摘 要：作者非常自信自己完美地證明了僅剩的最后一個黎曼猜想[1]——ζ函數(shù)的零點分布假設(shè)。他的這種自信既來自于公理集合論中“任意無窮集合，它們的勢都相等[2]”的這個經(jīng)典定理，也來自于黎曼ζ函數(shù)所含有的一個重要性質(zhì)，更來自于他的“雙定理論”，還來自于他堅信自己曾經(jīng)絕妙地證明了大眾化的百年難題——哥德巴赫猜想。

關(guān)鍵詞：黎曼猜想；ζ函數(shù)的零點分布假設(shè)；集合的勢；無窮集合；雙定理論

中圖分類號：O156.2， 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

Proof of Riemann hypothesis about non-trivial zeros of the ζ function also let the old methods produce new vitality（1）

MaXianghu

Abstract：The author is very confident himself perfectly proved the Riemann hypothesis of the ζ（or zeta） function nontrivial zeros distribution . His confidence comes from axiomatic set theory "Any two different infinite sets always have the same cardinality" this classical theorem， also from an important properties of the Riemann zeta function， also from his "the theory of double fixed nature"，and also from his firm belief ，？that is because he had proved the problem that everyone understand but hundreds of years still not been solved，that is the Goldbach Conjecture.

Key words：the Riemann Hypothesis；the Hypotheses about the ζ function nontrivial zeros distribution；cardinality of set；Infinite set；the theory of double fixed nature

0 引言

0.1 導(dǎo)航

本人對這個黎曼猜想的完整證明分為若干步驟，并將這些步驟分在兩篇文章《枯樹生花于“黎曼猜想之ζ零點分布”（一）》和《枯樹生花于“黎曼猜想之ζ零點分布”（二）》里面依次先后發(fā)表，敬請關(guān)注。

0.2 標(biāo)題釋疑

本文標(biāo)題為什么使用“枯樹生花”一詞？一是因為本證明的靈感來自于古老的集合論，二是因為我先前證明的數(shù)學(xué)難題也用了“枯樹生花”一詞。

0.3 什么是：黎曼猜想？ζ函數(shù)？ζ函數(shù)的零點分布假設(shè)？

早在 1749 年，著名數(shù)學(xué)家歐拉就研究了如下實變量形式的式子：

并且歐拉證明了當(dāng) s>1 時，上述式子是恒等式。

這里表示對所有素數(shù)p求連乘積。而黎曼 1859 年創(chuàng)新的將變量 s 看作復(fù)變量，并引進(jìn)記號：

這就是黎曼ζ函數(shù)，也簡稱為ζ函數(shù)，以該函數(shù)為分析的出發(fā)點，產(chǎn)生了若干猜想，其中一個重要猜想是說它的所有非平凡零點都位于Re（s）=1/2這條直線上。這就是如今人們所指的黎曼猜想，其實準(zhǔn)確的說應(yīng)該把它叫做ζ函數(shù)的零點分布假設(shè)。

0.4 集合論[3]

集合論主要是研究無窮集合和超窮數(shù)的數(shù)學(xué)理論。人類對于無窮的認(rèn)識經(jīng)歷了漫長的過程。在數(shù)學(xué)里遇到的無窮主要有：無窮過程、無窮小和無窮大。

中國古代時期和西方希臘時期，當(dāng)時的數(shù)學(xué)家已接觸到了無窮過程和無窮小，但是還沒辦法掌握其規(guī)律，對它們不具有本質(zhì)上的認(rèn)識。因為，唯有能夠作數(shù)學(xué)的處理、能夠進(jìn)行運算，這樣的無窮概念才能算作嚴(yán)格意義上的數(shù)學(xué)對象。

17世紀(jì)中期微積分問世之后，由于使用了無窮小增量，引起了對無窮小的討論，隨即也遭到了唯心主義的攻擊。同時在無窮級數(shù)求和問題上也遇到了困難。到了19世紀(jì)20年代，哥西（A.L.Cauchy，1789-1857）吸取了前人的經(jīng)驗，通過明確了收斂性、極限等許多概念建立了極限理論。極限理論明確了收斂性的判斷方法，讓人們對于無窮過程有了本質(zhì)的認(rèn)識，初步掌握了它的規(guī)律。極限論對于無窮小也給與了明確的說明，即一種取值任意小而趨于零的變量。不過，極限論有其使人遺憾的后果和不足之處。既然無窮小有了明確的解釋，數(shù)學(xué)家們就認(rèn)為這是唯一的解釋，從此否定了作為數(shù)量的實無窮小。直至20世紀(jì)60年代通過模型論的方法，既非零又非有限數(shù)量的無窮小量才又作為科學(xué)的數(shù)量重新得到肯定，并在此基礎(chǔ)上建立了非標(biāo)準(zhǔn)分析。極限理論的令人遺憾的后果終于得到了糾正。不足之處是，哥西沒有給出無理數(shù)的定義，缺少一個實數(shù)系作為極限論的根據(jù)，因此一個以無理數(shù)為極限的無窮序列也就找不到它的極限。這個不足之處直到魏爾斯特思（K.Weierstrass，1815-1897），戴徳金（R.Dedekind，1831-l916）和康托爾給出無理數(shù)定義后才得到完全的解決。對無窮大來說，極限論只是簡單地把它理解為取值可以無限增長的變量，對于無窮大數(shù)量，極限論沒有進(jìn)一步闡明。無窮大數(shù)量和集合的研究一直到19世紀(jì)70年代才開始發(fā)展起來。

19世紀(jì)70年代前，數(shù)學(xué)分析理論的研究要求對不連續(xù)函數(shù)和連續(xù)統(tǒng)進(jìn)一步深入的理解，這都牽涉到無窮集合問題，當(dāng)時有一部分?jǐn)?shù)學(xué)家對其進(jìn)行了研究?？低袪柺堑谝粋€獲得成熟結(jié)果的，至此，集合論也因此而正式面世了。

0.5 集合[4]

集合，簡單的說就是由直觀或思維的對象（也稱作“元素”）所決定的總體。

其實，集合是一個不能夠精確定義的基本概念。直觀地講，把一些事物匯集到一起組成一個整體就叫做集合，而這些事物就是這個集合的元素或成員。例如：

方程x^3-x^2+x-1=0的實數(shù)解集合；

24個希臘字母的集合；

復(fù)平面上所有點的集合；

……

集合通常用大寫的英文字母來表示，比如自然數(shù)集合N（在離散數(shù)學(xué)中把0也看做自然數(shù)），整數(shù)集合Z，有理數(shù)集合Q，實數(shù)集合R，復(fù)數(shù)集合C等。

表示一個集合的方法主要有兩種：列舉元素法和謂詞表示法。前者的方法就是列出集合的所有元素，規(guī)定元素之間用逗號隔開，并把它們用花括號括起來。譬如：

W={a，b，c，……，z}

Z={0，±1，±2，…}

都是合理的表示。謂詞表示法則是用謂詞來概括描述集合中元素的屬性。比如：集合B={x|x∈R∧x^2-4=0}

就是表示了x^2-4=0這個方程的實數(shù)解集。大多集合都可以用兩種方法來表示，如B也可以寫成{-2，2}。但是有一些集合不能夠用列舉元素法進(jìn)行表示，如實數(shù)集合。

集合的元素不允許重復(fù)，必須要求彼此不同，假若同一個元素在集合中多次出現(xiàn)則認(rèn)為是一個元素，例如：{1，2，3，3，3}={1，2，3}

集合的元素可以是無序的，如：

{a，b，c}={c，a，b}

現(xiàn)在很多著作所采用的體系一般都規(guī)定：集合的元素都是集合。元素和集合之間的關(guān)系是隸屬關(guān)系，即：屬于或不屬于，屬于記作∈，不屬于記作。比如：M={1，{2，3}，4，{{4}}}

這里1∈M，{2，3}∈M，4∈M，{{4}}∈M，但2M。{4}M。2和{4}是M的元素的元素?？梢允褂脴湫螆D來區(qū)別該隸屬關(guān)系。此圖是分層構(gòu)成的，毎一個層的結(jié)點都表示一個集合，它的兒子則是它的元素。因此，集合M的樹形圖就可以如圖（圖1）所示。

空集是任意集合的元素，因此，圖中的1，2，3，4也是集合。由于這個問題與1，2，3，4的元素?zé)o關(guān)，所以沒有列出它們的元素。對于集合的元素都是集合這一規(guī)定。隸屬關(guān)系則能夠看做是處在不同層次上的集合之間的關(guān)系。

考慮到體系上的嚴(yán)謹(jǐn)性，我們應(yīng)該規(guī)定：任何集合A都有AA。

0.6 集合的勢[5]

簡單的說，集合的勢是對集合的一種度量，它刻劃了集合所含元素的多寡。

0.7 無窮集合[6]

無窮集合：對于集合s，如果存在自然數(shù)n及n與s之間的一個雙射函數(shù)f（即s恰有n個元素），則稱s為有窮集合。否則，就稱s為無窮集合。

0.8 插花

很有必要借此寶貴的機會，把網(wǎng)上的幾大論文數(shù)據(jù)庫網(wǎng)站所刊登的文章《枯樹生花于“哥德巴赫猜想”》里面的8處編排錯誤更正一下，以便于專家們和讀者朋友們的研判和檢閱，同時也能夠讓大家更多的了解我和支持我。長話短說，這8個更正的情況如圖（圖2）所示：

0.9 待續(xù)

我對黎曼猜想的證明先暫時介紹至此。精彩的、核心的部分將在《枯樹生花于“黎曼猜想之ζ零點分布”（二）》里進(jìn)行詳細(xì)介紹，譬如“雙定理論”。不過，大家如果利用我在上面摘要里的介紹，應(yīng)該能夠提前猜出我證明黎曼猜想的基本思路。

參考文獻(xiàn)

[1]盧昌海.黎曼猜想漫談[M].（北京）清華大學(xué)出版社，2012-08：1-2.

[2][5][6]張錦文.公理集合論導(dǎo)引[M].（北京）科學(xué)出版社，1999-02-01：128.

[3]王憲均. 數(shù)理邏輯引論[M].（北京）北京大學(xué)出版社，1982：292-293.

[4]屈婉玲，耿素云，張立昂.離散數(shù)學(xué)[M].（北京）高等教育出版社，2008：83-84.

[5]張錦文.公理集合論導(dǎo)引[M].（北京）科學(xué)出版社，1999-02-01：115.

[6]張錦文.公理集合論導(dǎo)引[M].（北京）科學(xué)出版社，1999-02-01：115.

作者簡介：馬祥虎，男，本科，講師，主要研究方向為數(shù)學(xué)和物理學(xué)。