張　偉，高　珊

(1.深圳市大疆創(chuàng)新科技有限公司，廣東　深圳　518057；2.廣州海格通信集團(tuán)股份有限公司，廣州　510663)

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一種固定基線單頻整周模糊度求解方法

張偉1，高珊2

(1.深圳市大疆創(chuàng)新科技有限公司，廣東深圳518057；2.廣州海格通信集團(tuán)股份有限公司，廣州510663)

摘要：針對最小二乘方法求解單頻多歷元數(shù)據(jù)模糊度浮點解時需進(jìn)行高階矩陣運(yùn)算，導(dǎo)致運(yùn)算量過大的問題，提出了一種結(jié)合序貫平差和最小二乘模糊度去相關(guān)調(diào)整方法求解固定基線單頻整周模糊度的算法。文中分別闡述序貫平差算法和最小二乘模糊度去相關(guān)調(diào)整方法的原理，以及序貫平差求解模糊度浮點解和協(xié)方差陣、最小二乘模糊度去相關(guān)調(diào)整方法搜索整數(shù)解的過程，最后通過殘差比值和先驗信息固定正確的模糊度。結(jié)果表明本方法計算量小，可以在實時嵌入式平臺中運(yùn)行，用低成本實現(xiàn)GPS高精度應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：單頻整周模糊度；最小二乘模糊度去相關(guān)調(diào)整方法；序貫平差；固定基線

0引言

全球定位系統(tǒng)(global positioning system，GPS)載波差分定位已經(jīng)在全球得到了廣泛應(yīng)用，包括測量測繪、地表檢測、精準(zhǔn)農(nóng)業(yè)、無人機(jī)、飛機(jī)精密進(jìn)近等多個行業(yè)和領(lǐng)域。目前載波差分定位主要采用雙頻接收機(jī)實現(xiàn)，較少使用單頻。

載波差分定位算法核心是解算整周模糊度，研究人員提出了許多方法，包括模糊度映射函數(shù)(ambiguity function method，AFM)技術(shù)[1]、最小二乘搜索(least squares search，LSS)技術(shù)[2-3]、快速模糊度解算方法(fast ambiguity resolution approach，F(xiàn)ARA)[4]、快速模糊度搜索濾波器(fast ambiguity search filter，F(xiàn)ASF)方法[5]、最小二乘模糊度去相關(guān)調(diào)整方法(least ambiguity decorrelation adjust，LAMBDA)[6]等，這些方法大多針對雙頻觀測量提出。雙頻組合觀測量波長比單頻長，模糊度搜索范圍小。但雙頻接收機(jī)價格比單頻接收機(jī)高，如何利用低成本單頻接收機(jī)實現(xiàn)載波差分定位是目前的一個研究熱點。

單頻載波差分定位的關(guān)鍵在于整周模糊度的解算，同樣可以使用LAMBDA方法，一般需要多個歷元數(shù)據(jù)才能求解。在處理多歷元數(shù)據(jù)時，傳統(tǒng)方法是用采用最小二乘計算浮點解，求解過程中存在高階矩陣相乘和求逆，只能通過計算機(jī)進(jìn)行事后處理，無法在嵌入式平臺中實時計算，限制了單頻載波差分的應(yīng)用。本文采用序貫平差方法計算浮點解，對各歷元數(shù)據(jù)進(jìn)行間接平差處理，解決了高階矩陣運(yùn)算的問題。LAMBDA搜索整周模糊度解后，同時采用比值檢驗和先驗信息對整周模糊度進(jìn)行確認(rèn)并固定模糊度。通過仿真實驗對算法進(jìn)行驗證，證明算法可在嵌入式平臺中進(jìn)行實時計算，對于固定基線模糊度求解具有良好效果。

1整數(shù)最小二乘問題

載波差分定位的雙差觀測方程為[7]

y=Bb+Aa+e

(1)

式(1)中，y為m×1階雙差載波相位觀測量，b為p×1階基線矢量，a為n×1階雙差模糊度且為整數(shù)(a∈Zn)，B為基線矢量的m×p階設(shè)計矩陣，A為模糊度的m×n階設(shè)計矩陣，e為觀測噪聲。固定基線時基線矢量保持不變，此時p=3。方程中的基線矢量和雙差模糊度為待定參數(shù)。

式(1)的解算步驟分為3步[8-10]：

2)搜索模糊度整數(shù)解，按照一定的判決準(zhǔn)則獲取最優(yōu)解；

3)模糊度整數(shù)解固定后求解基線矢量。

模糊度整數(shù)解的估計準(zhǔn)則為[11]：

(2)

式(2)為整數(shù)的最小二乘非標(biāo)準(zhǔn)誤差模型，整數(shù)模糊度解法稱之為整數(shù)最小二乘方法，整數(shù)搜索算法是其中的關(guān)鍵。

2模糊度浮點解計算

假設(shè)每個歷元的觀測衛(wèi)星保持不變，共計n+1顆衛(wèi)星，構(gòu)造n個雙差模糊度。對于單歷元而言，共計n個方程，待定參數(shù)n+3， 顯然單歷元無法解出待定參數(shù)，需要采用多歷元解算。多歷元數(shù)據(jù)的浮點解可以用最小二乘或序貫平差求解，兩者的計算量存在差異。以下將闡述兩種算法的原理和計算過程，并分析兩者的計算量。

2.1浮點解計算過程

對于固定基線的多歷元載波雙差方程，假定衛(wèi)星保持不變，待定參數(shù)為n+3。 歷元數(shù)為g，A矩陣和B矩陣的行數(shù)m=g×n， m≥n時式(1)為滿秩最小二乘問題，可用標(biāo)準(zhǔn)方程求解。標(biāo)準(zhǔn)方程為

(3)

本文采用序貫平差的方法來解決這個問題，將觀測量歷元分成多組，按順序分別做相關(guān)間接平差，達(dá)到整體平差的效果，計算量分散在各個歷元。具體方法為

1)選取兩個歷元的觀測量計算初始解，此時有2n個方程，只需滿足2n≥n+3， 即n≥3， 按式(3)就可以計算出浮點解和協(xié)方差，實際應(yīng)用中一般要求n≥5；

2)計算出初始解后，每獲取一組新的歷元觀測數(shù)據(jù)，采用序貫平差的方式更新浮點解和協(xié)方差陣。

浮點解和協(xié)方差陣的更新依據(jù)序貫平差的原理進(jìn)行，具體為[12]

(4)

(5)

按間接平差濾波原理得到的遞推解為

(6)

式(6)中，

(7)

(8)

(9)

引入符號

(10)

則遞推結(jié)果整體表示為

(11)

誤差估計為

(12)

式(11)中，各矩陣行數(shù)和列數(shù)的最大值均為n+3。在計算初始解之后，每個歷元按照式(11)更新浮點解和協(xié)方差陣，計算量保持不變，嵌入式系統(tǒng)可負(fù)荷。浮點解和協(xié)方差陣計算之后，每個歷元再用LAMBDA方法求解模糊度整數(shù)解。

2.2計算量分析

為簡化分析，最小二乘和序貫平差中的權(quán)陣取單位陣，乘法運(yùn)算時其計算量不予考慮。

(13)

根據(jù)矩陣相乘的運(yùn)算量計算方法，式(3)的浮點加法和乘法運(yùn)算次數(shù)均為g×(n3+7n2+12n)+(n+3)2。 式(3)還包括一次對n+3階矩陣求逆的運(yùn)算。

用相同方法分析序貫平差的運(yùn)算量，g=2時序貫平差和最小二乘計算量相等。g>2時浮點加法運(yùn)算次數(shù)為6n3+36n2+66n+34， 浮點乘法運(yùn)算次數(shù)為6n3+36n2+62n+27。 序貫平差計算過程中還包括一次n階矩陣求逆的運(yùn)算。

由以上分析可知，當(dāng)變量保持不變時，傳統(tǒng)最小二乘的運(yùn)算量和歷元數(shù)成正比，而序貫平差的運(yùn)算量保持不變，當(dāng)歷元數(shù)大于5時，序貫平差的運(yùn)算量開始小于最小二乘。

3LAMBDA方法求解整數(shù)解

模糊度的整數(shù)解按照估計準(zhǔn)則式(2)來進(jìn)行搜索，即求χ2(α)的最小值。需要在離散空間中模糊度計算χ2(α)求取最小值，沒有標(biāo)準(zhǔn)解法。首先需要將整數(shù)解空間Zn縮小到一個子空間，且該子空間包含整數(shù)解。該子空間可以表示為[13]

(14)

3.1基本原理

LAMBDA算法基本原理為[13-14]：

1)a∈Zn， 尋找n×n階矩陣Z， 滿足：a為整數(shù)時，z=ZTa也為整數(shù)；z為整數(shù)時，a=(ZT)-1z也為整數(shù)。此條件等價于[8]：Z中所有元素為整數(shù)，且det(Z)=±1；

2)對原始矩陣做如下變換：

(15)

(16)

搜索空間變換為

(17)

3.2搜索空間的確定

4整周模糊度確認(rèn)

整周模糊度求解的最后一個步驟是模糊度確認(rèn)，主要功能是從可能的整周模糊度整數(shù)解中選取最優(yōu)解，并驗證其正確性。如果固定的模糊度錯誤，基線解將一直錯誤。

最常用的一種檢驗方法是比例檢驗法[14]，通過次小殘差平方和與最小殘差平方和的比值來檢驗，即

(18)

式(15)中，Ω2為次小殘差平方和，Ω1為最小殘差平方和，τ為閾值。ratio大于τ認(rèn)為最優(yōu)解正確。

τ的取值很關(guān)鍵，文獻(xiàn)[15]建議取2，但在實際應(yīng)用中太小，應(yīng)按照實際情況進(jìn)行取值。

單頻載波差分定位用幾個歷元來確定整周模糊度較難實現(xiàn)，正確的模糊度應(yīng)具有重復(fù)性，因此可以通過多歷元驗證模糊度的正確性，即序列有效性檢驗。由于采用序貫平差算法，隨著歷元數(shù)的增多，理論上系統(tǒng)噪聲會降低，因此正確模糊度的ratio值從整體上而言隨著歷元的增多而增大。如果連續(xù)一段時間內(nèi)，搜索到的最優(yōu)模糊度相同，ratio值均大于閾值，且整體上隨著歷元數(shù)的增多而增大，即可以認(rèn)為該組模糊度是正確的模糊度解。

基線矢量的先驗信息也可用于模糊度檢驗。在短距離定向時，可以知道基線長度的大概范圍。正確的模糊度解對應(yīng)的基線長度需要滿足該范圍，不滿足則認(rèn)為不是正確解[16]。

如果能獲取偽距觀測量，可以進(jìn)行偽距差分定位。偽距差分定位結(jié)果的誤差一般在4 m內(nèi)，可以用偽距差分計算的基線矢量同載波差分計算的基線矢量比較，兩者的誤差超過一定范圍則認(rèn)為該整數(shù)解錯誤。

5仿真實驗

通過三組實驗來驗證算法正確性和算法性能，包括4 m短基線定向?qū)嶒灐?00 m基線靜態(tài)實時差分定位(real-time kinematic，RTK)解算實驗以及3 000 m基線靜態(tài)RTK實驗。

定向?qū)嶒炘O(shè)備為定位定向接收機(jī)，可采集GPS L1頻點數(shù)據(jù)，運(yùn)行平臺為數(shù)字信號處理器(digital signal processor，DSP)。接收機(jī)的兩個天線固定放置，距離約4 m，接收機(jī)輸出L1頻點觀測數(shù)據(jù)和基線解算結(jié)果，數(shù)據(jù)頻度為1 Hz。接收機(jī)5 min內(nèi)定向成功則復(fù)位，未成功等待定向成功后復(fù)位。復(fù)位次數(shù)共計1 436次，輸出基線矢量結(jié)果的歷元數(shù)共計267 907組。

采用天寶公司GPS數(shù)據(jù)后處理軟件解算觀測數(shù)據(jù)，得到基線長度為4.056 m，基線矢量為(-3.105 m，-2.077 m，1.579 m)，方位角為64.974°。和后處理軟件計算結(jié)果比較，定位定向接收機(jī)計算的直角坐標(biāo)系下軸向誤差均在0.02 m內(nèi)，基線長度誤差在0.01 m內(nèi)，方位角誤差在0.1°以內(nèi)。誤差曲線如圖1所示。

圖1　短基線定向基線矢量誤差

1 436組觀測數(shù)據(jù)均計算出正確的整周模糊度，從可以進(jìn)入模糊度解算的歷元開始算起，最長的模糊度固定時間為470 s。整周模糊度固定時間的統(tǒng)計如表1所示。

表1　4 m基線模糊度固定時間統(tǒng)計

RTK實驗是在某樓頂架設(shè)基準(zhǔn)站，基準(zhǔn)站信息和觀測數(shù)據(jù)通過電臺發(fā)射?；鶞?zhǔn)站接收的頻點包括GPS L1/L2。流動站的電臺接收到基準(zhǔn)站數(shù)據(jù)后發(fā)送給GPS L1/L2雙頻接收機(jī)。接收機(jī)觀測數(shù)據(jù)和基準(zhǔn)站數(shù)據(jù)采集后進(jìn)行后處理仿真。首先采集1 h的GPS雙頻數(shù)據(jù)供天寶后處理軟件解算基線矢量，1 h之后流動站接收機(jī)每采集6 min數(shù)據(jù)后復(fù)位一次。由于時間所限，500 m基線實驗共復(fù)位61次，3 000 m基線共復(fù)位58次。

500 m基線天寶后處理軟件解算得到基線長度為498.086 m，基線矢量為(-61.409 m，-249.464 m，426.716 m)。和天寶后處理結(jié)果比較，本文算法的軸向誤差在0.03 m內(nèi)，基線長度誤差在0.03 m內(nèi)。誤差曲線如圖2所示。

圖2　500 m基線誤差

500 m基線整周模糊度固定時間的統(tǒng)計如表2所示。

表2　500 m基線模糊度固定時間統(tǒng)計

3 000 m基線天寶后處理軟件解算得到基線長度為2 945.623 m，基線矢量為(1 831.651 m，1 554.291 m，-1 704.679 m)。和天寶后處理結(jié)果比較，本文算法的軸向誤差在0.05 m內(nèi)，基線長度誤差在0.05 m內(nèi)。誤差曲線如圖3所示。

圖3　3 000 m基線誤差

3 000 m基線整周模糊度固定時間的統(tǒng)計如表3所示。

表3　3 000 m基線模糊度固定時間統(tǒng)計

對三組試驗的原始觀測值進(jìn)行后處理仿真，比較序貫平差和標(biāo)準(zhǔn)最小二乘解算浮點解的運(yùn)算時間，對比結(jié)果如表4。

表4　序貫平差和最小二乘解算浮點解時間比較

從實驗結(jié)果可知，序貫平差計算浮點解的計算量較穩(wěn)定，歷元數(shù)5個以上時，最小二乘的計算量超過序貫平差，且計算量和歷元數(shù)呈正比。模糊度固定時間和基線長度呈正比，主要原因是距離增加導(dǎo)致兩點之間信號傳播空間誤差的相關(guān)性降低，需要更長的時間進(jìn)行固定。基線解算誤差和基線距離呈正比，原因可能是天寶后處理軟件采用雙頻去電離層組合求解基線，而單頻差分無法完全消除電離層誤差，導(dǎo)致誤差增大。

6結(jié)束語

單頻載波差分定位具有成本低，系統(tǒng)組建簡便的特點，在某些領(lǐng)域具有較高的應(yīng)用價值。本文采用序貫平差方法計算整周模糊度浮點解，LAMBDA方法求解整周模糊度整數(shù)解，并利用ratio方法和基線矢量的先驗信息對模糊度進(jìn)行固定，實驗結(jié)果表明該方法可行。該方法具有求解速度快、計算量小、適用于實時嵌入式系統(tǒng)等特點，可應(yīng)用于靜態(tài)定向和靜態(tài)RTK等領(lǐng)域。

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A Single Frequency Ambiguity Calculation Algorithm in Fixed Baseline

ZHANGWei1，GAOShan2

(1.DaJiang Innovation Technology Co.，Ltd.，Shenzhen 518057，China；2.Guangzhou Haige Communications Group Incorporated Company，Guangzhou 510663，China)

Abstract：Generally，the fixed baseline’s single frequency integer ambiguity resolution calculated by multiple epoch data，the first step is to calculate the ambiguity float solution-traditionally use least squares method.When dealing with multiple epoch data，this method requires high-order matrix operations，leading to excessive computation.Aiming this problem，the paper proposes a new algorithm of fixed baseline single frequency multi-epoch ambiguities resolution that be combined with sequential adjustment and the LAMBDA method.Each epoch data indirect adjust by sequential adjustment algorithm in sequence.Therewith，the float ambiguities and their variance covariance matrix computed.The LAMBDA method provides the integer least-squares estimate for the ambiguities.In the last，using ratio method and auxiliary information fix the precise integer ambiguities.The result indicate this method is a small amount of calculation and can run in real time embedded platform，and with low cost to achieve high precision GPS application.

Key words：single frequency integer ambiguity；LAMBDA；sequential adjustment；fixed baseline

中圖分類號：P228

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

文章編號：2095-4999(2016)-01-0088-06

作者簡介：第一張偉(1983—)，男，江西贛州人，工程師，主要從事衛(wèi)星導(dǎo)航高精度定位研究。

收稿日期：2015-06-01

引文格式：張偉，高珊.一種固定基線單頻整周模糊度求解方法[J].導(dǎo)航定位學(xué)報，2016，4(1)：88-93.(ZHANG Wei，GAO Shan.A Single Frequency Ambiguity Calculation Algorithm in Fixed Baseline[J].Journal of Navigation and Positioning，2016，4(1)：88-93.)DOI：10.16547/j.cnki.10-1096.20160117.