陳益智，蔡俊樹，肖裕耿

（惠州學院數(shù)學系，廣東 惠州 516007）

次數(shù)公式在整系數(shù)多項式不可約判別中的應用

陳益智，蔡俊樹，肖裕耿

（惠州學院數(shù)學系，廣東 惠州 516007）

本文利用多項式的次數(shù)公式探討了三類整系數(shù)多項式在有理數(shù)域上不可約的判別與證明。

次數(shù)公式；整系數(shù)多項式；不可約多項式

多項式是代數(shù)中的一個基礎概念，也是高等代數(shù)中的主要內容之一。而作為多項式理論的一個重要的知識點，整系數(shù)多項式在有理數(shù)域上可約性的判別經常出現(xiàn)在一些高?！陡叩却鷶?shù)》課程的碩士研究生入學考試試題中。一直以來，也有不少文獻（如參見文獻[1-8]等）對整系數(shù)多項式可約性的判別進行研究，而大多數(shù)文獻中不可約多項式的判別是利用艾森斯坦判別法。

本文利用多項式的次數(shù)公式及多項式的在某處的取值，著手探討三類整系數(shù)多項式在有理數(shù)域上可約性的判別與證明，旨在給讀者提供判別多項式不可約的一種有效求解方法。其中a1, a2,…,an為互異整數(shù)，則f(x)在有理數(shù)域上為不可約多項式。

證明：顯然，f(x)為整系數(shù)多項式。假設f(x)在有理數(shù)域上可約，則?g(x), h(x)∈Z[ x]，使得

由于f(x)=(x-a1)(x-a2)…(x-an)-1，所以g(ai) h(ai)=-1，i=1,2,…,n .

因為g(x), h(x)為整系數(shù)多項式，所以g(ai),h(ai)只能互為±1。從而有于是，g(x)=-h(x)。從而f(x)=-g2(x)。這與f(x)首項系數(shù)為1矛盾。故f(x)在有理數(shù)域上不可約。

注1由該命題的證明過程，我們可以看出次數(shù)公式在判別整系數(shù)多項式在有理數(shù)域上不可約的作用，從而避免了利用艾森斯坦判別法來尋找素數(shù)p 的難處。

命題2設f(x)=(x-a1)(x-a2)…(x-an)+1，其中a1, a2,…,an為互異整數(shù)，則有：

（1）當n為奇數(shù)時，f(x)在有理數(shù)域上為不可約多項式；

（2）當n為偶數(shù)時，f(x)在有理數(shù)域上的可約性不確定。

證明：顯然，f(x)為整系數(shù)多項式。假設f(x)在有理數(shù)域上可約，則?g(x), h(x)∈Z[ x]，使得

由于f(x)=(x-a1)(x-a2)…(x-an)+1，所以

因為f(x)為整系數(shù)多項式，所以g(ai),h(ai)只能同為1或-1。從而有

又因為

所以

注意到g(x)-h(x)=0有a1, a2,…,an這n個根，所以

a）當n 為奇數(shù)時，f(x)=g2(x)與f(x)的次數(shù)為奇數(shù)矛盾，故f(x)在有理數(shù)域上為不可約多項式，

b）當n 為偶數(shù)時，f(x)在有理數(shù)域上的可約性不確定。這是因為若取n=2，a1=1，a2=-1，則f(x)=(x-1)(x+1)+1=x2。此時f(x)在有理數(shù)域上為可約多項式。若取n=2，a1=1，a2=2，則f(x)=(x-1)(x-2)+1=x2-3x +3。此時令p=3.則由艾森斯坦判別法可知，f(x)在有理數(shù)域上為不可約多項式。

綜上，當n 為偶數(shù)時，f(x)在有理數(shù)域上的可約性不確定。

注2該命題與命題1類似。同樣，命題2（1）若是要利用艾森斯坦判別法，則很難找到素數(shù)p，而利用次數(shù)公式來探討該問題，f(x)在有理數(shù)域上的可約性則可迎刃而解。

命題3設f(x)=(x-a1)2(x-a2)2…(x-an)2+1，其中a1, a2,…,an為互異整數(shù)，則f(x)在有理數(shù)域上為不可約多項式。

證明：顯然，f(x)為整系數(shù)多項式。假設f(x)在有理數(shù)域上可約，則?g(x), h(x)∈Z[ x]，使得

因為f(x)為整系數(shù)多項式，所以g(ai),h(ai)只能同為1或-1。又注意f(x)＞0恒成立，所以f(x)=0沒有實根。因此g(x), h(x)也沒有實根，故g(ai),h(ai)(1≤i≤n)只能恒為1或-1，否則由數(shù)學分析中函數(shù)的連續(xù)性定理可知，必?x′∈R，使得g(x′)=0或h(x′)=0成立，也與f(x′)=0矛盾。

h(x)=φ2(x)(x-a1)(x-a2)…(x-an)+1，其中φ1(x),φ2(x)為整系數(shù)多項式，且1≤i≤n 。

由次數(shù)定理我們有：?°(f(x))=?°(g(x) h(x))=n ，即?°(f(x))=?°(h(x))+?°(g(x))=n .又?°(h(x))≥n ，?°(g(x))≥n ，所以?°(h(x))=n ，?°(g(x))=n ，即?°(φ(x))=0，?°(φ(x))=0，所以φ1(x)=φ2(x )=±1。不管是哪種情形都有f(x)≠g(x) h(x).這與假設矛盾，故f(x)不可約。

注3該命題中，f(x)的一般形式是較難表示出來的，所以要通過艾森斯坦判別法更是難上加難。利用次數(shù)公式從反面推出矛盾，則可解決該題。

綜上，本文利用多項式的次數(shù)公式探討了有理數(shù)域上三類整系數(shù)多項式可約性的求解。而這幾種類型題在近幾年的高等代數(shù)考研試題中屢有出現(xiàn)。例如：命題3為2013年深圳大學的高等代數(shù)考研題，命題1為2014年的華南師范大學的高等代數(shù)考研題。而針對這些類型的多項式都可使用本文的方法來證明其為不可約多項式。

在此，我們希望通過本文對這些類型題的探討能引起人們對這種方法的重視。

[1]張衛(wèi)，史滋福.有理數(shù)域上的一類不可約多項式[J].湖南理工學院學報，2008，21（1）:5.

[2]劉中良.有理數(shù)域上多項式不可約的判定[J].科技信息，2009（1）：163.

[3]鞏娟.整系數(shù)多項式在有理數(shù)域上不可約判別法[J].遼寧師專學報，2009，11（3）:35.

[4]陳麗.有理數(shù)域上多項式不可約的判定[J].安慶師范學院學報：自然科學版，2009.15（3）:80.

[5]陳俠.關于整系數(shù)不可約多項式[J].沈陽航空工業(yè)學院學報，2009，11（3）:35.

[6]蘭春霞.整系數(shù)多項式在有理數(shù)域上不可約的幾個判定定理[J].麗水學院學報，2005，27（2）:13.

[7]陳雪雯，吳曉紅.整數(shù)環(huán)上的不可約多項式[J].高等數(shù)學研究，2010，13（1）:22.

[8]殷曉斌，吳俊.一類整系數(shù)不可約多項式[J].高等數(shù)學研究，2013，16（1）:1.

[9]張禾瑞.高等代數(shù)[M].第4版.北京:高等教育出版社，1999.

【責任編輯：吳躍新】

Applications of Polynomial Degree Formulas in Judging Irreducible Polynomials

CHEN Yi-zhi，CAI Jun-shu，XIAO Yu-geng
（Department of Mathematics，Huizhou University，Huizhou 516007，Guangdong China）

In this paper，the reducibility in rational field of three kinds of integral coefficients polynomials is discussed by using polynomial degree formulas.

polynomial degree formula；integral coefficients polynomial；irreducible polynomial

O151.2

A

1671-5934（2016）03-0070-02

2016-05-11

廣東省高等教育教學改革項目（GDJG20141242，粵教高函[2015]173號）；廣東省教育科研項目（2013JK168）；廣東省教學成果

培育項目：高師數(shù)學專業(yè)人才培養(yǎng)模式的創(chuàng)新與實踐（粵教高函[2015]72號）；惠州學院教學成果培育項目（CGPY2014001）

陳益智（1980-），男，廣東龍川人，副教授，理學博士，研究方向為代數(shù)學及其應用。