李麗莎, 景 麗

(沈陽師范大學 數(shù)學與系統(tǒng)科學學院, 沈陽 110034)

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運籌學與控制論

不確定狀態(tài)飽和連續(xù)系統(tǒng)的H∞控制

李麗莎, 景 麗

(沈陽師范大學 數(shù)學與系統(tǒng)科學學院, 沈陽 110034)

不確定狀態(tài)飽和系統(tǒng)的模型是很常見的,在實際系統(tǒng)中很多不可避免的因素能導致這類模型不穩(wěn)定。為了使不確定狀態(tài)飽和系統(tǒng)具有較強的魯棒穩(wěn)定性,需要研究其H∞控制問題。用凸組合的方式表示系統(tǒng)的飽和項,并且對凸組合式進一步做了適當?shù)牟坏仁椒趴s處理;假設不確定項滿足范數(shù)有界不確定性結(jié)構(gòu),根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性理論,研究了不確定狀態(tài)飽和系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件,并將其轉(zhuǎn)化為易于求解的線性矩陣不等式,同時給出了系統(tǒng)的狀態(tài)反饋控制器的設計方法。狀態(tài)飽和系統(tǒng)穩(wěn)定且具有擾動衰減度γ。給出一個算例,并利用Matlab軟件進行了仿真。使用文中方法能獲得較好的魯棒鎮(zhèn)定系統(tǒng),表明了結(jié)論的正確性和有效性。

連續(xù)系統(tǒng); 狀態(tài)飽和; 不確定性;H∞控制

0 引 言

狀態(tài)飽和連續(xù)系統(tǒng)的模型廣泛地應用于各種工業(yè)系統(tǒng)當中,如含有限電功率源的電力系統(tǒng)、汽車的速度、空調(diào)的溫度等,都要滿足一定的約束條件,因此對飽和系統(tǒng)的研究是十分重要的,該類系統(tǒng)的穩(wěn)定性也成為了控制界研究的熱點問題之一。文獻[1-4]針對范數(shù)有界不確定性結(jié)構(gòu)結(jié)合狀態(tài)飽和函數(shù)的凸組合表示給出了狀態(tài)飽和系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件,并設計了反饋控制器。文獻[5]研究了不確定狀態(tài)飽和線性系統(tǒng),采用凸域法將狀態(tài)飽和函數(shù)表示成線性函數(shù)的凸組合,結(jié)合LMI算法,降低了吸引域的保守性。文獻[6-8]采用扇形區(qū)域法處理飽和項,給出了輸入飽和系統(tǒng)的穩(wěn)定條件并做了吸引域估計。

H∞控制理論涉及航空、航天、電力系統(tǒng)等領(lǐng)域,近年來成為了很多學者研究的熱點問題。文獻[9]基于LMI線性矩陣不等式方法,研究了不確定系統(tǒng)的H∞控制問題,并給出了將不確定系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為確定系統(tǒng)的H∞設計方法。文獻[10-11]解決了不確定系統(tǒng)在同時發(fā)生多個故障時,仍可以保持穩(wěn)定的H∞控制問題。文獻[12]通過引入無窮范數(shù)小于等于1的自由變量,給出了狀態(tài)飽和離散系統(tǒng)的有界實引理。文獻[13]利用積分不等式和引入自由權(quán)矩陣的方法,研究了不確定時變時滯切換系統(tǒng)的魯棒H∞控制。文獻[14-15]研究了在H∞擾動衰減指標約束下,給出了H∞容錯控制器的設計方法。

上述文獻都是基于狀態(tài)飽和系統(tǒng)穩(wěn)定性或H∞控制理論進行的研究,而在實際模型中,H∞控制理論結(jié)合不確定狀態(tài)飽和系統(tǒng)的模型也是很常見的。因此,對于不確定狀態(tài)飽和系統(tǒng)進行H∞控制有著現(xiàn)實的意義。

本文研究不確定狀態(tài)飽和連續(xù)系統(tǒng)的H∞控制問題。首先,采用凸組合方法處理狀態(tài)飽和函數(shù)。其次,利用LMI和Lyapunov函數(shù)方法,給出了系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件并給出了系統(tǒng)的狀態(tài)反饋控制器的設計方法。最后,給出反饋控制器的仿真算例,并利用Matlab軟件仿真,驗證了結(jié)論的正確性和有效性。

1 問題描述

考慮不確定系統(tǒng):

(1)

其中:x∈Dn={x|x=(x1,x2,…,xn)T∈Rn;-1≤xi≤1,i=1,2,…,n}?Rn是狀態(tài)向量;A,B1,B2,C1,D11,D12是已知適當維數(shù)實常數(shù)矩陣;ΔA,ΔB1,ΔΒ2,ΔC1,ΔD11,ΔD12是系統(tǒng)中的不確定項。假設有如下結(jié)構(gòu):

其中:E1,E2,F1,F2,F3是已知適維常數(shù)矩陣;Σ(t)是Lebesgue可測的,且滿足ΣΤ(t)Σ(t)≤I。

引理[9]對給定的常數(shù)γ>0,若對所有允許的不確定性滿足

且存在一個對稱正定矩陣P,使得

則不確定系統(tǒng)是二次穩(wěn)定的,且具有衰減度γ。

設計狀態(tài)反饋控制器:

(2)

使得系統(tǒng)(1)在反饋控制規(guī)律(2)作用下系統(tǒng)二次穩(wěn)定,同時滿足從外部擾動輸入到系統(tǒng)的被控輸出的傳遞函數(shù)的H∞范數(shù)小于給定的常數(shù)γ。

2 主要結(jié)論

定理 對于系統(tǒng)(1),對給定常數(shù)γ>0,ε>0,若存在一個對稱正定矩陣P,對角占優(yōu)矩陣G,使不等式

(3)

證明 系統(tǒng)(1)在狀態(tài)反饋控制律式(2)作用下,設G是對角占優(yōu)矩陣,且對角元素為負,則

由于

則系統(tǒng)可改寫為

(4)

若系統(tǒng)(4)二次穩(wěn)定,則系統(tǒng)(1)二次穩(wěn)定。

根據(jù)引理,若系統(tǒng)(4)滿足

(5)

則系統(tǒng)是二次穩(wěn)定的。

對于式(5),不等式兩側(cè)左乘diag(P-1,I,I),右乘diag(P-1,I,I)并令X=P-1,則有

(6)

其中

所以式(5)就可以整理為

(7)

由Schur引理,令Y=KX,則(7)與下列線性不等式等價:

3 仿真算例

設系統(tǒng)(1)中的矩陣參數(shù)為

4 結(jié) 語

本文研究了不確定狀態(tài)飽和系統(tǒng)的H∞控制問題,將狀態(tài)飽和系統(tǒng)用凸組合的形式表示,利用LMI和Lyapunov方法,證明了系統(tǒng)的穩(wěn)定性,同時給出了系統(tǒng)的反饋控制器設計方法,并用Matlab驗證了結(jié)論的有效性。

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H∞control of uncertain continuous system with state saturation

LILisha,JINGLi

(School of Mathematics and Systems Science, Shenyang Normal University, Shenyang 110034, China)

Model of uncertain system with state saturation is common. In actual systems, there are many unavoidable factors making the systems unstable. In order to make the uncertain systems with state saturation have stronger robust stability,H∞control is necessary. The saturation item of the system is represented by convex combination, and then it is appropriately processed with inequation scaling further; Under assuming that the norm of the uncertain item of uncertain state system is bounded, the sufficient condition for the state saturating system stability is obtained by Lyapunov function method. Transform it into easily solved linear matrix inequalities, at the same time design a state feedback controller for the system. state saturating systems are stable which have disturbance attenuationγ. An example is given and simulated with MATLAB in the paper. Using the method in this paper can robust stabilize the systems, which indicates the correctness and effectiveness of the results.

continuous system; state saturation; uncertainy;H∞control

2015-10-07。

遼寧省教育廳科學研究一般項目(L2014435)。

李麗莎(1990-),女,遼寧沈陽人,沈陽師范大學碩士研究生; 通信作者:景 麗(1967-),女,遼寧沈陽人,沈陽師范大學副教授,博士。

1673-5862(2016)01-0010-04

TP273 控制

A

10.3969/ j.issn.1673-5862.2016.01.003