■江蘇省邗江中學(xué)　葛　光

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跨越導(dǎo)數(shù)誤區(qū)實(shí)現(xiàn)高效學(xué)習(xí)——例析導(dǎo)數(shù)學(xué)習(xí)中的錯解

■江蘇省邗江中學(xué)葛光

近幾年，高考對導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、導(dǎo)數(shù)的幾何意義（切線）的考查力度增大，并在此基礎(chǔ)上，通過構(gòu)建函數(shù)模型，發(fā)揮導(dǎo)數(shù)作為一種研究函數(shù)性質(zhì)的工具的作用，綜合考查單調(diào)性、極值、最值，也經(jīng)常結(jié)合不等式、數(shù)列等知識，解決一些實(shí)際生活中的應(yīng)用問題.

在教學(xué)的過程中，筆者發(fā)現(xiàn)，由于學(xué)生概念模糊，處理問題的基本步驟不清晰，以及處理綜合性問題的知識面狹隘，稍有疏忽便很容易進(jìn)入下述的幾個誤區(qū)，特整理如下，以期改正錯誤，加深對知識點(diǎn)的理解和熟練運(yùn)用.

一、跨越對導(dǎo)數(shù)的概念理解的誤區(qū)

理解導(dǎo)數(shù)的基本概念，謹(jǐn)記解決問題的基本步驟，是使用導(dǎo)數(shù)解決問題的根本，才能真正發(fā)揮導(dǎo)數(shù)的工具性作用，培養(yǎng)從新角度觀察問題的能力，讓導(dǎo)數(shù)成為解決數(shù)學(xué)問題的又一利器.

例1已知f′（x0）=4，求

錯解：由k→0時，f（x0-k）→f（x0），2k→0，

剖析：沒有充分理解導(dǎo)數(shù)定義的形式：f′（x0）=

形式中不僅要求Δx→0，f（x0+Δx）→f（x0），而且要求分母為分子中兩變量之差.在公式中Δx形式變化，f′（x0）還可以寫成或或或等.

剖析：許多同學(xué)都會認(rèn)為本題與例1是同一類型，因而誤選C.其實(shí)本題與例1是有區(qū)別的，例1在x0處一定有定義且連續(xù)，而本題極限存在，在x0處f′（x）可能沒有意義，有定義f（x）在x0處可能不連續(xù)，這樣f（x）在x0處都不可導(dǎo).例如f（x）=x（x≠0），，但f（x）在0處不可導(dǎo).

二、跨越導(dǎo)數(shù)的幾何意義理解的誤區(qū)

導(dǎo)數(shù)的幾何意義是學(xué)生理解并運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的必要條件，對導(dǎo)數(shù)的幾何意義和導(dǎo)數(shù)與切線的關(guān)系掌握不深刻，將會在解題中遇到障礙.

例3下面說法正確的是（）.

A.若f′（x0）不存在，則曲線y=f（x）在點(diǎn)（x0，f（x0））處就沒有切線

B.若曲線y=f（x）在點(diǎn)（x0，f（x0））處有切線，則f′（x0）必存在

D.若y=f（x）在點(diǎn)（x0，f（x0））處的切線斜率不存在，則曲線在該點(diǎn)處沒有切線.

錯解：選A、B、C、D.

剖析：對導(dǎo)數(shù)的幾何意義和導(dǎo)數(shù)與切線的關(guān)系掌握不全面，y=f（x）在x=x0處可導(dǎo)，f′（x0）為y=f（x）在點(diǎn)（x0，f（x0））處切線的斜率；在x=x0處導(dǎo)數(shù)存在，y=f（x）在點(diǎn)（x0，f（x0））處切線一定存在；在x=x0處導(dǎo)數(shù)不存在，若Δx→0時，在x=x0處切線仍存在.例如函數(shù)在x=0處導(dǎo)數(shù)不存在，但存在切線x=0；同樣函數(shù)y=f（x）在x=x0處存在切線，在點(diǎn)（x0，f（x0））處導(dǎo)數(shù)可能存在，也可能不存在.

正解：通過上述剖析知，本題應(yīng)選C.

三、跨越函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)符號判斷條件的誤區(qū)

導(dǎo)數(shù)作為一種工具，可以解決函數(shù)的最值和單調(diào)性等問題，通過導(dǎo)數(shù)符號的判斷，可以得到函數(shù)的單調(diào)性.然而學(xué)生在解決問題時卻忽視了結(jié)論成立的等價性，從而出錯.

錯解：由y=f（x）在（-∞，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)，對任意x∈R都有f′（x）＞0恒成立，即f′（x）=x2-2（4m-1）x+ 15m2-2m-7＞0，對一切x∈R恒成立，則有Δ=4（4m-1）2-4（15m2-2m-7）＜0恒成立，解得2＜m＜4，此即為m的取值范圍.

剖析：f′（x）＞0是在（-∞，+∞）上y=f（x）為增函數(shù)的充分條件，而不是充要條件，y=f（x）為增函數(shù)，f′（x）有限個值可能為零.例如y=x3在（-∞，+∞）上為增函數(shù)，f′（x）= 3x2＞0，只有在x=0處f′（x0）=0.其充要條件應(yīng)是：y=f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，則f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)單調(diào)遞增（遞減）?對任意的x∈（a，b）都有f′（x0）≥0（f′（x0）≤0）且在（a，b）內(nèi)的任一非空子區(qū)間上f′（x0）≠0.

正解：由f（x）在R上是增函數(shù)，所以對任意x∈R都有f′（x0）≥0恒成立，即x2-2（4m-1）x+15m2-2m-7≥0對一切x∈R恒成立，Δ=4（4m-1）x2-4（15m2-2m-7）≤0即可，解得2≤m≤4.由于m=2或m=4時，使f′（x）=0的僅是孤立的點(diǎn)，故m的取值范圍是［2，4］.

對于考慮數(shù)學(xué)問題一定要完整，這是解題的關(guān)鍵．然而用如此方法解題也會出錯.

因為x＞-2，所以（x+2）2＞0，所以2a-1≥0，即故實(shí)數(shù)a的取值范圍為

剖析：可導(dǎo)函數(shù)f（x）在區(qū)間I上單調(diào)的充要條件是f′（x）≥0或f′（x）≤0在區(qū)間I上恒成立，且f′（x）在區(qū)間I上不恒為零.此例錯在沒有檢驗由此求得的參數(shù)取值范圍的端點(diǎn)值是否會使f′（x）恒為零而導(dǎo)致出錯.

因此，在運(yùn)用導(dǎo)數(shù)探求由含參數(shù)的函數(shù)f（x）在區(qū)間D上具有單調(diào)性，求其參數(shù)的取值范圍這一類問題時，將問題轉(zhuǎn)化為f′（x）≥0或f′（x）≤0在區(qū)間D上恒成立，由此求得的參數(shù)的取值范圍，必須要檢驗參數(shù)的取值范圍的端點(diǎn)值是否使f′（x）恒為零，若不恒為零，則取端點(diǎn)值，若恒為零，則不能取端點(diǎn)值.

四、跨越極值存在判斷條件的誤區(qū)

極值存在的條件是在極值點(diǎn)處附近兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)值應(yīng)異號．“f′（x0）=0是函數(shù)f（x）在x0處有極值的必要不充分條件”，例如：f（x）=x3在x=0處f′（0）=0，但f（x）在R上是遞增的，無極值.

例6函數(shù)f（x）=x3-ax2-bx+a2在x=1處有極值10，則a、b的值為_______.

剖析：函數(shù)可導(dǎo)，導(dǎo)數(shù)值為零只是該處取得極值的必要條件，要使在x=x0處取得極值，還要求y=f′（x）在x=x0處左右兩側(cè)符號相反（充分條件）.上述錯解錯在把必要條件當(dāng)作充要條件.

由此可知，涉及極值問題，一定要判斷極值點(diǎn)兩端的符號是否異號，進(jìn)而判斷是極大值還是極小值.函數(shù)y=f（x）在x=x0處取得極值的充要條件是f′（x0）=0且f′（x）在x=x0兩側(cè)符號相反.

五、跨越曲線在某點(diǎn)處的切線與過某點(diǎn)的切線問題的誤區(qū)

曲線y=f（x）在點(diǎn)P（x0，y0）處的切線是指一點(diǎn)P為切點(diǎn)的切線，若存在，只有一條，其方程為y-y0=f′（x0）（x-x0）；而曲線y=f（x）過點(diǎn)P的切線，其切點(diǎn)不一定是點(diǎn)P，且切線也不一定只有一條，此時無論點(diǎn)P是否在曲線y=f（x）上，一般解法是：先設(shè)切點(diǎn)為Q（x1，f（x1）），切線方程為yf（x1）=f′（x1）（x-x1）①，再把點(diǎn)P的坐標(biāo)代入方程①解得x1，最后把解得的x1（可能不止一個）代入方程①化簡即得所求的切線方程.

分析：本題是求曲線過點(diǎn)P（2，4）的切線方程，因而不能把曲線過點(diǎn)P的切線錯誤理解成曲線在點(diǎn)P處的切線來求解，所以應(yīng)先求切點(diǎn)坐標(biāo).

總之，“曲線y=f（x）在（x0，y0）處的切線”有兩層含義：一是點(diǎn)（x0，y0）在曲線上，即y0=f（x0）；二是點(diǎn)（x0，y0）為切點(diǎn).而求曲線y=f（x）過點(diǎn)P（x0，f（x0））處的切線方程，則點(diǎn)P不一定為切點(diǎn).

六、跨越恒成立問題與能成立問題的誤區(qū)

恒成立問題和能成立問題是高考中一類最常見的題型，幾乎每年都有所涉及.這類問題的解決，大都可以用函數(shù)的觀點(diǎn)來審視，用函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)來處理.而導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)性質(zhì)的有力工具，因而用導(dǎo)數(shù)解決能成立、恒成立問題就順理成章了.

求證：有且僅有一個正實(shí)數(shù)x0，使得g8（x0）≥gt（x0）對任意正實(shí)數(shù)t成立.

剖析：解決這類問題時，首先把問題看成不等式恒成立問題，利用恒成立問題的解法，把問題轉(zhuǎn)化成為函數(shù)的最值問題，進(jìn)一步證明滿足條件的x0有且僅有一個.

對于這類問題，首先將存在x0使f（x）≥g（x）成立，轉(zhuǎn)化成存在x0使F（x）=f（x）-g（x）≥0成立問題，再利用導(dǎo)數(shù)方法探究F（x）的單調(diào)性及最值.

導(dǎo)數(shù)作為一種重要的解題工具，在處理高中數(shù)學(xué)的函數(shù)問題中有著不可替代的作用.運(yùn)用導(dǎo)數(shù)探求函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等問題時，只要注意對以上幾種誤區(qū)多加甄別，在平時的解題訓(xùn)練中多思，多做，長期以往必然會取得長足的進(jìn)步.F