出守恒量的必要條件及相應(yīng)守恒量的表達(dá)式.該研究結(jié)果對進(jìn)一步探究非完整系統(tǒng)Tzénoff方程和高階Tzénoff方程的共形不變性及其守恒量奠定了理論基礎(chǔ)．

參考文獻(xiàn)：

[1]Noether A E.Invariance Variations problem s [J].Kgl Ges Wiss Nachr G?ttingen Math Phys., 1918, KI,II:235-257.

[2]Mei Fengxiang.Form invariance of Lagrange system[J].Journal of Beijing Institute of Technology, 2000, 9(2):120-124.

[3]梅鳳翔.約束力學(xué)系統(tǒng)的對稱性與守恒量[M].北京：北京理工大學(xué)出版社,2004.

[4]Fu Jingli, Wang Xianjun , Xie Fengping.Conserved Quantities and Conformal Mechanico-Electrical Systems[J].Chinese Physics Letters,2008,25(7):2413-2416.

[5]Zhao Li, Fu Jingli.A new type of conserved quantity of Mei symmetry for the motion of mechanico electrical coupling dynamical systems[J].Chinese Physics B ,2011,20(4):040201(1-4).

[6]張宏彬,呂洪升,顧書龍.完整約束力學(xué)系統(tǒng)保Lie對稱性差分格式[J].物理學(xué)報,2010,59(8):5213-5218.

[7]張毅.事件空間中完整系統(tǒng)的Lie對稱性與絕熱不變量[J].物理學(xué)報,2007,56(6):3054-3059.

[8]劉暢，趙永紅，陳向煒.動力學(xué)系統(tǒng)Noether對稱性的幾何表示[J].物理學(xué)報,2010,59(1):11-14.

[9]方建會.Lagrange系統(tǒng)Mei對稱性直接導(dǎo)致的一種守恒量[J].物理學(xué)報,2009,58(6):3617-3619.

[10]Li Yanmin.Lie Symmetries, Perturbation to Symmetries and Adiabatic Invariants of a Generalized Birkhoff System[J].Chinese Physics Letters, 2010, 27(1): 010202(1-4).

[11]Shao Kai Luo, Zhuang Jun Li, Wang Peng, Lin Li.A Lie symmetrical basic integral variable relation and a new conservation law for generalized Hamiltonian systems[J].Acta Mechanica, 2013, 224(1): 71-84.

[12]Sun Yi, Chen Benyong, Fu Jingli.Lie symmetry theorem of fractional nonholonomic systems[J].Chinese Physics B ,2014,23(11):110201(1-7).

[13]Галиуллин А С，Гафаров Г Г，Малайшка Р П，et al.Аналитическая Динамика Систем Гельмгольца，Виркгофа，Намбу：Монография[M].Москва：Редакция Журнала“Успехи Физических Наук”，1997.

[14]蔡建樂,梅鳳翔.Lagrange 系統(tǒng)Lie點(diǎn)變換下的共形不變性與守恒量[J].物理學(xué)報,2008,57(9):5369-5373.

[15]劉暢,劉世興,梅鳳翔,郭永新.廣義Hamilton 系統(tǒng)的共形不變性與Hojman守恒量[J].物理學(xué)報,2008,57(11):6709-6713.

[16]王廷志,韓月林.相對運(yùn)動非完整動力學(xué)系統(tǒng)的共形不變性與守恒量[J].江南大學(xué)學(xué)報( 自然科學(xué)版),2013,12(2):234-238.

[17]王小明,李元成,夏麗莉.機(jī)電系統(tǒng)Mei對稱性的共形不變性與守恒量[J].貴州大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2009,26(6):32-38.

[18]陳向煒, 趙永紅, 劉暢.變質(zhì)量完整動力學(xué)系統(tǒng)的共形不變性與守恒量[J].物理學(xué)報, 2009, 58(8): 5150-5154.

[19]李彥敏.變質(zhì)量非完整力學(xué)系統(tǒng)的共形不變性[J].云南大學(xué)學(xué)報( 自然科學(xué)版),2010,32(1):52-57.

[20]現(xiàn)亭,張耀宇,張芳,賈利群.完整系統(tǒng)Appell方程Lie對稱性的共形不變性與Hojman守恒量[J].物理學(xué)報,2014,63(14):140201(1-4).

[21]程丁龍.ЦЕНОВ方程對變質(zhì)量非完整系統(tǒng)的推廣[J].北京理工大學(xué)學(xué)報,1987，3：76-85.

[22]梅鳳翔.非完整系統(tǒng)力學(xué)基礎(chǔ)[M].北京：北京工業(yè)學(xué)院出版社，1985.

[23]Zheng Shiwang, Jia Liqun, Yu Hongsheng.Mei Symmetry of Tzénoff Equations of Holonomic System[J].Chinese Physics ,2006 ,15(7):1399-1402.

[24]Zheng Shiwang，Xie Jiafang, Li Yanmin.Mei symmetry and conserved quantity of Tzénoff equations for nonholonomic systems of non-Chetaev,s type[J].Communications in Theoretical Physics ,2008,49 (4) :851-854.

[25]鄭世旺,解加芳,陳向煒,等.完整系統(tǒng)Tzénoff方程的Mei對稱性直接導(dǎo)致的另一種守恒量[J].物理學(xué)報,2010,59(8):5209-5212.

[26]Zheng Shiwang ,Wang Jianbo,Chen Xiangwei, Xie Jiafang.Mei symmetry and new conserved quantities of Tzénoff equations for the variable mass higher-order nonholonomic system[J].Chinese Physics Letters,2012,29(2):020201(1-4).

[27]鄭世旺,陳梅.非完整系統(tǒng)Tzénoff方程的Mei對稱性所對應(yīng)的一種新守恒量[J].云南大學(xué)學(xué)報,2011,33(4):412-416.

[28]鄭世旺,王建波,陳向煒,李彥敏,等.變質(zhì)量非完整系統(tǒng)Tzénoff方程的Lie對稱性與其導(dǎo)出的守恒量[J].物理學(xué)報,2012,61(11):111101(1-5).

[29]鄭世旺,王建波.廣義Tzénoff數(shù)的構(gòu)造及求解完整系統(tǒng)守恒量的簡單方法[J].商丘師范學(xué)院學(xué)報,2014,30(6):29-34.

[30]鄭世旺，趙永紅.完整系統(tǒng)Tzénoff方程Lie對稱性的共形不變性與守恒量[J].商丘師范學(xué)院學(xué)報,2015,31(6):39-43.

[31]梅鳳翔,劉端,羅勇.高等分析力學(xué)[M].北京：北京理工大學(xué)出版社,1991.

[責(zé)任編輯：徐明忠]

Conformal invariance and conserved quantity of Mei symmetry for Tzénoff equations in holonomic systems

ZHENG Shiwang

(School of Physics and Electrical Information, Shangqiu Normal University, Shangqiu 476000, China)

Abstract:The aim of the paper is to research the conformal invariance and conserved quantity of Mei symmetry for Tzénoff equations in holonomic systems.Firstly, the Tzénoff equations of holonomic systems is established.Then, the determining equations of conformal invariance of Mei symmetry for Tzénoff equations in holonomic systems are given.The conditions and the functions of the conserved quantity which is deduced by conformal invariance are obtained.Finally, application of this new result is presented by a practical example.

Key words:holonomic systems; Tzénoff equations; Mei symmetry; conformal invariance

中圖分類號：O320

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

文章編號：1672-3600(2016)03-0024-05

作者簡介:鄭世旺(1963-)，男，河南蘭考人，商丘師范學(xué)院教授，主要從事分析力學(xué)的研究.

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(No.11372169)

收稿日期：2015-07-08；修回日期：2015-07-18