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第一部分：課堂實錄

一、課堂引入：用問題激起相應(yīng)的經(jīng)驗，構(gòu)建數(shù)學(xué)活動.

師：前面我們學(xué)習(xí)過任意角的三角函數(shù)，下面我們通過幾個問題來檢測一下大家的掌握情況.

這些問題零散地分布于上一節(jié)內(nèi)容即任意角的三角函數(shù)教材的例習(xí)題之中，比如人教版必修4第12頁例1即求的正弦、余弦和正切值，但教材在處理過程中用了一句非常典型的話：易知∠AOB的終邊與單位圓的交點坐標為在這里集中呈現(xiàn)，并不是讓學(xué)生進行簡單地重復(fù)，而是讓學(xué)生交流這個“易知”背后的數(shù)學(xué)活動過程，這樣不僅有利于激起對已有經(jīng)驗的回憶，更有利于新的經(jīng)驗的產(chǎn)生.

于是在學(xué)生紛紛表明完成并進行簡單的組內(nèi)交流后提出了問題：你是怎么求這些角與單位圓的交點坐標的？

看見學(xué)生還在邊說邊深思，老師決定幫他加上一把火：那它們的終邊與單位圓的交點之間是什么關(guān)系？它們的坐標之間是什么關(guān)系？

生1繼續(xù)：兩個交點也關(guān)于原點對稱，它們的坐標互為相反數(shù).

（眾生皆點頭微笑）那么你們由此可以得出什么樣的關(guān)系式？

除了少數(shù)同學(xué)在得到正切的關(guān)系時出了點小問題但也在小組交流時順利得以解決，最后學(xué)生都得到了如下結(jié)果：

師：利用這樣的方法，你還可以求出什么角的三角函數(shù)值？

二、深入探討，將活動經(jīng)驗推廣到一般化，通過歸納演繹，形成概念.

師：剛才的探討中我們用到了三個特殊的角，大家有沒有想一下，還有更多的角不可能這么特殊，我們能不能從更一般的角入手研究一下？

生2：剛才我發(fā)現(xiàn)任何一個銳角α將其終邊繞原點逆時針方向旋轉(zhuǎn)π弧度之后所得到的角，它的三角函數(shù)值與α之間都會有一定的關(guān)系.

在大家的鼓勵下他寫出了三個式子：

sin（π＋α）=-sinα，cos（π＋α）=-cosα，tan（π＋α）=tanα.

大家的掌聲還未落，又一個學(xué)生舉起了手.

生3：我覺得這里的α不一定要是銳角，對任何一個角來說，這三個式子都成立.

眾生愕愕，但看到老師鼓勵的眼神，于是都表現(xiàn)出了探索的興趣，紛紛在各小組內(nèi)進行熱烈地討論.

隨著討論的進行，同學(xué)們的見解逐漸統(tǒng)一，生3的臉上也露出了自信的笑容.這時卻還有一個同學(xué)還在低頭默默地在紙上畫著什么，于是老師示意：你還有什么不同的看法，能不能和大家一起分享一下？

生4：我覺得這個式子好像還可以強化一下.

以生3為代表的相當部分同學(xué)頓時都用一種驚訝的眼神看向了生4.

生4：既然是將角α將其終邊繞原點旋轉(zhuǎn)，那么不管按什么方向，旋轉(zhuǎn)多少弧度，只要能使得到的角的終邊和α的終邊關(guān)于原點對稱，那么這三個式子都應(yīng)該成立！

老師看了一下頓時安靜下來陷入了思考的同學(xué)們：大家好像都不反對你的看法，可問題是這樣得到的角與α之間有什么樣的關(guān)系呢？

生4：可以寫為（2k＋1）π＋α，k∈Z（為方便敘述，下面的k都是整數(shù)）.

師：你能把你得到的關(guān)系用等式表達出來嗎？

生4在黑板上寫出了相應(yīng)的關(guān)系式：

眾生沉思之時，生5站起來了：我覺得這幾個式子還可以結(jié)合我們前面學(xué)過的公式一來理解，（2k＋1）π＋α的終邊與π＋α的終邊相同，它們的三角函數(shù)值相等.

這一下其他學(xué)生也都表示了理解，紛紛點起頭并露出了笑容.

師：看來他們兩個人思考問題的出發(fā)點雖然不一樣，但得到的結(jié)論卻完全一樣.在這個過程中他們所用到的知識和方法其實并不新鮮，都是大家在前面學(xué)習(xí)時遇到并用過的.所以我們在探求新的知識時不要局限于一種固定的角度，要敢于大膽地去嘗試，很多有趣的東西在我們探索之初我們并不知道一定就會得到這么美的結(jié)果.

三、橫向聯(lián)系，嘗試運用經(jīng)驗并進一步積累，強化概念的形成過程.

于是教室內(nèi)在安靜了幾分鐘之后再次陷入熱烈的討論之中，最后兩個同學(xué)自告奮勇地上前代表他們所在組表述探究成果.

正在學(xué)生分享探索的喜悅時，老師又提出了問題：這些式子這么美，所以我們的前輩們就稱它們?yōu)檎T導(dǎo)公式.大家能否結(jié)合我們剛才的探索再思考一下：它們可能會有哪些用途？

生8：我想對于一個數(shù)值上很大的角，我們可以利用這些公式來求它的三角函數(shù)值.

生9：我覺得這倒在其次，只是求三角函數(shù)值我們也可以通過三角函數(shù)的定義來求，過程未必會比這復(fù)雜，我覺得關(guān)鍵還在于可以把一個數(shù)值上很大的角與一個銳角的三角函數(shù)值之間產(chǎn)生聯(lián)系.

生10：我覺得這幾組公式還提示了兩個角的終邊如果關(guān)于原點對稱，關(guān)于x軸對稱，關(guān)于y軸對稱的話，就可以找到它們相應(yīng)的三角函數(shù)值之間的關(guān)系.

同學(xué)們興奮地隨著他們的表述或沉思或輕聲附和，這時老師出示了兩組問題（教材上例題）：下面就請大家用你們的聰明才智來發(fā)揮這幾組公式的用武之地，看看到底在實際問題中是怎么運用的.

四、回顧活動過程，在經(jīng)驗的運用過程中通過抽象概括，形成思想方法.

在各小組紛紛做完練習(xí)并交流之后，老師提問：在剛才的運用過程中，大家有什么感受？

生11：這些公式用起來確實很好，但是九個公式有點多，容易弄混淆，而且什么時候用哪個公式好像也有點麻煩.

師：那么我們有沒有什么辦法讓我們在用的過程中不那么容易混淆呢？

生12：我是通過畫圖來幫助我記憶運用這些公式的.

師：很好.當代數(shù)形式遇到困難時我們就用圖形來幫助，這就叫數(shù)形結(jié)合.

生13：我好像看到了一個規(guī)律，無論哪一組公式，它們對應(yīng)的三角函數(shù)名稱都沒發(fā)生變化，只是符號上有很多不一樣的地方，好像有點麻煩，暫時還沒找到規(guī)律.

這時所有同學(xué)的臉上都露出了笑容，似乎在說，真的是這樣呢.

師：那我們能不能一起來努力看這些個不同的符號有什么樣的規(guī)律呢，如果想不清楚，就可以回到我們探索這些公式的過程中去再想一想.

又是一番激烈的交流討論.

生14：任何一個終邊不在坐標軸上的角，其三角函數(shù)值都可以和一個銳角取得聯(lián)系，它們對應(yīng)的函數(shù)名稱不變，符號就是這個角所在象限對應(yīng)的三角函數(shù)值的符號.

看到其他同學(xué)都有些疑惑，老師作了一下溝通：你能不能具體地說一下是什么聯(lián)系？

生14：當這個角是第一象限角時，它可以寫成2kπ＋α的形式，它的三角函數(shù)值就等于α的三角函數(shù)值；當這個角是第二象限角時，它可以寫成（2k＋1）π-α的形式，它的三角函數(shù)值在名稱上和α的三角函數(shù)相同，但符號取決于第二象限角的對應(yīng)三角函數(shù)值的符號，比如正弦為正，余弦和正切都為負；當這個角是第三象限角時，它可以寫成（2k＋1）π＋α，它的三角函數(shù)值和α的三角函數(shù)相比名稱上沒變，符號取決于第三象限對應(yīng)三角函數(shù)值的符號；當這個角是第四象限角時，這個角可以寫成2kπ-α的形式，它的三角函數(shù)值和α的三角函數(shù)相比名稱上沒變，符號取決于第四象限對應(yīng)三角函數(shù)值的符號.

眾生都跟著點頭，并露出了會心的笑意.

師：很好.這樣具體問題具體分析，把枯燥的公式記憶連同其原理一起理解，形式上相得益彰，效果上事半功倍.可我卻有一個問題，這里的這個α一定要是銳角嗎？

同學(xué)們略微作了一下思考，都搖了搖頭：應(yīng)該不一定.但臉上都有些茫然：那該怎么說呢？這時老師寫了一個問題：的三角函數(shù)值與的三角函數(shù)值之間有什么關(guān)系呢？

這時生3再次站了起來：只要一個角的終邊與α角有一種對稱關(guān)系，那么不管α角是不是銳角，這些式子都應(yīng)該成立，這個α角都可以看成一個銳角，那么對應(yīng)的三角函數(shù)值名稱上與α的三角函數(shù)值名稱上不變，符號取決于把α看成一個銳角時，2kπ＋α、（2k＋1）π＋α、（2k＋1）πα、2kπ-α所在象限角的三角函數(shù)值的符號.

沉默片刻，教室里爆發(fā)出一陣熱烈的掌聲.

師：讓我們用掌聲我們自己的努力和智慧喝彩！下面我們再回到教材第25頁例2，大家看一看能不能用剛才我們歸納的公式來快速解決問題？

第二部分：課后反思

一、數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗的形成需要操作過程，而概念課的教學(xué)，操作的重點在概念的形成、概念的理解和概念的運用上.具體到誘導(dǎo)公式來說，在探討誘導(dǎo)公式的過程中，運用不同的操作方式讓學(xué)生明白“誘從何來，導(dǎo)出什么”是重中之重，不然無論我們花多大力氣，學(xué)生也不會明白為什么要學(xué)習(xí)這些公式，這些公式因何而來，為何而用.本節(jié)課在處理這個操作過程時借用了任意角的三角函數(shù)特別是三角函數(shù)線的概念中出現(xiàn)的四個圖（參見人教版必修4第16頁圖1.2.7），發(fā)現(xiàn)任何一個象限角，它的三角函數(shù)都和一個銳角的三角函數(shù)有關(guān)這一已有經(jīng)驗進行探索，很好地讓學(xué)生形成了利用誘導(dǎo)公式可以快速地確定一個角的三角函數(shù)值的應(yīng)用經(jīng)驗.

二、數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗的積累不可能一蹴而就，需要不斷的積累.一方面，要充分發(fā)揮它在學(xué)習(xí)新知識方面的積極作用，另一方面還要在相同的、類似的數(shù)學(xué)活動中再次積累，直至形成深刻的、豐富的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗.本節(jié)課中，我們不斷地從特殊角到一般角，從銳角到看成銳角，借助這些角的終邊與這個銳角終邊的特殊關(guān)系這一規(guī)律，再到只要兩個角的終邊具有這樣的對稱關(guān)系，我們都會得到這樣的結(jié)構(gòu)形式，從而得到一般化的公式及理解.

三、學(xué)生在概念的探索過程中，會自發(fā)地去運用一些已有的數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗，也能夠直接地獲得一些懵懂、模糊的數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗，我們有必要對學(xué)生所經(jīng)歷的數(shù)學(xué)活動通過回顧、反思等內(nèi)在的思考，通過一些邏輯性的檢驗，實現(xiàn)感性經(jīng)驗向理性經(jīng)驗的轉(zhuǎn)變，個人經(jīng)驗向?qū)W科的科學(xué)經(jīng)驗升級.本節(jié)課中，公式的探討到什么程度為止，課前并沒有預(yù)設(shè)，但隨著學(xué)生探討的不斷深入，經(jīng)驗的不斷積累，最終探討到了在教材公式的基礎(chǔ)上加上2kπ的形式，一定程度上有些意外之喜.

四、數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗都會經(jīng)歷一個以積累為目的，到積累和運用相輔相成，再到純熟的運用境界的過程.本節(jié)課中最終順應(yīng)了學(xué)生的實際，將公式擴展到在教材的基礎(chǔ)上再加上2kπ的形式，一定程度上也是為后面再學(xué)習(xí)探討三角函數(shù)圖像性質(zhì)特別是對稱性服務(wù).例如函數(shù)y=sinx的對稱中心，學(xué)生根據(jù)周期性很容易接受可以是（2kπ，0），但為什么（2kπ＋π，0）也是其對稱中心就很不容易弄明白.如果學(xué)生能夠運用到本節(jié)課中公式的探索中所積累的數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗，那么在理解上就會順暢得多，自然得多.

五、在數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗下的教學(xué)對教師的教學(xué)也是一種挑戰(zhàn).尊重學(xué)生數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗的積累與運用就意味著我們要對學(xué)生可能具有可能運用到的數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗有一個預(yù)判，也意味著課堂上將會有更多我們沒有設(shè)想到的場景和問題，也意味著我們的教學(xué)目標不能再那么固定和僵化，而要根據(jù)課堂上可能出現(xiàn)的問題進行不斷調(diào)整，更意味著我們今天所積累的數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗是為了今后的運用而要求我們的教學(xué)要有更好的前瞻性……所有這些問題，都將是擺在我們面前所要面對的挑戰(zhàn).