■浙江省奉化市第二中學(xué)　董　義

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例談雙參數(shù)問題解決策略

■浙江省奉化市第二中學(xué)董義

含參數(shù)的數(shù)學(xué)問題一直是高考中的重點和難點，其中有不少試題含有雙參數(shù)，對于這些問題，很多同學(xué)望而生畏，騎虎難下，深感困難重重，難以決策.然而，對于此類題目，并非無規(guī)可尋.下面筆者結(jié)合平時的教學(xué)實踐談?wù)勌幚黼p參數(shù)問題的解決辦法，不當(dāng)之處，歡迎批評指正.

一、活用基本不等式解決雙參數(shù)問題

均值不等式所反映的是兩個參數(shù)和、平方和與積兩兩之間的不等關(guān)系，當(dāng)問題的目標(biāo)是有關(guān)兩個參數(shù)和與積的形式，而條件命題又可以轉(zhuǎn)化為關(guān)于這兩個參數(shù)的和積問題時，我們就可以嘗試使用基本不等式求解.

例1設(shè)m，n∈R，若直線（m+1）x+（n+1）y-2=0與圓（x-1）2+（y-1）2=1相切，求m+n的取值范圍.

分析：從題設(shè)條件來看，已知直線方程含有雙參數(shù)m、n，另外直線與圓相切，從而我們可以利用直線與圓相切的充要條件得到兩參數(shù)m、n之間的等量關(guān)系d=化簡得mn=m+n+1，為此，我們可以找到m與n之間的關(guān)系，利用基本不等式進(jìn)行求解.

解：由直線（m+1）x+（n+1）y-2=0與圓（x-1）2+（y-1）2=1相切，知圓心（1，1）到直線的距離為=1，化簡得mn=m+n+1.（*）

根據(jù)化簡后式子的結(jié)構(gòu)特征，充分利用基本不等式求得所求范圍，這其中要注意變量的范圍.

二、通過轉(zhuǎn)化成一個參數(shù)解決雙參數(shù)問題

不少含雙參數(shù)問題的題目中，經(jīng)?？梢酝ㄟ^轉(zhuǎn)化為一個參數(shù)問題來解決，這樣無疑開闊了解題思路，發(fā)散了解題思維.

例2已知ex-（a+1）x-b≥0，求（a+1）b的最大值.

解析：令f（x）=ex-（a+1）x-b，則f（x）≥0恒成立，只需f（x）min≥0即可.

又f′（x）=ex-（a+1），

①若a+1＜0時，f′（x）＞0，f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增，當(dāng)x→-∞時，f（x）→-∞與f（x）≥0矛盾，不符題意；

②若a+1=0時，則（a+1）b=0；

③若a+1＞0時，由f′（x）=0得x=ln（a+1），

當(dāng)x＜ln（a+1）時，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x＞ln（a+ 1）時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；故f（x）min=f（ln（a+1））=a+1-（a+1）ln（a+1）-b.

由f（x）min≥0得b≤（a+1）-（a+1）ln（a+1），所以（a+ 1）b≤（a+1）2-（a+1）2ln（a+1）.

設(shè)F（a）=（a+1）2-（a+1）2ln（a+1），則F′（a）=（a+1）（1-2ln（a+1））.

此時處理F（a）=（a+1）2-（a+1）2ln（a+1）亦可采取換元法：

令t=a+1＞0，g（t）=t2-t2lnt，則g′（t）=t（1-2lnt）.由g′（t）= 0，得

本題含有的兩個參數(shù)蘊含在不等式中，采用直接的恒等變形行不通，解法中體現(xiàn)了自然的思路，順勢推導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)取零找分界點或按照導(dǎo)數(shù)符號尋分類標(biāo)準(zhǔn)，配以結(jié)論實行恒等變形，轉(zhuǎn)化成單參數(shù)構(gòu)造函數(shù)求解，突出辯證思維，化歸雙參數(shù)為單參數(shù)，必須具備扎實的知識變通能力.

三、巧用線性規(guī)劃解決雙參數(shù)問題

線性規(guī)劃是專門用來解決線性約束條件下求線性（或具有幾何意義的非線性）目標(biāo)函數(shù)的范圍或最值問題.對于一些含雙參數(shù)的數(shù)學(xué)問題，若目標(biāo)式關(guān)于參數(shù)線性（或具有幾何意義的非線性）時，我們就可以考慮用線性規(guī)劃的知識求解.

例3已知函數(shù)f（x）=4ax3-2bx-a+b（a＞0，b∈R），若-1≤f（x）≤1對x∈［0，1］恒成立，求a+b的取值范圍.

（1）當(dāng)b≤0時，f′（x）=12ax2-2b≥0在［0，1］上恒成立，f（x）單調(diào)遞增.

由（1）、（2）得，當(dāng)x∈［0，1］時，f（x）max=max{f（0），f（1）}=

（3）當(dāng)b≤2a時，f（x）+f（x）max=（4ax3-2bx-a+b）+（3ab）=4ax3-2bx+2a≥4ax3-4ax+2a=2a（2x3-2x+1）.

（4）當(dāng)b＞2a時，f（x）+f（x）max=（4ax3-2bx-a+b）+（ba）=4ax3+2b（1-x）-2a＞4ax3+4a（1-x）-2a=2a（2x3-2x+ 1）.令g（x）=2x3-2x+1（0≤x≤1），則g′（x）=6x2-2=當(dāng)時，g′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減；當(dāng)時，g′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增.

即g（x）＞0.

由（3）、（4）得，f（x）+f（x）max≥0，即f（x）≥-f（x）max≥-1符合題意，?x∈［0，1］，則f（x）max≤1.

利用線性規(guī)劃知識，其可行域為三角形區(qū)域，注意邊界的虛實，目標(biāo)函數(shù)為z=a+b.當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z=a+b分別過P（1，2）、Q（0，-1）時，有zmax=3、zmin=-1，故所求z=a+b的取值范圍為（-1，3］.

本題含有的兩個參數(shù)相互關(guān)聯(lián)、制約，不能以靜態(tài)觀點研究，在沒任何預(yù)見性的情況下，采取“保守”的穩(wěn)妥策略，看導(dǎo)數(shù)符號來找分類的臨界點，進(jìn)行第一層分類，也是實現(xiàn)單調(diào)性的分類之法，繼之分別研究函數(shù)最值又產(chǎn)生新的分類分界點，進(jìn)行第二層分類，正是關(guān)聯(lián)雙參數(shù)的整體結(jié)構(gòu)分類，其中不等式聯(lián)立形成約束條件，活用線性規(guī)劃背景中的目標(biāo)函數(shù)探尋結(jié)論，最后不能忘分類的整體性.

四、活用不等式性質(zhì)解決雙參數(shù)問題

不等式具有很多基本的性質(zhì)，關(guān)于不等式的變形與轉(zhuǎn)化都離不開它的性質(zhì).在有關(guān)以不等式為背景條件或可以轉(zhuǎn)化為不等式為背景條件的有關(guān)數(shù)學(xué)問題中，我們不妨利用不等式的性質(zhì)來嘗試求解問題.

（Ⅰ）若曲線y=f（x）在點P（2，f（2））處的切線方程為y=3x+1，求函數(shù)f（x）的解析式；

（Ⅱ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；

解析：（Ⅰ）（Ⅱ）略.

五、巧用不等式恒成立的解決方法化解雙參數(shù)問題

含雙參數(shù)問題中，有時可以轉(zhuǎn)化為不等式的恒成立問題，進(jìn)而可以運用其幾何意義，轉(zhuǎn)化為兩圖像的相交、相切問題，結(jié)合圖像易于求解.

例5已知函數(shù)f（x）=ln（x+1）-f（0）x-f′（0）x2+2.

（Ⅰ）求f（x）的解析式及遞減區(qū)間；

（Ⅱ）若f（x）≤x2+ax+b，求的最小值.

分析：本題背景是以e為底的對數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)的和，已知不等式小于等于二次函數(shù)恒成立，求最小值的問題.主要考查導(dǎo)數(shù)應(yīng)用、函數(shù)單調(diào)性，以及由不等式恒成立求含有雙參數(shù)式子的最值等問題.第（Ⅰ）問可通過賦值求導(dǎo)求出待定系數(shù)的值，進(jìn)而求出解析式，再用導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)區(qū)間.第（Ⅱ）問可以通過分離函數(shù)，將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為動直線與定曲線的位置關(guān)系問題，最后運用幾何意義求出最值.

解：（Ⅰ）由f（x）=ln（x+1）-f（0）x-f′（0）x2+2，得f（0）= 2，求導(dǎo)得，所以f′（0）=1-f（0） =-1，故f（x）的解析式為f（x）=ln（x+1）+x2-2x+2.可求得遞減區(qū)間為（過程略）

（Ⅱ）因為f（x）≤x2+ax+b，由（Ⅰ）知f（x）=ln（x+1）+x2-2x+2，代入整理分離函數(shù)得ln（x+1）≤（a+2）x+b-2.此不等式恒成立的幾何意義是：當(dāng)x＞-1時，曲線C：y=ln（x+1）恒在直線l：y=（a+2）x+b-2的下方或與直線只有一個公共點，圖像如圖1所示，由圖知直線斜率a+2＞0.

圖1

設(shè)直線l′是與直線l的斜率相同且與曲線C相切于點P（t，ln（t+1））的直線，因為，所以曲線在點P處切線的斜率為，所以切線l′的方程為，即y=

因為g′（t）=ln（t+1）-1，令g′（t）=0，得t=e-1，當(dāng)-1＜t＜e-1時，g′（t）＜0；當(dāng)t＞e-1時，g′（t）＞0.所以g（t）min=g（e-1）= 1-e，即g（t）≥1-e，所以故的最小值為1-e，此時，所以

分離函數(shù)，數(shù)形結(jié)合，平移直線與曲線相切，用不等式放縮將雙參數(shù)最值問題轉(zhuǎn)化為以切點橫坐標(biāo)為單參數(shù)的最值問題，解法充分展示了化歸轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想的無窮魅力.

總之，解決雙參數(shù)問題的方法遠(yuǎn)不止以上幾種，只要我們抓住雙參數(shù)的相互關(guān)聯(lián)性，在教學(xué)中善于發(fā)現(xiàn)、總結(jié)，善于思考，以達(dá)到做一題，會一片，通一類的功效.F