米 雪, 李德生

(沈陽師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院, 沈陽 110034)

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文章編號(hào): 1673-5862(2016)01-0045-06

一類三階非線性中立型阻尼泛函微分方程的振動(dòng)性

米 雪, 李德生

(沈陽師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院, 沈陽 110034)

關(guān)于帶阻尼項(xiàng)的中立型泛函微分方程振動(dòng)性理論的研究,大多圍繞著二階微分方程進(jìn)行,對(duì)于高階微分方程討論的較少。對(duì)一類三階非線性中立型阻尼泛函微分方程,通過構(gòu)造廣義Riccati變換,并巧妙使用權(quán)函數(shù)及積分平均方法的技巧,簡(jiǎn)化了證明步驟,建立了2個(gè)新的保證此方程解振動(dòng)的定理。當(dāng)r1(t)=1時(shí),該方程即為文獻(xiàn)[13]中討論的方程, 且在證明過程中改進(jìn)了文獻(xiàn)[13]中的Riccati變換,故所得定理包含并推廣了文獻(xiàn)[13]的結(jié)果。由于該方程的一般性,所得結(jié)論不僅普遍適用于前人討論的三階泛函微分方程。亦為以后三階及更高階泛函微分方程振動(dòng)性理論的研究做了鋪墊。最后給出了2個(gè)具體實(shí)例來說明文章的主要結(jié)論。

振動(dòng)性; 三階非線性微分方程; 阻尼項(xiàng); Riccati變換方法

0 引 言

考慮如下一類非線性三階阻尼微分方程

(E)

的振動(dòng)性,全文假設(shè)下列條件成立:

定義 假設(shè)D={(t,s):t0≤s≤t<+∞},D0={(t,s):t0≤s

1)H(t,t)=0,t≥t0;H(t,s)>0,(t,s)∈D0

那么說函數(shù)H屬于Ω類,記作H∈Ω。

近年來,泛函微分方程振動(dòng)性理論的研究取得了一定的進(jìn)展。然而關(guān)于泛函微分方程振動(dòng)理論的研究大多是圍繞著一階和二階微分方程進(jìn)行的,對(duì)于高階微分方程討論的較少[1-15]。關(guān)于方程(E)的特殊情形,已有許多文獻(xiàn)作過研究。MiroslavBartusek[7-8]等討論了如下方程

(E1)

SaidR.Grace[15]研究了如下方程

(E2)

定理2[15]假設(shè)

本文的目的是研究方程(E)的振動(dòng)性,所得結(jié)果是新的。當(dāng)方程(E)中r1(t)=1時(shí),方程(E)即為林文賢[13]討論的方程。因此本文推廣了林文賢[13]給出的有關(guān)結(jié)果。

1 引 理

引理 假設(shè)x(t)為方程(E)的最終正解,令y(t)=x(t)+p(t)x(σ(t)),則存在T≥t0,當(dāng)t≥T時(shí),有y(t)>0,y′(t)>0,y″(t)>0。

證明 由x(t)為方程(E)的最終正解及條件(A3)知,存在t1≥t0,使得當(dāng)t≥t1時(shí),有x(t)>0,x(σ(t))>0,顯然,y(t)>x(t)>0,且

(1)

1) (r1(t)y′(t))′<0 或 2)(r1(t)y′(t))′>0。

如果1)成立,則存在常數(shù)M>0,t3≥t2,當(dāng)t≥t3時(shí),

(2)

對(duì)式(2)在[t3,t]上積分,由(A1)得,

(3)

故y′(t)最終為負(fù),由(A1)及1)知y″(t)最終為負(fù),因此y(t)最終為負(fù),與假設(shè)y(t)>0矛盾。因此2)式成立。則存在常數(shù)l>0,使得

(4)

(5)

又由(A1)及2)知,存在T≥t4,當(dāng)t≥T時(shí),有y′(t)>0,y″(t)>0。證畢。

2 主要定理

(6)

(7)

對(duì)任意常數(shù)T≥t0,k≥1,β>0,當(dāng)t≥T≥t0時(shí),有

(8)

其中:

則方程(E)振動(dòng)。

證明 設(shè)x(t)為方程(E)的非振動(dòng)解,不失一般性,不妨設(shè)x(t)為方程(E)的最終正解(當(dāng)x(t)為(E)最終負(fù)解類似可證)。故存在常數(shù)t1≥t0,當(dāng)t≥t1時(shí),有x(t)>0,x(σ(t))>0,x(τ(t))>0,令y(t)=x(t)+p(t)x(σ(t)),由引理1,知存在常數(shù)t2≥t1,當(dāng)t≥t2時(shí),有x(t)=y(t)-p(t)x(σ(t))≥(1-p)y(t),故由(A2)知

(9)

(10)

上不等式兩邊同乘H(t,s),并在[t3,t]上積分,得

又由上式及式(8)知

(11)

及

(12)

下證

(13)

先假設(shè)

(14)

由式(6)知,存在常數(shù)μ>0,滿足

(15)

另一方面,由(14)式知,存在常數(shù)δ>0,使得

(16)

則當(dāng)t>t4時(shí),

即對(duì)所有t>t4,有

因δ為充分大的常數(shù),故

(17)

與式(12)矛盾。因此式(13)成立。由式(12)及式(13),有

與式(7)矛盾。因此,方程(E)振動(dòng)。

定理2 假設(shè)條件(A1)～(A3)成立,函數(shù)H∈Ω,如果有函數(shù)R∈C([t0,∞),R),使得(r2R)′∈C1([t0,∞),R+),存在常數(shù)α>1,k>1,β>0,及任意常數(shù)T≥t0,當(dāng)t≥T時(shí),有

(18)

其中:

則方程(E)振動(dòng)。

證明 設(shè)x(t)為方程(E)的非振動(dòng)解,不失一般性,不妨設(shè)x(t)為方程(E)的最終正解(當(dāng)x(t)為(E)最終負(fù)解類似可證)。故存在常數(shù)t1≥t0,當(dāng)t≥t1時(shí),有

x(t)>0,x(σ(t))>0,x(τ(t))>0,令y(t)=x(t)+p(t)x(σ(t)),定義函數(shù)w(t)如定理1。則存在常數(shù)α>1,使得當(dāng)t≥t1時(shí),有

(19)

(20)

在式(20)兩邊乘H(t,s)并在[T,t]上積分,其中T≥t1,得

則對(duì)任意常數(shù)k>1,有

故當(dāng)t≥T時(shí),有

由函數(shù)H(t,s)的性質(zhì),當(dāng)t≥t0時(shí),有

即

與式(18)矛盾。因此,方程(E)振動(dòng)。

3 例 子

例1 考慮方程

(21)

即條件式(7)、式(8)均滿足。因此,由定理1知方程(21)振動(dòng)。

例2 考慮方程

(22)

因此,由定理2知方程(22)振動(dòng)。

[1]DZURINAJ.Asymptoticpropertiesofthethirdorderdelaydifferentialequations[J].NonlinearAnal, 1996,26(1):33-39.

[2]SAKER S H. Oscillation criteria of Hille and Nehari types for third order delay differential equations[J]. Commun Appl Anal, 2007,11(3):451-468.

[3]MOJSEJ I, OHRISKA J. Comparison theorems for noncanonical third order nonlinear differential equations[J]. Cent Eur J Math, 2007,5(1):154-163.

[4]MOJSEJ I, TARTALOVA A. On bounded nonoscillatory solutions of third-order nonlinear differential equations[J]. Cent Eur J Math, 2009,7(4):717-724.

[5]BACULIKOVA B, ELABBASY E M, SAKER S H, et al. Oscillation criteria for third-order nonlinear differential equations[J]. Mathematica Slovaca, 2008,58(2):201-220.

[6]AKTAS M F, TIRYAKI A, ZAFER A. Oscillation criteria for third-order nonlinear functional differential equations[J]. Appl Math Letters, 2010,23(7):756-762.

[7]BARTUSEK M, CECCHI M, DOSLA Z, et al. Oscillation for third-order nonlinear differential equations with deviating argument[J]. Abstract and Applied Analysis, 2010,9(3):1-19.

[8]BARTUSEK M, CECCHI M, DOSLA Z, et al. Unbounded solutions of third order delayed differential equations with damping term[J]. Cent Eur J Math, 2011,9(1):184-195.

[9]EL-SHEIKH M M A, SALLAM R, Mohamady N. New oscillation criteria for general neutral delay third order differential equations[J]. International Journal of Mathematics and Computer Applications Research, 2013,3(2):183-190.

[10]YANG L L, XU Z T. Oscillation of certain third-order quasilinear neutral differential equations[J]. Math Slovaca, 2014,64(1):85-100.

[11]林文賢.三階中立型分布時(shí)滯阻尼微分方程的振動(dòng)定理[J]. 瓊州學(xué)院學(xué)報(bào), 2014,21(2):7-11.

[12]林文賢.一類三階中立型阻尼方程的Philos型振動(dòng)定理[J]. 寧夏大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版), 2014,35(2):109-112.

[13]林文賢.一類三階非線性中立型阻尼泛函微分方程的振動(dòng)性定理[J]. 河南大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版), 2015,45(3):258-273.

[14]GRACE S R,AGARWAL R P,AKTAS M F.On the oscillation of third order functional differential equations[J]. Indian J Pure Appl Math, 2008,39(6):491-508.

[15]GRACE S R. Oscillation criteria for third order nonlinear delay differential equations with damping[J]. Opuscula Math, 2015,35(4):485-497.

Oscillation of third order nonlinear neutral differential equations with a damping term

MIXue,LIDesheng

(School of Mathematics and Systems Science, Shenyang Normal University, Shenyang 110034, China)

Most of the scholars who have studied the oscillation theory of neutral nonlinear differential equations with a damping term focus on the second order differential equations. There are a few conclusions about high order equations. This note is concerned with the oscillation of third order nonlinear neutral differential equations with a damping term. In this paper, by using a generalized Riccati transformation technique, general weight function and integral averaging technique skillfully, we simplify the proof steps and obtain two new sufficient conditions for the oscillation of the above equation. The equation changes into the equation of [13]whenr1(t)=1and we improve the generalized Riccati transformation of [13] . Thus the new theorems include and improve the theorems of [13]. We shall improve and unify the results given in the above mentioned papers because of the generality of equation. The results of this paper are also in preparation for the further study of oscillation of third order and higher order differential equations. Two examples are inserted to illustrate the main results.

oscillation; third order nonlinear differential equation; damping term; Riccati transformation technique

2015-08-16。

遼寧省教育廳高等學(xué)校科學(xué)研究資助項(xiàng)目(L2010513)。

米 雪(1991-),女,遼寧沈陽人,沈陽師范大學(xué)碩士研究生; 通信作者:李德生(1963-),男,吉林撫松人,沈陽師范大學(xué)教授,博士。

O175.10

A

10.3969/ j.issn.1673-5862.2016.01.011