龔斌斌

【教學(xué)內(nèi)容】

什么是面積呢？2011版新教材中取消了原來“物體的表面或封閉圖形的大小就是它們的面積”的定義，取而代之的是“某件物品表面的大小就是某件物品表面的面積”這樣的描述，這里的“大小”不是有的大、有的小“相差”的意思，而是“每個(gè)面各有確定的大小”的意思。面的大小可以通過測量得到，測量是將一個(gè)待測的量和一個(gè)公認(rèn)的標(biāo)準(zhǔn)量進(jìn)行比較的過程，這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)量就是“面積單位”。基于這樣的思考，筆者對(duì)教材中提供的學(xué)習(xí)材料進(jìn)行了整合與優(yōu)化，在核心概念的深度、廣度和貫通度上做文章，讓學(xué)生真正把“面積”學(xué)懂、學(xué)活、學(xué)透。

一、導(dǎo)學(xué)材料結(jié)構(gòu)化——從“面”到全面

結(jié)構(gòu)化材料就是從數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)和學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)出發(fā)設(shè)計(jì)和組織的學(xué)習(xí)材料，以完善和發(fā)展學(xué)生原有數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)為目的。即教師要從數(shù)學(xué)知識(shí)體系高度“結(jié)構(gòu)化”的特點(diǎn)和學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的形成、發(fā)展規(guī)律出發(fā)，站在整體、系統(tǒng)和結(jié)構(gòu)的高度把握學(xué)習(xí)材料，提高學(xué)生原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的可利用性、穩(wěn)定性與清晰性，為新知識(shí)融入已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)創(chuàng)造條件。

【案例描述】

師：能用“面”字組詞嗎？

生：面包、面條、表面、上面、桌面……

教師根據(jù)學(xué)生的組詞，分類介紹“面”在字典里的幾種意思，提示“表面”的含義。

師：你覺得表面是什么樣的？

生：平的、各種形狀的，不是內(nèi)部的、光滑的、彎曲的……

師：能舉個(gè)例子和大家說明嗎？

生：黑板面是平的；練習(xí)本的表面是長方形的，我這塊橡皮的表面是小鴨形的；文具盒的表面就是文具盒外面這里，不是放鉛筆的里面；玻璃窗表面是光滑的，墻面就點(diǎn)粗糙了；球的表面是這樣彎曲著的……

師：馬上在身邊找兩樣物體摸一摸它的表面，說說表面在哪里，是怎樣的？

師：誰愿意介紹數(shù)學(xué)書的表面？

生：這一圈都是數(shù)學(xué)書的表面。

生：我知道上面這個(gè)面叫封面，下面這個(gè)面叫封底，還有左面這個(gè)面……

生：我還知道數(shù)學(xué)書上、下、左、右、前、后一共有6個(gè)面。

生：它們都是長方形的。

師：同學(xué)們不只找到了數(shù)學(xué)書的表面，還發(fā)現(xiàn)了它不同方向上的表面。這里的四個(gè)面，我們也可以叫它的側(cè)面。（教師邊摸各方向的面邊說）

課始導(dǎo)學(xué)的學(xué)習(xí)材料就一個(gè)“面”字，卻喚起了學(xué)生對(duì)“面”“表面”的原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的知識(shí)點(diǎn)，如平面、曲面、各種形狀的面。在描述各種面的樣子時(shí)，又生成很多新的學(xué)習(xí)材料，這些新材料成為學(xué)生明晰表面概念的一個(gè)個(gè)“生長點(diǎn)”，表面的數(shù)學(xué)含義逐步納入到學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中。最值得一提的，從數(shù)學(xué)書的表面介紹中，理清了學(xué)生原有認(rèn)知中的幾個(gè)誤區(qū)：一是簡單地認(rèn)為表面就是外面；二是對(duì)表面的單一性認(rèn)識(shí)，認(rèn)為向上的面才是表面。一個(gè)“面”字、一本數(shù)學(xué)書，兩個(gè)簡單的學(xué)習(xí)素材恰到好處地把握了學(xué)生思維的發(fā)展點(diǎn)，全面地認(rèn)識(shí)了“面”。

二、研學(xué)材料數(shù)學(xué)化——從“比“到對(duì)比

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中指出：數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué)。這個(gè)過程中要引導(dǎo)學(xué)生用一種新的思維方式進(jìn)行一種思維活動(dòng)，而不是簡單的程序操作。這就需要教師提供有效的學(xué)習(xí)材料，利于學(xué)生通過觀察、比較、類比、歸納找出事物的共性和規(guī)律，形成數(shù)學(xué)的抽象和概括，對(duì)數(shù)學(xué)有本質(zhì)的領(lǐng)悟，逐步形成數(shù)學(xué)化觀念。

1.比出大小。

【案例描述】

師：數(shù)學(xué)書的封面和它的這個(gè)側(cè)面哪個(gè)大？

生：封面大。

師：像這樣說（數(shù)學(xué)書的封）面比（數(shù)學(xué)書的側(cè)）面大。

師：說說理由？

生：封面是這么一大塊長方形，側(cè)面只是這么一小條長方形，所以……

師：一眼就看出來了是嗎？

生：封面和側(cè)面的兩個(gè)長方形都是一樣的長，封面寬一些，側(cè)面細(xì)一些，所以……

生：用我的封面和同桌的側(cè)面比一比，就知道了（邊說邊比）。

師：大家想到了觀察、重疊這些不同的方法來比出數(shù)學(xué)書封面和側(cè)面的大小。數(shù)學(xué)上“物體表面的大小，就是物體表面的面積”（板書）。數(shù)學(xué)化地比它們的大小怎么說？

生：（數(shù)學(xué)書封面）的面積比（數(shù)學(xué)書側(cè)面）的面積大。

師：選面前的兩樣物體，比比它們表面的面積，像這樣說一說。

教師在此環(huán)節(jié)中仍然采用數(shù)學(xué)書作為學(xué)習(xí)材料，在比較封面和側(cè)面的大小時(shí)，不只讓學(xué)生說出比的結(jié)果，還追問“說說理由”，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)化的過程，體會(huì)可以通過觀察、重疊或測量等比出大小。

2.比出異同。

【案例描述】

師：生活中的物體表面都有面積，那我們學(xué)過的平面圖形有面積嗎？

課件呈現(xiàn)：

生：④號(hào)和⑤號(hào)圖形沒有面積。

師：為什么沒有面積？

生：④號(hào)是一條線段，它只有長度；⑤號(hào)圖形沒有圍起來，所以沒有面積。

師：他對(duì)④號(hào)線段的解釋怎么樣？好！我們把它請出去（隱去④號(hào)）。

師：他說⑤號(hào)圖形沒圍起來就沒有面積是什么意思？

生：沒圍起來就沒有面，⑤號(hào)也只有三條邊的長度。

師：你們聽懂了嗎？用電腦畫圖時(shí)，給⑤號(hào)圖形涂顏色會(huì)發(fā)生什么情況？

生：整個(gè)屏幕都被涂上了。

師：是呀，所以只有封閉圖形才有面積（板書），我們把⑤號(hào)也請出去（隱去⑤號(hào)）那①號(hào)、②號(hào)、③號(hào)圖形都有面積嗎？它們還有什么？

生：還有長度。

生：是周長。

師：這些封閉圖形既有面積，又有周長？怎么在圖上表示出來？

生：（屏幕前比劃）涂滿色的這塊大小就是這個(gè)圖形的面積（電腦及時(shí)演示涂色）；這外面一圈的線的長度就是這個(gè)圖形的周長（電腦及時(shí)演示描線）。

師：它們?nèi)齻€(gè)圖形誰的面積大？

生：圓的最小。

一份辨析式的學(xué)習(xí)材料，既揭示了封閉圖形也有面積，也在學(xué)生的辯論分析中發(fā)現(xiàn)不封閉的圖形只能量出長度，而封閉圖形有周長也有面積。同時(shí)，通過學(xué)生現(xiàn)場涂、畫，體會(huì)周長與面積的不同，也隱含著周長是長度可量，面積也可量。

3.比出矛盾。

【案例描述】

師：周長能用尺子量出來大小，面積怎么量？比如說我們的課桌面，它的面積多大？

生：也用尺量。

師：怎么量？

生：……

師：說不清楚是嗎？能不能選一個(gè)工具來量，比如說數(shù)學(xué)書？

生：能！看看桌面能擺幾本數(shù)學(xué)書。

師：那別的工具也行嗎？（生:能）下面各小組成員合作，選擇一樣工具來量課桌面的面積，說說課桌面大約是（）個(gè)（）面。

（學(xué)生活動(dòng)后組織匯報(bào)：12個(gè)信封面、10本練習(xí)本、5本數(shù)學(xué)書、6個(gè)信封面……）

師：你們量的都是教室的課桌面？你們的課桌都一樣大？這是怎么回事？（指著板書上的匯報(bào)情況）

生：我們用的工具不一樣。

師：那這兩組同學(xué)都用的是信封，怎么也不一樣？（兩個(gè)小組的同學(xué)連忙舉起各自的信封）原來兩個(gè)信封工具也不一樣，那對(duì)這次測量你們有什么想說的？

生：隨便找工具不行，得用一樣的工具。

師：就是得有一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)才行，是嗎？

面積可量對(duì)學(xué)生來說不難理解，只是怎么量沒有方法。本次活動(dòng)的學(xué)習(xí)材料仍然是就近取材，一個(gè)是課桌，一個(gè)是裝學(xué)具的信封，還有就是學(xué)生自己的學(xué)習(xí)用品。面對(duì)老師提出的用自選的工具量一量的辦法，學(xué)生最初沒有過多的思考，但是數(shù)據(jù)匯報(bào)出來的同時(shí)，引發(fā)了學(xué)生的認(rèn)知沖突。在認(rèn)知矛盾中學(xué)生明確地提出要用一樣的工具，也就是統(tǒng)一測量的標(biāo)準(zhǔn)才行。這樣的安排比教材中小精靈提出的“可以用一種圖形作單位來量”要求更具體，讓學(xué)生自己經(jīng)歷了數(shù)學(xué)建構(gòu)、解構(gòu)、重構(gòu)的過程。

4.比出優(yōu)劣。

【案例描述】

師：信封里為各組準(zhǔn)備了一樣的標(biāo)準(zhǔn)圖形，請你們量出剩下這兩個(gè)圖形的面積。

生：我們是用小正方形量的，長方形是8個(gè)小正方形，正方形是9個(gè)小正方形；

生：我們是用圓形量的，長方形擺了8個(gè)圓形，正方形擺了9個(gè)圓形；

生：我們是用三角形量的……

師：現(xiàn)在全班出現(xiàn)了三種標(biāo)準(zhǔn)，我們把它們都請上來，（屏幕投影）大家討論討論，哪個(gè)標(biāo)準(zhǔn)作面積的“尺子”最合適呢？

生：正方形的能鋪滿，另外兩種圖形都有空余，那就不是它的面積了。圓形擺起來不方便，三角形還能兩個(gè)拼著擺……

教師仍選用教材提供的三種圖形素材，但為每組只提供了一種圖形，全班進(jìn)行對(duì)比分析，各組在應(yīng)用材料時(shí)就發(fā)現(xiàn)了自己的圖形標(biāo)準(zhǔn)的優(yōu)劣，明確了選擇圖形標(biāo)準(zhǔn)時(shí)，既要鋪滿要量的表面，還要拼擺方便的道理。

三、固學(xué)材料層次化——從“思”到反思

每節(jié)課上的鞏固練習(xí)是讓學(xué)生從“會(huì)”過渡到“熟”;再由“熟”過渡到“活”的一個(gè)過程。好的練習(xí)材料，能引起學(xué)生思考的同時(shí)促進(jìn)學(xué)生的反思學(xué)習(xí)，往往會(huì)收到事半功倍的效果。

材料一：

圖片材料（由課件依次展示）：

問題材料：（1）這個(gè)圖形有面積嗎？面積是多大？（2）提供方格圖后，能表示它的面積了嗎？（3）變個(gè)魔術(shù)，黑色圖形的面積是16個(gè)方格，面積變大了嗎？

材料二：

畫一畫：畫一個(gè)與下圖面積一樣的圖形，想一想：他們的面積為什么相同？

面積作為量與計(jì)量范疇的教學(xué)內(nèi)容，在本課教學(xué)中有三方面的問題：一是量什么？度量的對(duì)象可以是桌面、書面、黑板面、地面等；二是用什么量？學(xué)生對(duì)面積單位的選擇經(jīng)歷了從非標(biāo)準(zhǔn)單位到標(biāo)準(zhǔn)單位的過程；三是怎么量？面積單位要鋪滿所度量的對(duì)象。三個(gè)問題呈螺旋形遞進(jìn)，學(xué)生的思維也要螺旋上升，才能對(duì)面積的“面”和“大小”有深入的認(rèn)知。由上述兩份學(xué)習(xí)材料可以看出，一幅L形圖貫穿了全部的練習(xí)，可以說是一材多用，小“材”大用。通過材料一的練習(xí)，學(xué)生經(jīng)歷了“量什么？用什么量？怎么量？”的思考過程，問題（3）又將學(xué)生的思考推向質(zhì)疑，推向反思，反思中面積的概念得以重構(gòu)。材料二中有一個(gè)重要的畫等積圖形的活動(dòng)，該活動(dòng)又將“量”的知識(shí)深化，學(xué)生又要經(jīng)歷“畫什么？用什么畫？怎么畫”的思考過程，思考時(shí)又要不斷倒退一步，反思自己的操作，反思前面的思考，形狀變了、擺放形式變了……可面積不變，面積守恒的思想無需定義就已經(jīng)深入學(xué)生的頭腦中了。

“材料引起學(xué)習(xí)，材料引起活動(dòng)”。不同材料的選擇與使用、材料的不同組織與呈現(xiàn)，往往會(huì)影響學(xué)生的數(shù)學(xué)經(jīng)歷和感悟，甚至影響學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和數(shù)學(xué)能力的形成。因此，我們每一位教師要不斷提高自己的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，提高自己對(duì)學(xué)習(xí)材料的理解和把握能力，課前精心設(shè)計(jì)教學(xué)和選擇學(xué)習(xí)材料，思考和挖掘每一個(gè)學(xué)習(xí)材料的教育價(jià)值，課中把握材料生成，使學(xué)習(xí)材料的作用得到充分發(fā)揮。只要我們牽好學(xué)習(xí)材料之手，整體把握，精心梳理，智慧引領(lǐng)，定能讓小“材”大用!