陳興林，陳震宇

（哈爾濱工業(yè)大學(xué)控制科學(xué)與工程系，哈爾濱　150001）

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基于分?jǐn)?shù)階PID及內(nèi)模原理的長(zhǎng)行程直線電機(jī)控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)

陳興林，陳震宇

（哈爾濱工業(yè)大學(xué)控制科學(xué)與工程系，哈爾濱150001）

摘要：為了對(duì)長(zhǎng)行程直線電機(jī)進(jìn)行精確伺服控制，提出了一種結(jié)合分?jǐn)?shù)階PID及內(nèi)?？刂圃淼目刂葡到y(tǒng).以?xún)?nèi)模控制器作為電流環(huán)控制器、分?jǐn)?shù)階PID作為位置環(huán)控制器，在簡(jiǎn)化了控制器設(shè)計(jì)、降低調(diào)試難度的同時(shí)，保證了跟蹤精度.最后，對(duì)長(zhǎng)行程直線電機(jī)驅(qū)動(dòng)的光刻機(jī)掩模臺(tái)宏動(dòng)臺(tái)進(jìn)行了仿真驗(yàn)證，驗(yàn)證了所提出的控制策略的有效性.

關(guān)鍵詞：分?jǐn)?shù)階PID控制；內(nèi)模控制；控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)；直線電機(jī)；光刻機(jī)

長(zhǎng)行程直線電機(jī)由于其驅(qū)動(dòng)能力強(qiáng)、工作行程大的特點(diǎn)而被廣泛應(yīng)用于許多領(lǐng)域當(dāng)中，其控制策略的研究也成為了一個(gè)研究熱點(diǎn)[1-3].作為生產(chǎn)制造集成電路的最主要設(shè)備，光刻機(jī)是光、機(jī)、電一體化的尖端精密運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的代表，其中光刻機(jī)掩模臺(tái)宏動(dòng)部分在直線電機(jī)的驅(qū)動(dòng)下實(shí)現(xiàn)承載硅片大行程運(yùn)動(dòng)，其精度要求需要達(dá)到微米級(jí).為了達(dá)到要求精度，通常使用三環(huán)控制策略以在保證穩(wěn)定性的同時(shí)能夠提高系統(tǒng)的響應(yīng)速度.但傳統(tǒng)三環(huán)PID控制方法的控制精度無(wú)法達(dá)到要求，并且當(dāng)電流環(huán)引入PID控制器后會(huì)提高電流環(huán)閉環(huán)等效模型階次，從而造成速度環(huán)與位置環(huán)控制器參數(shù)設(shè)計(jì)困難的問(wèn)題.

為了在降低控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)難度的同時(shí)提高控制精度，本文提出了一種以?xún)?nèi)?？刂破髯鳛殡娏鳝h(huán)控制器、分?jǐn)?shù)階PID控制器作為位置環(huán)控制器的控制策略，從而降低電流環(huán)閉環(huán)等效模型階次、簡(jiǎn)化各環(huán)控制器設(shè)計(jì)；同時(shí)分?jǐn)?shù)階PID控制器的引入能夠大幅度提高系統(tǒng)精度、提高控制系統(tǒng)性能.

1　控制方法

1.1分?jǐn)?shù)階PID

分?jǐn)?shù)階PID控制最早在1999年由Podlubny教授提出，他在著作《Fractional Differential Equations》中提出分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制的基本結(jié)構(gòu)[4].較普通PID控制而言，該控制器多了2個(gè)可調(diào)節(jié)參數(shù)，即積分階次以及微分階次滋.也因此，該系統(tǒng)可通過(guò)擴(kuò)大參數(shù)整定范圍獲得更好的性能.另外，Podlubny教授還在著作中證明了其較傳統(tǒng)PID而言的強(qiáng)魯棒性[5-6].自此，分?jǐn)?shù)階PIλDμ得到廣泛發(fā)展[7]，大量研究表明該理論比傳統(tǒng)PID控制更能實(shí)現(xiàn)理想控制效果.

分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器傳遞函數(shù)為：

式中：KP、KI、KD分別為比例、積分、微分系數(shù)；姿>0、滋> 0分別為積分、微分階次.

由于積分微分存在分?jǐn)?shù)階次，在仿真和實(shí)際運(yùn)用中都不能直接使用固有模塊，因此需要對(duì)分?jǐn)?shù)階因子進(jìn)行近似公式推導(dǎo)計(jì)算，即用整數(shù)階算子近似代替分?jǐn)?shù)階.本文選用最經(jīng)典的Oustaloup算法逼近分?jǐn)?shù)階算子，在頻率段內(nèi)，可高精度實(shí)現(xiàn)分?jǐn)?shù)階微積分[8].

設(shè)工作頻段為（ωb，ωh），在該頻段內(nèi)對(duì)分?jǐn)?shù)階算子進(jìn)行近似計(jì)算.則Oustaloup遞推濾波器傳函為：

設(shè)r為分?jǐn)?shù)階算子的階次，其中r<0時(shí)為積分階次，r>0時(shí)為微分階次.由上式，2N+1為濾波器階次.則可表述成：

根據(jù)文獻(xiàn)[8]中提出的改進(jìn)Oustaloup算法，分?jǐn)?shù)階算子可以用式（5）近似：

b、d分別為大于零的常數(shù).將上式左側(cè)變形得到：

對(duì)上式右側(cè)第二項(xiàng)進(jìn)行二項(xiàng)式展開(kāi)得到：

省略上式中展開(kāi)式的二次項(xiàng)及更高項(xiàng)，得到：

將s指數(shù)項(xiàng)化簡(jiǎn)式代入上式，得到分?jǐn)?shù)階算子逼近公式為：

對(duì)于上式中，s的指數(shù)項(xiàng)可以近似化簡(jiǎn)為：

根據(jù)經(jīng)驗(yàn)公式，取b=10，d=9，ω′k和ωk分別取如下值：

1.2內(nèi)?？刂?/p>

內(nèi)?？刂芠9]作為一種新的控制策略，它是基于過(guò)程數(shù)學(xué)模型進(jìn)行設(shè)計(jì)的，其原理類(lèi)似于Smith預(yù)估器[10].相比于傳統(tǒng)的控制器，如PID控制器，內(nèi)?？刂凭哂性O(shè)計(jì)簡(jiǎn)單[11]、能夠抑制系統(tǒng)中擾動(dòng)及不確定性[12-13]、設(shè)計(jì)后系統(tǒng)閉環(huán)模型階次較低等特點(diǎn).在直線電機(jī)工作中，其所受到的外部擾動(dòng)應(yīng)該在電流環(huán)中進(jìn)行抑制，以避免其作用到外環(huán)當(dāng)中；同時(shí)在直線電機(jī)系統(tǒng)建模過(guò)程中，通常將其簡(jiǎn)化為一個(gè)二階系統(tǒng)以便于設(shè)計(jì)控制器，但這同時(shí)不可避免地引入了模型不確定性.基于上述原因，在直線電機(jī)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)中，電流環(huán)控制器將采用內(nèi)?？刂七M(jìn)行設(shè)計(jì).

圖1為典型的內(nèi)模控制下的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖.圖1中：C（s）為內(nèi)?？刂破?；G（s）為實(shí)際被控對(duì)象；M（s）為被控對(duì)象的內(nèi)部模型；r、y、yf、u和d分別為系統(tǒng)的輸入信號(hào)、輸出信號(hào)、反饋信號(hào)、控制量和外部擾動(dòng)信號(hào).

圖1　內(nèi)?？刂平Y(jié)構(gòu)Fig.1 IMC structure

通過(guò)對(duì)圖1中的結(jié)構(gòu)進(jìn)行化簡(jiǎn)可以得到系統(tǒng)給的閉環(huán)響應(yīng)及反饋信號(hào)分別為：

式中：A（s）= 1 + C（s）[G（s）- M（s）].從式（15）中可以發(fā)現(xiàn)，在模型精確、外部無(wú)擾動(dòng)的情況下，反饋信號(hào)yf為零，此時(shí)系統(tǒng)變?yōu)殚_(kāi)環(huán)形式.而在實(shí)際情況下，模型不確定性及外部擾動(dòng)是一定存在的，這樣反饋信號(hào)yf就對(duì)模型不確定性及外部擾動(dòng)做出了反應(yīng)，從而使系統(tǒng)具有閉環(huán)控制結(jié)構(gòu).

內(nèi)?？刂圃韺?shí)際上就是一種狀態(tài)觀測(cè)器的思想，根據(jù)這一思想，內(nèi)?？刂葡到y(tǒng)的設(shè)計(jì)過(guò)程可以分為以下兩個(gè)部分[14].

步驟1：過(guò)程模型分解

式中：M+（s）為模型中包含純滯后和不穩(wěn)定零點(diǎn)的部分；M-（s）為模型中的最小相位部分.

步驟2：內(nèi)?？刂破髟O(shè)計(jì)

內(nèi)模控制器通過(guò)M-（s）的逆上增加濾波器，來(lái)實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)給的穩(wěn)定性和魯棒性.給出內(nèi)?？刂破餍问綖椋?/p>

式（4）中：f（s）是一個(gè)低通濾波器，引入f（s）是為了使得控制器時(shí)有理的，其通常被設(shè)計(jì)為：

式中：r為濾波器階數(shù)，其應(yīng)選擇足夠大以保證C（s）是正則的、物理上可實(shí)現(xiàn)的；α為濾波器的時(shí)間常數(shù)，它是整個(gè)控制系統(tǒng)中唯一的設(shè)計(jì)參數(shù)，使得控制器設(shè)計(jì)變得非常簡(jiǎn)單易于調(diào)試.

2　運(yùn)動(dòng)平臺(tái)建模

根據(jù)直線電機(jī)動(dòng)態(tài)特性[15]，若u為電機(jī)輸入電壓，R為等效總電阻，L為回路總電感，i為回路電流，e為反電勢(shì)，m為負(fù)載質(zhì)量，Ke為反電動(dòng)勢(shì)系數(shù)，Kt為推力系數(shù)，F(xiàn)為電機(jī)出力，則動(dòng)態(tài)方程如下：

由于在實(shí)際過(guò)程中，電機(jī)采用專(zhuān)用驅(qū)動(dòng)器，該驅(qū)動(dòng)器采用SVPWM控制方式，即id≡0的控制策略，故對(duì)電機(jī)模型簡(jiǎn)化處理后對(duì)上式進(jìn)行拉普拉斯變換，得出其簡(jiǎn)化模型傳遞函數(shù)為：

圖2　直線電機(jī)簡(jiǎn)化模型Fig.2 Linear motor simplified model

3　控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)

為了驗(yàn)證所提出控制策略的有效性，本文以光刻機(jī)掩模臺(tái)宏動(dòng)臺(tái)作為被控對(duì)象，對(duì)其控制系統(tǒng)進(jìn)行設(shè)計(jì).在設(shè)計(jì)之前首先給出掩模臺(tái)宏動(dòng)臺(tái)所用直線電機(jī)的參數(shù)，如表1所示.

表1　直線電機(jī)參數(shù)Tab.1 Parameters of linear motor

同時(shí)，宏動(dòng)系統(tǒng)的總質(zhì)量mz= 40 kg，由于宏動(dòng)臺(tái)由4個(gè)電機(jī)共同驅(qū)動(dòng)，故單電機(jī)負(fù)載質(zhì)量m = 10 kg.

3.1電流環(huán)設(shè)計(jì)

由于內(nèi)?？刂凭哂薪Y(jié)構(gòu)直觀、參數(shù)整定容易和在線調(diào)整方便等優(yōu)點(diǎn)，本文采用內(nèi)模原理對(duì)系統(tǒng)電流環(huán)控制器進(jìn)行設(shè)計(jì).結(jié)合第2節(jié)建立的直線電機(jī)模型與第1節(jié)介紹的內(nèi)?？刂圃O(shè)計(jì)方法，可以得到系統(tǒng)電流環(huán)過(guò)程模型和控制器模型分別為：

進(jìn)一步可得到系統(tǒng)電流環(huán)閉環(huán)等效模型為Gt=.作為一個(gè)慣性環(huán)節(jié)，電流環(huán)模型相比于傳統(tǒng)的PID控制器所構(gòu)成的電流環(huán)模型更加簡(jiǎn)單，利于后面對(duì)速度環(huán)、位置環(huán)的設(shè)計(jì).

為了保證電流環(huán)在快速性、抑?jǐn)_性方面的性能，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)系統(tǒng)的電流環(huán)帶寬通常設(shè)計(jì)在1 000 Hz左右.由電流環(huán)閉環(huán)等效模型，可以得到其帶寬近似為1/（2απ），從而可以計(jì)算出控制器中時(shí)間常數(shù)近似為0.000 16.電流環(huán)閉環(huán)伯德圖如圖3所示.

圖3　電流環(huán)伯德圖Fig.3 Bode diagram of current-loop

3.2速度環(huán)設(shè)計(jì)

通過(guò)對(duì)電流環(huán)的設(shè)計(jì)，可以近似得到速度環(huán)的開(kāi)環(huán)被控對(duì)象模型為：

這表明了系統(tǒng)速度環(huán)被控對(duì)象是一個(gè)I型系統(tǒng)模型.為了獲得高增益的同時(shí)避免帶寬過(guò)高，選擇PI控制器作為速度環(huán)控制器；并且由于電流環(huán)帶寬遠(yuǎn)高于速度環(huán)，因此1/（αs + 1）部分的轉(zhuǎn)折頻率點(diǎn)遠(yuǎn)大于速度環(huán)剪切頻率.因此，速度環(huán)開(kāi)環(huán)系統(tǒng)將變?yōu)榈湫偷腎I型系統(tǒng)：

式中：PVC為速度環(huán)開(kāi)環(huán)模型；Kp、Ki分別為PI控制器的比例增益系數(shù)及積分增益系數(shù).速度環(huán)開(kāi)環(huán)系統(tǒng)幅頻特性示意圖如圖4所示.

圖4　速度環(huán)幅頻特性示意圖Fig.4 Amplitude-frequency characteristic diagram of velocity-loop

圖4中：ω3為系統(tǒng)轉(zhuǎn)折頻率；ω5為-40 dB斜率線與零分貝線相交頻率；ω4為系統(tǒng)剪切頻率，其關(guān)系如式（24）所示：

在II型系統(tǒng)設(shè)計(jì)中，為了綜合穩(wěn)定性以及系統(tǒng)的等效噪聲帶寬，無(wú)量綱增益ω4/ω3常被設(shè)為2.根據(jù)式（24）、（25）可以得到要求：ω3≥573.57 rad/s.這里選定ω3= 600 rad/s，同時(shí)通過(guò)對(duì)（23）式、（24）式求解推導(dǎo)出式（26）：

為了跟蹤所給出的正弦信號(hào)0.002 sin（10仔t）并使其跟蹤誤差不超過(guò)3滋m，速度環(huán)輸入信號(hào)可以設(shè)計(jì)為0.02仔cos（10仔t），其跟蹤誤差不超過(guò)（30仔滋m/s）.并且由于速度環(huán)開(kāi)環(huán)模型是一個(gè)II型系統(tǒng)，其跟蹤誤差可以近似為：

將各項(xiàng)參數(shù)代入（26）可以得到Kp= 129.1，Ki= 77 419.4.通過(guò)仿真可以得到速度環(huán)開(kāi)環(huán)頻率特性，如圖5所示.

由圖5可見(jiàn)，系統(tǒng)剪切頻率約為206 Hz、相角裕度53.4°，滿足設(shè)計(jì)要求.

跟蹤信號(hào)0.02仔cos（10仔t）的穩(wěn)態(tài)跟蹤誤差如圖6所示.

通過(guò)仿真結(jié)果可以得到，所設(shè)計(jì)的控制器滿足設(shè)計(jì)要求，其響應(yīng)時(shí)間為4.2 ms，穩(wěn)態(tài)誤差不超過(guò)±86.2 滋m/s的誤差帶.

圖5　速度環(huán)開(kāi)環(huán)頻率特性Fig.5 Open-loop frequency characteristic of velocity-loop

圖6　速度環(huán)穩(wěn)態(tài)跟蹤誤差Fig.6 Steady-state tracking error of velocity-loop

3.3位置環(huán)設(shè)計(jì)

為了提高系統(tǒng)控制精度、減小跟蹤誤差，在外環(huán)控制器上選擇分?jǐn)?shù)階PID作為位置環(huán)控制器.分?jǐn)?shù)階PID相比于傳統(tǒng)PID控制器，其增加了2個(gè)階次參數(shù)使得控制器性能得以進(jìn)一步提升，同時(shí)提高了系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度.

由上一節(jié)中所設(shè)計(jì)的速度環(huán)，可以得到位置環(huán)被控對(duì)象模型為：

通過(guò)之前的設(shè)計(jì)可得，分母上的三階環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率遠(yuǎn)高于位置環(huán)工作頻率，所以這個(gè)環(huán)節(jié)可以忽略.這里采用分?jǐn)?shù)階PI控制器對(duì)位置環(huán)進(jìn)行控制，得到位置環(huán)的開(kāi)環(huán)模型為：

式中：P為分?jǐn)?shù)階PI控制器的比例參數(shù)；I為分?jǐn)?shù)階PI控制器的積分參數(shù)；姿為分?jǐn)?shù)階PI控制器的積分階次參數(shù).通過(guò)式（11）的近似以及對(duì)其中相應(yīng)控制參數(shù)的調(diào)試，得到一組較為合適的參數(shù)：r=-0.5，N=4，[ωl，ωh] = [0.000，110 000（Hz），b = 10，d = 9，P = 1 000，I = 15.通過(guò)Simulink仿真得到系統(tǒng)跟蹤信號(hào)0.002sin（10 πt）的位置跟蹤誤差曲線及穩(wěn)態(tài)誤差曲線分別如圖7和圖8所示.其中所提出的三環(huán)控制策略還與一組調(diào)試出來(lái)的效果較好的傳統(tǒng)三環(huán)PID控制策略進(jìn)行了對(duì)比，結(jié)果如圖7所示.

圖7　位置環(huán)跟蹤誤差Fig.7 Positioning tracking error

圖8　分?jǐn)?shù)階PID方法位置環(huán)穩(wěn)態(tài)跟蹤誤差Fig.8 Steady-state positioning tracking error by fractional order PID

由仿真結(jié)果可以得到，宏動(dòng)系統(tǒng)位置跟蹤穩(wěn)態(tài)誤差不超過(guò)±2.15滋m、調(diào)節(jié)時(shí)間為15 ms，而傳統(tǒng)三環(huán)PID控制策略跟蹤誤差在±20滋m左右，相比于傳統(tǒng)的三環(huán)PID控制策略，本文中所提出的控制策略跟蹤精度顯著提高，能夠滿足對(duì)于光刻機(jī)掩模臺(tái)宏動(dòng)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)要求.

4　結(jié)語(yǔ)

本文針對(duì)長(zhǎng)行程直線電機(jī)控制系統(tǒng)提出以?xún)?nèi)?？刂谱鳛殡娏鳝h(huán)控制器、分?jǐn)?shù)階PID作為位置環(huán)控制器的控制策略.在實(shí)際電機(jī)系統(tǒng)調(diào)試中，三環(huán)PID控制策略是工程人員最為常用的控制算法.但由于在光刻機(jī)等超精密系統(tǒng)上安裝了較多極易損壞且價(jià)格昂貴的精密光學(xué)設(shè)備，如：激光干涉儀鏡組等，故使其速度環(huán)及電流環(huán)參數(shù)調(diào)試受到諸多限制.而本文所提出

的以?xún)?nèi)?？刂谱鳛殡娏鳝h(huán)控制器的方法，相比于傳統(tǒng)的三環(huán)PID控制策略，有效地降低了控制對(duì)象的階次，使得控制器設(shè)計(jì)變得更加簡(jiǎn)便，各環(huán)參數(shù)更易于在工程實(shí)踐中進(jìn)行調(diào)節(jié).在長(zhǎng)行程直線電機(jī)控制系統(tǒng)的最外環(huán)——位置環(huán)的設(shè)計(jì)中，本文采用分?jǐn)?shù)階PID作為位置環(huán)控制算法，增加了2個(gè)可調(diào)的階次參數(shù)，彌補(bǔ)了電流環(huán)內(nèi)?？刂破骺烧{(diào)參數(shù)少、系統(tǒng)靈活性低的缺點(diǎn)，可以有效提高控制系統(tǒng)的定位精度.在本文的第4節(jié)中，以光刻機(jī)掩模臺(tái)宏動(dòng)系統(tǒng)為例，應(yīng)用文中所提出的內(nèi)?？刂谱鳛殡娏鳝h(huán)控制器、分?jǐn)?shù)階PID為位置環(huán)控制器的控制策略進(jìn)行了設(shè)計(jì)，并且對(duì)其進(jìn)行仿真.通過(guò)仿真驗(yàn)證可以發(fā)現(xiàn)，相比于傳統(tǒng)的三環(huán)PID控制策略，本文所提出的控制策略其設(shè)計(jì)方法、調(diào)試過(guò)程更為簡(jiǎn)單，并且跟蹤精度得到了顯著提升.

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Control system design of long-stroke linear motor based on fractional order PID and internal model control

CHEN Xing-lin，CHEN Zhen-yu
（Department of Control Science and Engineering，Harbin Institute of Technology，Harbin 150001，China）

Abstract：In order to achieve the precision control of the long-stroke linear motor，a control strategy combining the fractional order PID control and internal model control is proposed. The internal model controller and the fractional order controller are used for current loop and position loop respectively. This strategy can make the control of the longstroke stage system accurately，simplify the design of controller and reduce difficulty of debugging，ensuring the tracking precision at the same time. Finally，a simulation on the long-stroke stage system of lithography machine is made and the proposed method is proved to be effective.

Key words：fractional order PID control；internal model control；control system design；linear motor；lithography machine

通信作者：陳興林（1963—），男，教授，主要研究方向?yàn)轱w行器控制及仿真精密數(shù)字控制. E-mail：chenxl@hit.edu.cn

基金項(xiàng)目：國(guó)家科技重大專(zhuān)項(xiàng)基金資助項(xiàng)目（2009ZX02207）

收稿日期：2015-10-21

DOI：10.3969/j.issn.1671-024x.2016.01.012

中圖分類(lèi)號(hào)：TP391

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1671－024X（2016）01－0059－06