■湖南省長(zhǎng)沙市雅禮中學(xué)高三1318班　徐　戡

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從“動(dòng)靜”角度看數(shù)學(xué)中的“動(dòng)態(tài)”問(wèn)題

■湖南省長(zhǎng)沙市雅禮中學(xué)高三1318班徐戡

從辯證角度看，動(dòng)與靜是相對(duì)存在的.數(shù)學(xué)中“動(dòng)態(tài)”問(wèn)題的解決需要一定的想象能力，若其依據(jù)一定規(guī)律運(yùn)動(dòng)變化，則能更加考查學(xué)生的想象能力與分析能力了.不過(guò)，按照“一定規(guī)律運(yùn)動(dòng)變化”，則背后可能隱藏著不變的性質(zhì)，我們稱之為“靜”，這一“靜”便是我們解決問(wèn)題的“題眼”，若能抓住這一“靜”的本質(zhì)或利用“動(dòng)”“靜”的相互轉(zhuǎn)換，常能幫助我們突破思維的屏障、找準(zhǔn)切入點(diǎn)、明確解題方向.課堂教學(xué)中出現(xiàn)“動(dòng)態(tài)”類問(wèn)題學(xué)生都感覺(jué)難以下手，本文想結(jié)合具體案例談一談解決這類問(wèn)題常見(jiàn)的兩種策略：動(dòng)中覓靜、以靜制動(dòng)，以及動(dòng)靜轉(zhuǎn)換.下面讓我們來(lái)看幾個(gè)例子.

例1如圖1，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB=2，BC=1，E為DC的中點(diǎn)，F(xiàn)為EC（端點(diǎn)除外）上一動(dòng)點(diǎn)，現(xiàn)將△AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABC，在平面ABD內(nèi)過(guò)點(diǎn)D作 DK⊥AB，K為垂足，設(shè)AK=t，則t的取值范圍是________.

圖1

分析：這個(gè)題目背景中，“靜”的量是點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡所在的平面與直線垂直.那么能否作出這個(gè)平面呢？

解：如圖2，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AF于點(diǎn)H，又DK⊥平面ABC，所以DK⊥AF，所以AF⊥平面DHK.（平面DHK就是我們所找的垂面）

圖2

所以AF⊥HK.則點(diǎn)K相當(dāng)于在原來(lái)長(zhǎng)方形ABCD中，直線DH （DH⊥AF）與AB的交點(diǎn)，如圖3.

圖3

圖4

解析：該題背景中的不變量為：①AB中點(diǎn)M到O的距離；②點(diǎn)M到點(diǎn)C的距離.所以1（當(dāng)且僅當(dāng)O、M、C三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)）.

圖5

例3如圖5，已知正四棱錐V-ABCD可繞著AB任意旋轉(zhuǎn)，AB?平面α.若點(diǎn)V在平面α上的射影為O，則|CO|的最大值為_(kāi)________.

解析：如圖6，設(shè)線段CD的中點(diǎn)為F，線段AB的中點(diǎn)為E，VE的中點(diǎn)為M，則該題中“靜”的量為：；③棱錐側(cè)面與底面所成角為60°（∠VEF=60°）.所以我們可以采取以下策略.

圖6

評(píng)注：本題難點(diǎn)在于旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，點(diǎn)O和C都不定，很難找到突破口.策略一從運(yùn)動(dòng)中找不變的量入手，動(dòng)中覓靜，以靜制動(dòng)，這是解決這類問(wèn)題的常用手段.要留心錯(cuò)解：|OC|≤|OM|+|MF|=3，此時(shí)等號(hào)取不到，因?yàn)镺、M、E三點(diǎn)不可能不共線.策略二借助向量工具，活用向量分解，把已知向量分解為模或向量之間夾角確定的向量，化動(dòng)為靜，從而達(dá)到問(wèn)題的輕松獲解.

例4如圖7，已知圓M：（x-3）2+（y-3）2=4，四邊形ABCD為圓M的內(nèi)接正方形，E為邊AB的中點(diǎn)，當(dāng)正方形ABCD繞圓心M轉(zhuǎn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)F在邊AD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的最大值是_________.

圖7

評(píng)注：該思路把所求的向量分解轉(zhuǎn)化為?；蛳蛄恐g夾角確定的向量，以相對(duì)確定的向量來(lái)表示變化向量，從而減少運(yùn)算量、思維量，達(dá)到化變化為不變，化動(dòng)為靜，以靜制動(dòng)的效果，使問(wèn)題變繁為簡(jiǎn).

運(yùn)動(dòng)和靜止是相對(duì)的，運(yùn)動(dòng)的A相對(duì)于靜止的B，也可看成B動(dòng)A靜，利用動(dòng)靜之間的這種相對(duì)性來(lái)解決“動(dòng)態(tài)”數(shù)學(xué)問(wèn)題常能收到出人意料的效果.

例5同例4.

解析：?jiǎn)栴}可看作正方形固定，原點(diǎn)O以M為圓心，以O(shè)M為半徑做圓周運(yùn)動(dòng)，那么的最大值可以運(yùn)用數(shù)量積的幾何意義，借助圖形（圖8）易知，當(dāng)O、M、 E三點(diǎn)共線，且點(diǎn)F在點(diǎn)A處時(shí)，向量在方向上投影最大，此時(shí)

圖8

評(píng)注：該問(wèn)題按常規(guī)思維去解決會(huì)顯得復(fù)雜，甚至束手無(wú)策，但換個(gè)角度，把多點(diǎn)運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)化為單點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，脫掉復(fù)雜的外衣，使原問(wèn)題難度大大降低，真是“山窮水盡疑無(wú)路，柳暗花明又一村”.

例6同例3.

解析：?jiǎn)栴}可看作四棱錐不動(dòng)，平面α繞著AB轉(zhuǎn)，則V在平面α上的射影為O的軌跡是以VE為直徑的圓弧，且垂直CD（如圖9），|OC|2=|OF|2+|CF|2≤

圖9

評(píng)注：該思路運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的相對(duì)性，突破常規(guī)，反客為主，進(jìn)行動(dòng)靜轉(zhuǎn)換，體現(xiàn)出思維的靈活性和廣闊性，把化歸與轉(zhuǎn)化及數(shù)形結(jié)合的思想運(yùn)用得淋漓盡致，可謂妙哉！

數(shù)學(xué)問(wèn)題因?yàn)樽兓`動(dòng)，因?yàn)殪`動(dòng)而難以把握.所以在分析問(wèn)題中，若能多考慮現(xiàn)象背后的本質(zhì)，緊扣能支持這種變化的不變性，有意識(shí)地培養(yǎng)動(dòng)中覓靜、動(dòng)靜轉(zhuǎn)換的策略，那么問(wèn)題的解決便成為可能.F