□朱元生

整式加減有高招

□朱元生

整式的加減是一種非常重要的運(yùn)算，也是學(xué)好初中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ).整式加減的實(shí)質(zhì)就是“去括號(hào)”和“合并同類項(xiàng)”法則的綜合運(yùn)用.現(xiàn)就整式加減各個(gè)環(huán)節(jié)的解題高招，分類闡述如下.

一、兩同兩無(wú)關(guān)——識(shí)別同類項(xiàng)

例1指出下列多項(xiàng)式中的同類項(xiàng).

分析：（1）與－yx3，系數(shù)及字母的排列順序雖然不同，但它們所含的字母及相同字母的指數(shù)分別相同，故為同類項(xiàng)；與－2xy3，系數(shù)不同，但它們所含的字母及相同字母的指數(shù)也分別相同，故為同類項(xiàng)；3與都不含字母，它們是常數(shù)項(xiàng)，也是同類項(xiàng)；

解：（1）與－yx3是同類項(xiàng)；與－2xy3是同類項(xiàng)；3與是同類項(xiàng).

點(diǎn)評(píng)：同類項(xiàng)不僅要求所含字母相同，而且相同字母的指數(shù)也應(yīng)分別相同，與字母的排列順序無(wú)關(guān)，與系數(shù)無(wú)關(guān).另外所有的常數(shù)項(xiàng)都是同類項(xiàng).

二、一相加二不變——合并同類項(xiàng)

合并同類項(xiàng)，就是把同類項(xiàng)的系數(shù)相加，所得的結(jié)果作為系數(shù)，字母和字母的指數(shù)不變.

例2合并下列多項(xiàng)式中的同類項(xiàng)：

（1）8x2y－4xy2－2xy＋3xy2－8x2y＋5xy；

（2）a2b2＋2ab－7a2b2－－1＋5a2b2.

分析：首先要找出同類項(xiàng)，然后再按照法則進(jìn)行合并.在多項(xiàng)式（1）中，8x2y和－8x2y是同類項(xiàng)，它們合并的結(jié)果為0；－4xy2和3xy2是同類項(xiàng)，它們合并的結(jié)果為－xy2；－2xy和5xy是同類項(xiàng)，它們合并的結(jié)果為3xy.在多項(xiàng)式（2）中，a2b2，－7a2b2，5a2b2是同類項(xiàng)，它們合并的結(jié)果為－a2b2；2ab，是同類項(xiàng)，它們合并的結(jié)果為

解：（1）8x2y－4xy2－2xy＋3xy2－8x2y＋5xy

＝（8x2y－8x2y）＋（－4xy2＋3xy2）＋（－2xy＋5xy）

＝－xy2＋3xy.

（2）a2b2＋2ab－7a2b2－ab－1＋5a2b2

＝（a2b2－7a2b2＋5a2b2）＋（2ab－ab）－1

＝－a2b2－ab－1.

點(diǎn)評(píng)：合并同類項(xiàng)的依據(jù)是加法的交換律、結(jié)合律，乘法的分配律和有理數(shù)的加法法則.在合并同類項(xiàng)時(shí)，我們可以采用標(biāo)記的方法，在同類項(xiàng)的下方標(biāo)出相同的符號(hào)，這樣出現(xiàn)問題也容易查找根源.

三、負(fù)變正不變——運(yùn)算更簡(jiǎn)便

去括號(hào)的法則是：括號(hào)前面是“＋”號(hào)，把括號(hào)和它前面的“＋”號(hào)去掉，括號(hào)內(nèi)的各項(xiàng)都不變號(hào)；括號(hào)前面是“－”號(hào)，把括號(hào)和它前面的“－”號(hào)去掉，括號(hào)內(nèi)的各項(xiàng)都要改變符號(hào).

例3 先去括號(hào)，再合并同類項(xiàng)：

（1）（5a2－2a－3ab＋b2）－（5a2－ab）；

分析：分別按照去括號(hào)和合并同類項(xiàng)的法則進(jìn)行運(yùn)算.

解：（1）（5a2－2a－3ab＋b2）－（5a2－ab）

＝5a2－2a－3ab＋b2－5a2＋ab

＝－2a－2ab＋b2.

＝（6xy－6x）＋（－6xy＋2y－1）

＝6xy－6x－6xy＋2y－1

＝－6x＋2y－1.

點(diǎn)評(píng)：當(dāng)括號(hào)外面有因數(shù)時(shí)，要用這個(gè)因數(shù)遍乘括號(hào)內(nèi)的各項(xiàng)，然后再根據(jù)去括號(hào)法則去掉括號(hào).特別要注意，括號(hào)前面是“－”號(hào)，把括號(hào)和它前面的“－”號(hào)去掉，括號(hào)內(nèi)的各項(xiàng)都要改變符號(hào)，如果有同類項(xiàng)，還應(yīng)合并同類項(xiàng).

四、先化簡(jiǎn)再求值——事半功倍

例4先化簡(jiǎn)、再求值：

（1）（4a2－3a）－（2a2＋a－1）＋（2－a2－4a），其中a＝－2.

（2）4xy－[（x2＋5xy－y2）－（x2＋3xy－2y2）]，其中x＝

分析：整式的加減實(shí)質(zhì)上就是“去括號(hào)”和“合并同類項(xiàng)”法則的綜合運(yùn)用.有括號(hào)，要先去括號(hào)，有同類項(xiàng)，再合并同類項(xiàng)，最后代入求值.

解：（1）（4a2－3a）－（2a2＋a－1）＋（2－a2－4a）

＝4a2－3a－2a2－a＋1＋2－a2－4a

＝a2－8a＋3.

當(dāng)a＝－2時(shí)，原式的值為（－2）2－8×（－2）＋3＝23.

（2）4xy－[（x2＋5xy－y2）－（x2＋3xy－2y2）]

＝4xy－（x2＋5xy－y2）＋（x2＋3xy－2y2）

＝4xy－x2－5xy＋y2＋x2＋3xy－2y2＝2xy－y2.

點(diǎn)評(píng)：化簡(jiǎn)實(shí)質(zhì)上就是通過(guò)去括號(hào)和合并同類項(xiàng)，把繁瑣的式子化成最簡(jiǎn)形式，這樣再求值就能收到事半功倍的效果.

五、整體代換——方法獨(dú)特

例5 （1）已知a2＋2a＋1＝0，試求2a2＋4a－5的值.

（2）已知a2＋bc＝14，b2－2bc＝－6，試求3a2＋4b2－5bc的值.

分析：（1）根據(jù)現(xiàn)有知識(shí)，無(wú)法求得a的值.觀察所求式與已知式，可將它們適當(dāng)變形，再整體代入，比較簡(jiǎn)便；

（2）由已知條件，顯然無(wú)法直接求得a，b，c的值，這時(shí)可將待求式3a2＋4b2－5bc變形，用已知式表示為3（a2＋bc）＋4（b2－2bc），再把已知條件整體代入，問題則化難為易.

解：（1）由a2＋2a＋1＝0，可得a2＋2a＝－1.

則2a2＋4a－5＝2（a2＋2a）－5＝2×（－1）－5＝－7.

（2）3a2＋4b2－5bc＝3（a2＋bc）＋4（b2－2bc）＝3×14＋4×（－6）＝18.

點(diǎn)評(píng)：代數(shù)式的條件求值有較強(qiáng)的靈活性和技巧性，解題時(shí)往往要采用一些特殊的方法和技巧，而“整體代換”則是條件求值最常用的方法之一.根據(jù)題目的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，尋求已知條件與待求式之間的內(nèi)在聯(lián)系，巧妙代換，會(huì)使問題化難為易.

六、特殊值代換——?jiǎng)e有洞天

例6 若（3x＋1）4＝ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e，試求a－b＋c－d＋e的值.

分析：由已知條件難以求得待求式中字母的具體數(shù)值，也就無(wú)法求得代數(shù)式的值，但是我們可以根據(jù)條件，在取值范圍內(nèi)賦予字母特殊值，代入計(jì)算，會(huì)使問題變簡(jiǎn)捷.

解：取x＝－1，

代入可得[3×（-1）＋1]4＝a·（－1）4＋b·（－1）3＋c·（－1）2＋d·（－1）＋e.

整理可得：a－b＋c－d＋e＝16.

點(diǎn)評(píng)：這種根據(jù)條件在取值范圍內(nèi)賦予字母的特殊值，再代入計(jì)算的方法，也可謂匠心別具.

其實(shí)，條件求值的方法和技巧還有很多，只要大家用心體會(huì)，相信隨著知識(shí)的不斷積累，同學(xué)們定會(huì)掌握越來(lái)越多的條件求值的好方法.