柴姝楠,劉文德

(哈爾濱師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,黑龍江哈爾濱　150025)

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Witt 型李超代數(shù)的極大根階化子代數(shù)

柴姝楠,劉文德

(哈爾濱師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,黑龍江哈爾濱150025)

摘要：設(shè)W(m,n)是特征p＞3的代數(shù)閉域上有限維Witt型李超代數(shù).證明了W(m,n)的極大根階化子代數(shù)一定是其極大Z-階化子代數(shù),從而刻畫了W(m,n)的所有極大根階化子代數(shù).結(jié)果有助于理解Witt型李超代數(shù)W(m,n)的內(nèi)在性質(zhì).

關(guān)鍵詞：Witt型李超代數(shù); Cartan子代數(shù);極大根階化子代數(shù)

1　引言

李超代數(shù)是一個(gè)活躍的研究領(lǐng)域,它的研究主要包括表示理論和結(jié)構(gòu)理論.在結(jié)構(gòu)理論中,極大子代數(shù)的刻畫是一個(gè)重要研究方向. 1952年, E. Dynkin在文獻(xiàn)[1]中給出了某些典型群的極大子群結(jié)構(gòu),在文獻(xiàn)[2]中對(duì)復(fù)數(shù)域上有限維單李代數(shù)的極大子代數(shù)進(jìn)行了分類. 1997年, Shchepochki將Dynkin的結(jié)論推廣到了矩陣?yán)畛鷶?shù)上[3].近年來(lái),對(duì)于極大子代數(shù)的研究取得了重要的進(jìn)展. 2004年,文獻(xiàn)[4]確定了結(jié)合或超對(duì)合結(jié)合的中心單超代數(shù)的極大子代數(shù),文獻(xiàn)[5-6]確定了10維Kac Jordan超代數(shù)的極大子代數(shù)以及帶有半單偶部的單特殊Jordan型超代數(shù)的極大子代數(shù). 2009年,文獻(xiàn)[7]研究了特征p＞3的代數(shù)閉域上的Cartan型李超代數(shù)K的全深度極大子代數(shù).文獻(xiàn)[8-9]刻畫了特征p＞3的代數(shù)閉域上的Z-階化Witt型李超代數(shù)偶部的可分解極大階化子代數(shù)以及限制Witt型李超代數(shù)偶部的可約極大階化子代數(shù).文獻(xiàn)[10-11]分別確定了特征零和特征p＞3的代數(shù)閉域上的Cartan型李超代數(shù)的極大Z-階化子代數(shù).文獻(xiàn)[12]確定了特征零代數(shù)閉域上的Witt型李超代數(shù)的極大根階化子代數(shù).

本文證明了特征p＞3的代數(shù)閉域上的Witt型李超代數(shù)W(m,n)的極大根階化子代數(shù)一定是其極大Z-階化子代數(shù),同時(shí)說(shuō)明了W(m,n)的所有極大Z-階化子代數(shù)除了不可約的恰好為W(m,n)的所有極大根階化子代數(shù).從而借助文獻(xiàn)[11]中對(duì)于特征p＞3的代數(shù)閉域上的Witt型李超代數(shù)W(m,n)的極大Z-階化子代數(shù)的刻畫,給出了Witt型李超代數(shù)W(m,n)的極大根階化子代數(shù).這有助于理解Witt型李超代數(shù)W(m,n)的內(nèi)在性質(zhì).

本文約定F是特征p＞3的代數(shù)閉域, Z和?分別表示整數(shù)和非負(fù)整數(shù)集,是整數(shù)模2的剩余類環(huán).令m,n∈?{1}是兩個(gè)固定的整數(shù).符號(hào)|x|表示Z2-齊次元素x 的Z2-次數(shù), zd(x)表示Z-齊次元素x的Z-次數(shù).

2　基本概念

為方便,設(shè)

設(shè)O(m)是F上的具有基

的有限維除冪代數(shù).對(duì)于εi= (δi1,δi2,···,δim),簡(jiǎn)記x(εi)為xi,i∈I0.設(shè)Λ(n)是F上有n個(gè)變量的外代數(shù),令

若u∈sh(k),則記

是一個(gè)由O(m)的平凡Z2-階化與Λ(n)的自然Z2-階化誘導(dǎo)的結(jié)合超代數(shù).設(shè)?1,···,?m+n是超代數(shù)O(m,n)的超導(dǎo)子,滿足?i(xj) =δij,|?i| = |xi|,i,j∈I.令

則W(m,n)是有限維單李超代數(shù),稱之為Witt型李超代數(shù).

設(shè)W(m,n)中元素的Z-次數(shù)為zd(xi) =?zd(?i) = 1.為簡(jiǎn)便,以下將O(m,n),W(m,n)分別簡(jiǎn)記為O,W.置ξ= m(p?1) + n,則有

3　極大根階化子代數(shù)

設(shè)g是一個(gè)李超代數(shù), h是g的Cartan子代數(shù), g關(guān)于h有如下的根空間分解:

其中

設(shè)g′為g的子代數(shù),如果g′滿足:則稱g′為g的根階化子代數(shù).如果g′/= g,并且真包含g′的g的根階化子代數(shù)只有g(shù),則稱g′為g的極大根階化子代數(shù).

令h=spanF{xi?i| i∈I},容易驗(yàn)證h為W的Cartan子代數(shù),稱為標(biāo)準(zhǔn)Cartan子代數(shù).設(shè)ηi是xi?i的對(duì)偶基,即ηi(xj?j)=δij,i,j∈I.令?i表示W(wǎng)i關(guān)于h的根集, i=?1,0,1,···,ξ?1.于是有

表1　W的根集

其中ηu=ηi1+ηi2+···+ηik.稱?=??1∪?0∪···∪?ξ?1為W的根系.

引理3.1設(shè)M是g的子代數(shù), h是g的Cartan子代數(shù),如果M是g的h-子模,則M 是g的根階化子代數(shù).特別地, W的包含標(biāo)準(zhǔn)Cartan子代數(shù)h的Z-階化子代數(shù)也是其根階化子代數(shù).

證明由于M是g的h-子模,故[h,M]?M,因此M關(guān)于h有一個(gè)根空間分解,由根空間及根階化子代數(shù)的定義易知, M是g的根階化子代數(shù).

引理3.2 W的根階化子代數(shù)也是其Z-階化子代數(shù).

證明設(shè)M是W的任意一個(gè)根階化子代數(shù),顯然有[h,M]?M.令?M表示M關(guān)于h的根集,由表1可知?i∩?j=?,i /= j.于是

即M的每一個(gè)根空間都包含于W的一個(gè)階化項(xiàng),故M是W的Z-階化子代數(shù).

引理3.3 W的極大根階化子代數(shù)一定包含W的標(biāo)準(zhǔn)Cartan子代數(shù)h.

證明設(shè)M是W的任意一個(gè)極大根階化子代數(shù),?M表示M關(guān)于h的根集.下面分兩種情況來(lái)證明.

情形1當(dāng)?M=?時(shí),由于dimWα=1,其中

則Wα?M.從而

(a)當(dāng)k∈I0時(shí),上式為:

(b)當(dāng)k∈I1時(shí),上式為:

故Wβ?M,其中

同理可證, Wγ?M,其中

又

從而h?M,于是有M = W,矛盾于M的極大性.

命題3.1 W的極大根階化子代數(shù)一定是其極大Z-階化子代數(shù).

證明設(shè)M是W的任意一個(gè)極大根階化子代數(shù),由引理3.2與引理3.3可知, M是W的Z-階化子代數(shù),并且h?M.若存在W的一個(gè)Z-階化子代數(shù)K,滿足則由引理3.1可知, K也是W的根階化子代數(shù),這與M的極大性矛盾.

設(shè)M是W的極大根階化子代數(shù),由命題3.1和文獻(xiàn)[11]可知, M滿足下列條件之一:

(I) M?1=0;

(II) M?1/= 0且M?1/= W?1;

(III) M?1=W?1且M0=W0;

(IV) M?1=W?1但M0/= W0.

引理3.4 W的包含標(biāo)準(zhǔn)Cartan子代數(shù)h的極大Z-階化子代數(shù)一定是其極大根階化子代數(shù).

證明設(shè)M是W的任意一個(gè)包含標(biāo)準(zhǔn)Cartan子代數(shù)h的極大Z-階化子代數(shù),則由引理3.1可知, M是W的根階化子代數(shù).若存在W的一個(gè)根階化子代數(shù)K,滿足則由引理3.2可知, K也是W的Z-階化子代數(shù),這與M的極大性矛盾,故M是W的極大根階化子代數(shù).

引理3.5 W的(I)型, (II)型和(III)型的極大根階化子代數(shù)恰好分別是W的(I)型, (II)型和(III)型的極大Z-階化子代數(shù).

證明由命題3.1可知,只需證明W的(I)型, (II)型和(III)型的任意一個(gè)極大Z-階化子代數(shù)M也分別是W的(I)型, (II)型和(III)型的極大根階化子代數(shù).

情形1當(dāng)M為(I)型時(shí),結(jié)論顯然成立.

情形2當(dāng)M為(II)型時(shí),由文獻(xiàn)[11]中定理4.1可知,

其中

V是W?1的一個(gè)非平凡子空間.顯然, h?M0(V ),于是由引理3.4可知, M是W的極大根階化子代數(shù).

情形3當(dāng)M為(III)型時(shí),由于M0=W0,則h?M0.同理M是W的極大根階化子代數(shù).

設(shè)g0是W0的一個(gè)子代數(shù),若W?1作為g0-模(不)可約,則稱g0(不)可約.設(shè)是W的一個(gè)(IV)型的Z-階化子代數(shù),若g0(不)可約,則稱g(不)可約.

命題3.2 W的(IV)型的所有極大根階化子代數(shù)作為其Z-階化子代數(shù)都是可約的.

證明設(shè)M是W的(IV)型的任意一個(gè)極大根階化子代數(shù),由引理3.2可知, M也是W 的Z-階化子代數(shù),則只需證明M0可約.由引理3.3可知, h?M0,令?M0表示M0所對(duì)的根集,則?M0/=?0.若ηi?ηj/∈?M0,則對(duì)于任意的k /= i且k /= j,或ηi?ηk/∈?M0, 或ηk?ηj/∈?M0.記

由M的極大性可知, M0也是W0的極大根階化子代數(shù),因此上述兩式不能同時(shí)成立,由此可知I=I′∪I′′且I′∩I′′=?.此時(shí),

引理3.6 W的(IV)型的極大根階化子代數(shù)恰好是W的(IV)型的極大可約Z-階化子代數(shù).

證明由命題3.1與命題3.2可知,只需證明W的(IV)型的任意一個(gè)極大可約Z-階化子代數(shù)M也是W的(IV)型的極大根階化子代數(shù).由文獻(xiàn)[11]中定理5.1可知,

其中

顯然, h?M0(V ),于是由引理3.4可知, M是W的極大根階化子代數(shù).

定理3.1設(shè)M是W的極大根階化子代數(shù),則下述結(jié)論成立:

V是W?1的任意一個(gè)非平凡子空間;

(3)若M為(III)型,

(a)如果m?n + 1≡0 (mod p),那么

(b)如果m?n + 1 /≡0 (mod p),那么

或者

其中

參考文獻(xiàn)

[1] Dykin E. Maximal subgroups of classical groups [J]. Trudy Moskov. Mat. Obsc., 1952,30:39-166.

[2] Dykin E. Semisimple subalgebras of semisimple Lie algebras [J]. Mat. Sb. (N.S.), 1952, 30(72):349-462.

[3] Shchepochkina I. Maximal subalgebras of matrix Lie superalgebras [J]. In: Leites D. Seminar on Supermanifolds. Reports of Stockholm University, 1992,32:1-43.

[4] Elduquq A, Laliena J, Sacristan S. Maximal subalgebras of associative superalgebras [J]. J. Algebra., 2004,275(1):40-58.

[5] Elduquq A, Laliena J, Sacristan S. The Kac Jordan superalgebra automorphisms and maximal subalgebras [J]. J. Pure Appl. Algebra., 2008,212:2461-2478.

[6] Elduquq A, Laliena J, Sacristan S. Maximal subalgebras of Jordan superalgebras [J]. Proc. Amer. Math. Soc., 2007,135(2):3805-3813.

[7]高巖,劉文德. K型李超代數(shù)全深度極大子代數(shù)[J].哈爾濱師范大學(xué)學(xué)報(bào), 2009,25(2):34-36.

[8]白薇,劉文德,董學(xué)強(qiáng). Witt型李超代數(shù)偶部的可分解極大階化子代數(shù)[J].數(shù)學(xué)雜志, 2013,3(4):702-708.

[9]白薇,劉文德,董學(xué)強(qiáng).限制Witt型李超代數(shù)偶部的可約極大階化子代數(shù)[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí), 2012, 42(17):222-227.

[10] Bai W, Liu W D, Melikyan H. Maximal subalgebras of Lie superalgebras of Cartan type over fields of characteristic zero [J]. J. Algebra, 2014,404:176-199.

[11] Bai W, Liu W D, Melikyan H. Maximal subalgebras for Lie superalgebras of Cartan type [J]. J. Algebra and Appl., DOI: 10.1142/S 0219498815500139.

[12]高春艷. Cartan型李超代數(shù)的結(jié)構(gòu)[D].哈爾濱:哈爾濱師范大學(xué), 2015.

2010 MSC: 17B05

Maximal root-graded subalgebras of Witt Lie superalgebras

Chai shu′nan , Liu Wende
(Department of Mathematics, Harbin Normal University, Harbin 150025, China)

Abstract:Let W(m,n) be the finite dimensional Witt Lie superalgebras over algebraically closed fields of characteristic p＞3. We prove that maxmimal root-graded subalgebras of W(m,n) are maximal Z-graded subalgebras of W(m,n). Then we characterize all maximal root-graded subalgebras of W(m,n). It is helpful to further understand the intrinsic properties of Witt Lie superalgebras W(m,n).

Key words:Witt Lie superalgebras, Cartan subalgebras, maximal root-graded subalgebras

通訊作者：劉文德(1965-),博士,教授,研究方向：李代數(shù)與李超代數(shù).

作者簡(jiǎn)介：柴姝楠(1993-),碩士生,研究方向：李代數(shù)與李超代數(shù).

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金(1171055, 11471090, 11501151);黑龍江省自然科學(xué)基金(A2015003).

收稿日期：2015-06-18.

DOI：10.3969/j.issn.1008-5513.2016.01.009

中圖分類號(hào)：O152.5

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1008-5513(2016)01-0060-07