林 松

(中國(guó)航天建設(shè)集團(tuán)有限公司第二設(shè)計(jì)分院，北京 100071)

薄板彎曲加權(quán)殘值法的研究

林 松

(中國(guó)航天建設(shè)集團(tuán)有限公司第二設(shè)計(jì)分院，北京 100071)

用加權(quán)殘值法對(duì)四邊簡(jiǎn)支距形薄板及環(huán)扇形薄板進(jìn)行了研究，同時(shí)給出算例表明該方法簡(jiǎn)單易行、精度高，收斂速度快.

矩形薄板；扇形薄板；加權(quán)殘值法

0 引 言

加權(quán)殘值法是一種半解析、半數(shù)值的方法，我們可以首先設(shè)試函數(shù)，然后通過(guò)控制方程和邊界條件，把難以求解的微分方程問(wèn)題轉(zhuǎn)化為容易求解的代數(shù)方程.這樣我們可以很容易求解相關(guān)工程問(wèn)題.用這種方法解決固體力學(xué)的問(wèn)題具有簡(jiǎn)單、準(zhǔn)確、計(jì)算工作量少等優(yōu)點(diǎn).本文利用該方法對(duì)薄板彎曲問(wèn)題進(jìn)行了分析和研究.并通過(guò)算例與精確解比較，說(shuō)明該方法簡(jiǎn)單易行、精度高、收斂速度快.

1 四邊簡(jiǎn)支矩形薄板

薄板撓度與外載滿足下列方程：

DW4(x,y)=q(x,y)

(1)

該矩形薄板，邊長(zhǎng)為a，寬為b，則其邊界條件為：

(2)

把均布荷載寫(xiě)成二維DiracDelta函數(shù)

q=pδ(x-ξ)δ(y-η)

薄板彈性曲面微分方程為

DW4(x,y)-pδ(x-ξ)δ(y-η)=0(3)

設(shè)薄板撓度函數(shù)取為

(4)

應(yīng)用加權(quán)殘值法，得到

(5)

其中

Hi=DW4(x,y)-p(δ-ξ)δ(y-η)

求解方程組(5)，得到

(6)

把系數(shù)(6)，代入撓度表達(dá)式中得到

(7)

(8)

(9)

圖2 圖3

2 周邊簡(jiǎn)支扇形板

對(duì)圖3板面受均載q的簡(jiǎn)支扇形薄板，設(shè)位移函數(shù)為

(10)

其中B0、B1、B2、B3是由邊界條件確定的任意常數(shù)，B為待定參數(shù)，x=r/a，且有

(11)

將撓度(10)代入以下薄板邊界條件

(W)X=0X=1=0,(MX)X=0X=1=0

解出四個(gè)常數(shù)

(12)

圓板撓度彈性曲面微分方程是

(13)

將式(10)代入式(13)中，得域內(nèi)殘值S=S(B,x,θ)，然后應(yīng)用伽遼金加權(quán)殘值法，得

進(jìn)而求得參數(shù)

B=520+106μq0a4α0/C

(14)

并且

其中

把所求參數(shù)B代入撓度函數(shù)(10)，得到

(15)

3 結(jié) 論

矩形板中點(diǎn)撓度是

(m=1,2,3,…,n=1,2,3,…)

特殊情況，a=b時(shí)板中點(diǎn)撓度為

其中系數(shù)A0的值與試函數(shù)階次m,n及荷載劃分密度K有關(guān)，計(jì)算結(jié)果表明K=50即已收斂.計(jì)算結(jié)果如下：

試函數(shù)階次精確解A0近似解A0誤差%10.0067410.0065363.0420.0067410.0068830.8630.0067410.0068290.1840.0067410.0067350.0950.0067410.0067390.0360.0067410.0067400.0170.0067410.0067410

[1]朱寶安，數(shù)學(xué)加權(quán)殘值法[M].天津科學(xué)技術(shù)出版社，1992，8

[2]童麗萍，宋啟根，用分域加權(quán)殘值法求部分區(qū)域有幾何缺陷的圓柱殼[J].工程力學(xué)，VoL14，NO1

[3]奚梅成，數(shù)值分析方法[M].中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社,1995

[4]徐次達(dá)，固體力學(xué)加權(quán)殘值法[M].同濟(jì)大學(xué)出版社，1997

Research on he Weighted Remnant of a Bend Plate

LINSong

(The Second Design Branch, China Aerospace Construction Group Co., Ltd Beijing 100071)

The bending problem of freely supported rectangle plate and fan slab is discussed in this paper by the weighted remnant method, which, through example, shows this method is simple and flexible, with precise calculation.

freely supported rectangle plate; fan slab; weighed remnant method

2016-07-20

林松(1979-)，男，高級(jí)工程師，從事建筑結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)及研究.

TU 3

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