李萌萌,賈梅,蘇小鳳

(上海理工大學(xué)理學(xué)院,上海　200093)

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具有線性微分算子的分?jǐn)?shù)階微分方程積分邊值問題

李萌萌,賈梅,蘇小鳳

(上海理工大學(xué)理學(xué)院,上海200093)

摘要：研究一類具有分?jǐn)?shù)階線性微分算子的非線性微分方程積分邊值問題解的存在性與唯一性.利用Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理及壓縮映射原理,建立并證明了邊值問題解的存在性定理和唯一性定理,并給出兩個(gè)例子以說明所得結(jié)論.

關(guān)鍵詞：分?jǐn)?shù)階線性微分算子;積分邊值問題; Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù);不動(dòng)點(diǎn)定理

1　引言

由于分?jǐn)?shù)階微積分在科學(xué)研究和工程技術(shù)等領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用,近年來分?jǐn)?shù)階微分方程的理論研究取得了一系列研究成果[1-4]．邊值問題是微分方程理論研究的重要課題,許多學(xué)者對(duì)分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題解的存在性與唯一性進(jìn)行了大量研究[512].在對(duì)具有Riemann-Liouville導(dǎo)數(shù)分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題的研究中,較多是假設(shè)未知函數(shù)在左端點(diǎn)的值為零, 即x(0) = 0的情況,例如參考文獻(xiàn)[7-10].本文在文獻(xiàn)[7]基礎(chǔ)上,在不假設(shè)x(0) = 0情況下,利用Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理和壓縮映射原理,研究了如下一類具有分?jǐn)?shù)階線性微分算子的非線性微分方程積分邊值問題:

的解的存在性及唯一性,其中

n為非負(fù)整數(shù), r∈R, Dα和Dβ均為標(biāo)準(zhǔn)的Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù), f : [0,1]×R→R滿足L1-Carathe′odory條件, gi∈C[0,1], i = 1,2.

函數(shù)f : [0,1]×R→R稱為滿足L1-Carathe′odory條件,如果

(1)對(duì)任意的x∈R,函數(shù)f(·,x) : [0,1]→R是可測(cè)的;

(2)對(duì)幾乎處處的t∈[0,1],函數(shù)f(t,·) : R→R是連續(xù)的;

(3)對(duì)任意γ＞0,存在?γ∈L1[0,1],使得當(dāng)|x|≤γ時(shí),對(duì)幾乎處處t∈[0,1] 有|f(t,tα?2x)|≤?γ(t).

2　預(yù)備知識(shí)

有關(guān)Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)和積分定義可參見參考文獻(xiàn)[1-2].

引理2.1[2]設(shè)α＞0, 0≤γ＜1,γ≤α,則分?jǐn)?shù)階積分算子Iα: C0γ[0,1]→C[0,1].

引理2.2[5]若α＞0, 0＜β＜1,β≤α, I1?βx(t)|t=0= 0, n為非負(fù)整數(shù),則

引理2.3對(duì)任意的h∈L1[0,1],邊值問題

在X中等價(jià)于下面的積分方程:

證明因?yàn)棣?β?1＞0,所以根據(jù)引理2.1可得,對(duì)任意x∈X, I1?βx(t)|t=0= 0.

由引理2.2可以得到

其中c1,c2∈R.將邊界條件代入上式,解之得

因此,將c1和c2代入(2)式,可得

其中G(t,s), Hk(t,s),φ(t,s)即為上面形式.

由引理2.3、函數(shù)G(t,s)和Hk(t,s),k = 0,1,2,···,n的表達(dá)式易得下面引理2.4、引理2.5和引理2.6.

的解.

引理2.5函數(shù)G(t,s)滿足:

(1) G(t,s)∈C([0,1]×[0,1]),且對(duì)于任意t,s∈(0,1)有G(t,s)＞0;

(2)當(dāng)t,s∈[0,1]時(shí),

引理2.6對(duì)k = 0,1,2,···,n,函數(shù)Hk(t,s)滿足:

(1) Hk(t,s)∈C([0,1]×[0,1]);

(2)對(duì)于任意的t,s∈[0,1],有|Hk(t,s)|≤tα?1(1?s)α?β+k?1.

定義算子T : X→X,

引理2.7算子T : X→X是全連續(xù)的.

證明設(shè){xn}?X, x∈X,滿足當(dāng)n→∞時(shí), ||xn?x||→0,故存在γ1＞0,使得||xn||≤γ1, ||x||≤γ1,即對(duì)任意的t∈[0,1], |t2?αxn(t)|≤γ1, |t2?αx(t)|≤γ1,因此對(duì)幾乎處處s∈[0,1],有

并且存在?γ1∈L1[0,1],當(dāng)s∈[0,1]時(shí), |f(s,xn(s))| = |f(s,sα?2s2?αxn(s))|≤?γ1(s).

由Lebesgue控制收斂定理得

所以, ||Txn?Tx||→0, (n→∞),故T : X→X是連續(xù)算子.

設(shè)??X是任意一個(gè)有界集,則存在γ2＞0,使得當(dāng)x∈?時(shí),有||x||≤γ2,即存在?γ2∈L1[0,1],對(duì)任意的x∈?,有

所以T(?)是一致有界的.

另外,對(duì)任意的x∈?,因?yàn)镠k(t,s)∈C([0,1]×[0,1]), gi∈C[0,1], i = 1,2,所以t2?αφ(t,s)∈C([0,1]×[0,1]),故t2?αφ(t,s)一致連續(xù).又G(t,s)∈C([0,1]×[0,1]),故G(t,s)一致連續(xù).因此易得對(duì)任意的ε＞0,存在δ＞0,對(duì)任意的t1,t2∈[0,1],當(dāng)|t1?t2|＜δ時(shí),有所以T(?)是等度連續(xù)的,由Arzela-Ascoli定理知, T : X→X是相對(duì)緊的.

綜上可得T : X→X是全連續(xù)的.

3　解的存在性及唯一性

記

則有?≥0.

假設(shè): (H) 0≤?＜1.

(H1)存在非負(fù)函數(shù)p(t)∈L1[0,1], q(x)在R上連續(xù),使得|f(t,x)|≤p(t) + q(x),且

(H2)存在非負(fù)函數(shù)t2α?3a(t)∈L1[0,1], b(t)∈L1[0,1],常數(shù)σ＞0,使得對(duì)任意的t∈[0,1] 及x∈R,有|f(t,x)|≤a(t)|x|σ+ b(t).

(H3)存在函數(shù)l(t)＞0, t2α?3l(t)∈L1[0,1],使得當(dāng)t∈[0,1], x1,x2∈R時(shí),

定理3.1假設(shè)條件(H), (H1)成立,且A = 0,則邊值問題(1)在X中至少存在一個(gè)解.

證明取

由(H1)知,存在d1＞0,使得當(dāng)|x|＞d1時(shí),

取

則D為X中非空有界閉凸集.

對(duì)任意的x∈D,有||x||≤d0.因此當(dāng)t∈(0,1]時(shí),

故

所以T : D→D.

又由引理2.7知T全連續(xù),故由Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理, T在D中至少存在一個(gè)不動(dòng)點(diǎn),即邊值問題(1)在X中至少存在一個(gè)解.

由(H1)知,存在d1＞0,使得當(dāng)|x|≥d1時(shí), 0≤q(x)≤(A+ε)|x|.令對(duì)任意的x∈R,有0≤q(x)≤N + (A +ε)|x|.

取

令D = {x|x∈X,||x||≤d0},則D為X中非空有界閉凸集.

與定理3.1證明類似可證||Tx||≤d0,所以T : D→D.

又由引理2.7知T全連續(xù),故由Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理, T在D中至少存在一個(gè)不動(dòng)點(diǎn),即邊值問題(1)在X中至少存在一個(gè)解.

定理3.3假設(shè)條件(H), (H2)成立,且0＜σ＜1,則邊值問題(1)在X中至少存在一個(gè)解.

選取

令D = {x|x∈X,||x||≤r1},則D為X中非空有界閉凸集.?x∈D,有與定理3.1證明類似可證||Tx||≤r1,即T(D)?D.又由引理2.7知T全連續(xù),故由Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理, T在D中至少存在一個(gè)不動(dòng)點(diǎn),即邊值問題(1)在X中至少存在一個(gè)解.

定理3.4假設(shè)條件(H), (H2)成立,且

則邊值問題(1)在X中至少存在一個(gè)解.

證明取

則有r2＞0.

令D = {x|x∈X,||x||≤r2},則D為X中非空有界閉凸集.對(duì)任意的x∈D,易得||Tx||≤r2,即T(D)?D.又由引理2.7知T全連續(xù),故由Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理, T在D中至少存在一個(gè)不動(dòng)點(diǎn),即邊值問題(1)在X中至少存在一個(gè)解.

定理3.5假設(shè)條件(H3)成立,且

則邊值問題(1)在X中存在唯一的解.

證明對(duì)任意的x,y∈X, t∈[0,1],

所以,

由于

故T : X→X是壓縮映射,利用壓縮映射原理可得, T在X中有唯一不動(dòng)點(diǎn),即邊值問題(1) 在X中存在唯一的解.

4　應(yīng)用舉例

例4.1考慮邊值問題

例4.2考慮邊值問題

其中

且

故由定理3.5可得,邊值問題(4)存在唯一解.

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2010 MSC: 34B15, 26A33

The integral boundary value problem for fractional differential equations with linear differential operator

Li Mengmeng , Jia Mei , Su xiaofeng
(College of Science, University of Shanghai for Science and Technology, Shanghai 200093, China)

Abstract:In this paper, we study the existence and uniqueness of solutions for a class of integral boundary value problem of differential equation with fractional linear differential operator. By using Schauder fixed point theorem and Banach contraction principle, the theorems of the existence and the uniqueness of solutions for the boundary value problem are obtained and proved. And we give two examples to illustrate the results.

Key words:fractional linear differential operator, integral boundary value problem, Riemann-Liouville fractional derivative,fixed point theorem

通訊作者：賈梅(1963-),碩士,副教授,研究方向:常微分方程理論與應(yīng)用.

作者簡(jiǎn)介：李萌萌(1990-),碩士生,研究方向：常微分方程理論與應(yīng)用.

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金(11171220);滬江基金(B14005).

收稿日期：2015-08-31.

DOI：10.3969/j.issn.1008-5513.2016.01.011

中圖分類號(hào)：0175.8

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1008-5513(2016)01-0075-09