■重慶育才中學(xué)　王歷權(quán)■重慶育才中學(xué)　黨忠良■重慶育才中學(xué)　郭曉俊

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也談“RMI原理”與仿射變換下有關(guān)圓與橢圓的若干問題*

■重慶育才中學(xué)王歷權(quán)
■重慶育才中學(xué)黨忠良
■重慶育才中學(xué)郭曉俊

文［1］中，俞建英、蔣亮兩位老師給出了“RMI原理”的工作機(jī)制，如圖1，證明了映射的若干性質(zhì)，還給出了映射φ的若干應(yīng)用實(shí)例.本人深受啟發(fā)，結(jié)合日常教學(xué)中的一些思考，再談?wù)劇癛MI原理”下有關(guān)圓與橢圓的若干問題，請(qǐng)同行斧正.

*本文系重慶市教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃課題（課題批準(zhǔn)號(hào)：2014-00-021）《基于促進(jìn)學(xué)生理解數(shù)學(xué)本質(zhì)的中學(xué)數(shù)學(xué)核心概念及思想方法的教學(xué)實(shí)踐與評(píng)價(jià)研究》的部分研究成果.

圖1

一、仿射變換與“RMI原理”

解析幾何中的仿射變換即是RMI原理的具體應(yīng)用.事實(shí)上，文［1］中的映射是最簡(jiǎn)易的仿射變換，這里先給出一般情形下的二維仿射變換，其相關(guān)性質(zhì)詳見文獻(xiàn)［1］.

圖像的壓縮、平移、旋轉(zhuǎn)都是常見的仿射變換，比如，反比例函數(shù)的圖像是雙曲線，在直角坐標(biāo)系中，函數(shù)的圖像上任取一點(diǎn)P（x，y），設(shè)x軸正向逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至與OP重合時(shí)所轉(zhuǎn)過的最小正角為θ，令現(xiàn)將OP順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到P′（x′，y′），則有因此得到

又xy=1，所以有x2′-y2′=2，其圖像等軸雙曲線，由于旋轉(zhuǎn)不改變曲線形狀，故函數(shù)的圖像是雙曲線.

圖形經(jīng)過任何仿射變換后都不變的性質(zhì)（量）稱為圖形的仿射性質(zhì)（仿射不變量）.

性質(zhì)1兩個(gè)三角形面積之比是仿射不變量.

證明：在笛卡爾坐標(biāo)系下，不共線三點(diǎn)P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3）經(jīng)過仿射變換后，對(duì)應(yīng)點(diǎn)為P1′（x1′，y1′），P2′（x2′，y2′），P3′（x3′，y3′），于是因此（定值）.

性質(zhì)2兩個(gè)封閉圖形面積之比是仿射不變量，且其面積的比例仍為|a11a22-a21a12|.證明此處略.

二、從仿射變換看圓與橢圓的互相變換

圖2

問題1中學(xué)教材上有一道經(jīng)典例題，如圖2，已知點(diǎn)A是圓x2+y2= 4上一動(dòng)點(diǎn)，AB⊥x軸，垂足為B，求線段AB中點(diǎn)M的軌跡方程.

問題2學(xué)生學(xué)習(xí)完圓錐曲線一章后都知道平面斜著切割圓柱得到截面痕跡為橢圓，針對(duì)這個(gè)問題，無論教材還是各類教輔都直接告知結(jié)論，思維嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)生馬上就會(huì)想到這個(gè)結(jié)論是觀察得到的還是理論證明的？如果說是直觀感受得到的結(jié)果，那么他們會(huì)說直觀上得到的認(rèn)識(shí)是感性認(rèn)識(shí)，而感性認(rèn)識(shí)未必可靠；如果說是理論上推導(dǎo)出來的，那么他們會(huì)問這個(gè)問題該如何推導(dǎo)？本文采用仿射變換的方法證明這個(gè)結(jié)論.

如圖3，設(shè)圓柱底面β半徑為r，一平面α與圓柱相交，與圓柱中軸線交于點(diǎn)O，與圓柱底面交于點(diǎn)A，設(shè)α與β所形成的二面角的平面角大小為建立如圖3所示直角坐標(biāo)系x1-O1-y1，使得y1軸與平面α垂直，在平面α中以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，AO所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系x-O-y，則y軸與y1軸平行.

圖3

在截面痕跡上任取點(diǎn)P（x，y），過P作圓柱的母線，與底面圓交于點(diǎn)P1（x1，y1），則有x21+y21=r2，如圖可知，因此在仿射變換φ的作用下，圓的方程變?yōu)閤2cos2θ+y2=r2，即其中顯然有這是一個(gè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，并且還得到一個(gè)美妙的結(jié)論：

三、仿射變換下圓與橢圓的面積

由性質(zhì)2和圓、橢圓的封閉型可知，圓與橢圓的面積間存在著某種強(qiáng)烈的關(guān)聯(lián)，我們也可以用積分等辦法求出橢圓的面積，這里談?wù)劮律洳蛔兞啃再|(zhì)在證明相關(guān)橢圓面積時(shí)的簡(jiǎn)單應(yīng)用.

問題3求橢圓的面積.

問題4如圖4，從橢圓外一點(diǎn)P引橢圓兩條切線PA，PB，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)OP交橢圓于點(diǎn)C，求證：S△AOC= S△BOC，S△AOP=S△BOP.

圖4

圖5

證明：如圖5，S△A′O′C′=S△B′O′C′，S△A′O′P′=S△B′O′P″是顯然的，因此由性質(zhì)1知，原命題成立.

事實(shí)上，由此還可以得到上述三角形的另一個(gè)性質(zhì)：

性質(zhì)3圖4橢圓中，PO平分弦AB.

有了性質(zhì)3，事實(shí)上就又產(chǎn)生了一種證明問題4的方法.

四、仿射變換下圓與橢圓的阿基米德三角形

如圖6，過圓錐曲線的弦兩端的切線與弦所圍成的三角形稱為阿基米德三角形，類似可以定義圓的阿基米德三角形：過圓的弦（非直徑）兩端的切線與弦所圍成的三角形稱為阿基米德三角形.

圖6

橢圓的阿基米德三角形擁有眾多大家所熟知的性質(zhì)，比如：

特別地，當(dāng)m=c（-c）時(shí)，點(diǎn)P（m，0）即為橢圓的右（左）焦點(diǎn)，直線即為橢圓的右（左）準(zhǔn)線.

圖7

上述兩個(gè)性質(zhì)的證明在很多文獻(xiàn)中可以看到，本文略.我們知道，橢圓可以經(jīng)過仿射變換得到對(duì)應(yīng)圖形圓：x′2+y′2=a2，因此可以猜想圓的阿基米德三角形也擁有兩個(gè)與橢圓類似的有趣性質(zhì).本文用一般方法和仿射變換的方法證明之.

性質(zhì)4′：圓C′：x′2+y′2=a2的阿基米德三角形中，弦A′B′繞著圓內(nèi)定點(diǎn)P′（m′，0）轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，阿基米德三角形另一個(gè)頂點(diǎn)Q′在一條垂直于x軸的直線上運(yùn)動(dòng).

證明（證法1）：設(shè)圓的方程是C′：x′2+y′2=a2，弦A′B′的方程為x′=ty′ +m′，聯(lián)立消去x′，得（t2+1）y′2+2m′ty′+m′2-a2=0.

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），

圖8

（定值，此處假設(shè)點(diǎn)弦A′B′不關(guān)于y軸對(duì)稱）.

證明（證法2）：由文［1］可知，仿射變換φ不改變直線與直線、曲線間的相交、相切、相離等位置關(guān)系，因此，A′Q′，B′Q′仍與圓C′相切，且A′Q′∩B′Q′=Q′.顯然，在φ：的作用下，有m′=m，直線因此，xQ′=，即點(diǎn)Q′仍在直線上運(yùn)動(dòng)，定理4′得證.

性質(zhì)5′：圓C′：x′2+y′2=a2的阿基米德三角形為A′B′Q′，弦A′B′繞著圓內(nèi)定點(diǎn)P′（m′，0）轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，直線A′Q′，P′Q′，B′Q′的斜率成等差數(shù)列.

證明（證法2）：由文［1］知，若在仿射變換下直線l對(duì)應(yīng)于直線l′，則有即

因此直線A′Q′，P′Q′，B′Q′的斜率成等差數(shù)列.

參考文獻(xiàn)：

1.俞建英，蔣亮.“RMI原理”下的橢圓研究［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上），2014（12）.

2.林呂根，許子道.解析幾何［M］.北京：高等教育出版社，2001.

3.梅向明.高等幾何［M］.北京：高等教育出版社，2004.

4.陳光明.把握核心本質(zhì)，萬變不離其宗——菱形視角下圓錐曲線問題的解答［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2015（6）.