張鵬飛,張　志,劉欣濤

(青島科技大學(xué) 自動化與電子工程學(xué)院,山東 青島　 266042)

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含測量時(shí)滯的離散時(shí)間隨機(jī)系統(tǒng)的最優(yōu)控制器設(shè)計(jì)

張鵬飛,張志,劉欣濤

(青島科技大學(xué) 自動化與電子工程學(xué)院,山東 青島 266042)

摘要針對網(wǎng)絡(luò)誘發(fā)的時(shí)滯系統(tǒng)的狀態(tài)估計(jì)和最優(yōu)問題,研究離散時(shí)間情況下含有測量時(shí)滯的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)在隨機(jī)白噪聲狀態(tài)下的最優(yōu)控制問題。提出一種基于離散時(shí)間時(shí)滯系統(tǒng)的狀態(tài)最優(yōu)估計(jì)方法,并完成最優(yōu)狀態(tài)估計(jì)器的設(shè)計(jì)。構(gòu)建一個(gè)隱含測量時(shí)滯的系統(tǒng),然后利用無時(shí)滯轉(zhuǎn)換方法,將含測量時(shí)滯的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)轉(zhuǎn)換為無時(shí)滯系統(tǒng),再采用卡爾曼濾波的方法對系統(tǒng)狀態(tài)進(jìn)行估計(jì),得出最優(yōu)估計(jì)方程。實(shí)現(xiàn)了針對含有測量時(shí)滯的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的狀態(tài)估計(jì),完成最優(yōu)控制器設(shè)計(jì)。仿真示例系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)驗(yàn)證了該方法的可行性和有效性。

關(guān)鍵詞網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng);測量時(shí)滯;卡爾曼濾波;狀態(tài)估計(jì);最優(yōu)控制

計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)技術(shù)和控制理論相結(jié)合的研究領(lǐng)域成為目前控制界的一個(gè)研究熱點(diǎn)。利用網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行信息傳輸和控制,一方面為遠(yuǎn)程控制、系統(tǒng)管控一體化、系統(tǒng)工程帶來信息的便捷,另一方面網(wǎng)絡(luò)的數(shù)據(jù)傳輸特性也極大地影響了系統(tǒng)的性能。網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)時(shí)滯[1]、網(wǎng)絡(luò)傳輸導(dǎo)致的系統(tǒng)的隨機(jī)特性等,對基于通信網(wǎng)絡(luò)的控制系統(tǒng)的信息采集、信息處理、控制器的設(shè)計(jì)等技術(shù)提出了新的挑戰(zhàn)。

由網(wǎng)絡(luò)傳輸而導(dǎo)致的網(wǎng)絡(luò)化時(shí)滯系統(tǒng),總是存在各種不確定性和隨機(jī)性。對于隨機(jī)系統(tǒng)狀態(tài)反饋控制器的設(shè)計(jì)不得不考慮狀態(tài)的重構(gòu)和估計(jì)?？紤]噪聲環(huán)境下的狀態(tài)估計(jì)和狀態(tài)反饋將是更加符合實(shí)際的思路?？柭鼮V波方法在過去幾十年不考慮網(wǎng)絡(luò)環(huán)境的影響下,在狀態(tài)估計(jì)方面得到了廣泛的應(yīng)用,在基本濾波理論的基礎(chǔ)上發(fā)展了豐富的新方法。然而網(wǎng)絡(luò)概念的引入使得網(wǎng)絡(luò)時(shí)滯影響下的隨機(jī)系統(tǒng)狀態(tài)估計(jì)和最優(yōu)控制成為亟待發(fā)展的新問題。因而,針對網(wǎng)絡(luò)誘發(fā)的時(shí)滯系統(tǒng)的狀態(tài)估計(jì)和最優(yōu)問題的研究將具有重要的理論和實(shí)踐意義[2,3]。為此,研究基于離散時(shí)間隨機(jī)系統(tǒng)在含有測量時(shí)滯[4]情況下的最優(yōu)狀態(tài)估計(jì)問題。提出將時(shí)滯系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為無時(shí)滯系統(tǒng)的方法,并加入均值為零的高斯白噪聲,解黎卡提方程得出最優(yōu)增益,最后得出最優(yōu)估計(jì)方程并完成最優(yōu)控制器設(shè)計(jì),解決網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的最優(yōu)估計(jì)問題。

1含有測量時(shí)滯系統(tǒng)的無時(shí)滯轉(zhuǎn)換

考慮如下含有測量時(shí)滯和噪聲的網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng):

(1)

其中:x(k)∈Rn為狀態(tài)向量;u(k)∈Rp為控制輸入向量;y(k)∈Rq為測量輸出向量;f(k)∈Rm為不可直接測量的擾動向量。A、B、C、D是相應(yīng)維數(shù)的實(shí)常數(shù)矩陣;h是由傳感器引起的測量時(shí)滯,為已知的正整數(shù)。(·)(k)=(·)(kT),且T為系統(tǒng)的采樣周期。

f(k)的動態(tài)特性由以下外系統(tǒng)描述:

(2)

T,結(jié)合式(1)和式(2)得到狀態(tài)空間表達(dá)式:

(3)

。

對系統(tǒng)(3),有

(4)

。

為了對系統(tǒng)進(jìn)行無時(shí)滯轉(zhuǎn)換,我們采用如下基于泛函數(shù)的輸出轉(zhuǎn)換:

(5)

把式(4)和式(5)代入系統(tǒng)(3),則系統(tǒng)(3)可以轉(zhuǎn)換為以下形式的無時(shí)滯系統(tǒng):

(6)

2最優(yōu)狀態(tài)估計(jì)器的設(shè)計(jì)

由于系統(tǒng)存在噪聲,想要直接得出真實(shí)值十分困難。而卡爾曼濾波[5-9]利用前一狀態(tài)的已知值在滿足最小方差的情況下估計(jì)下一狀態(tài)的值,通過逐步遞推得出當(dāng)前估計(jì)值,有效地降低了噪聲所帶來的影響,對于實(shí)時(shí)系統(tǒng)更是效果顯著。

在沒有輸入u(k)的作用的情況,離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程簡化為

(7)

其中:Φ(k+1,k)為從k到k+1的一步狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣,考慮估計(jì)值可由上一步確定性預(yù)測值與修正值相加得到,故可得

(8)

在Y(k+1)未知情況下對Y(k+1)進(jìn)行估計(jì),

得到濾波方程

(9)

根據(jù)以上結(jié)果可得

(10)

P(k+1|k)=Φ(k+1,k)P(k|k)ΦT(k+1,k)+

Γ(k+1,k)QkΓT(k+1,k),

(11)

方程(11)即預(yù)報(bào)誤差方差矩陣,但P(k|k)仍未知。

故可得

P(k+1|k+1)=P(k+1|k)-P(k+1|k)×HT(k+1)[H(k+1)P(k+1|k)HT(k+1)+

Rk+1]-1H(k+1)P(k+1|k)=P(k+1|k)-P(k+1|k)HT(k+1)KT(k+1)-

K(k+1)H(k+1)P(k+1|k)+K(k+1)H(k+1)P(k+1|k)HT(k+1)×

KT(k+1)+K(k+1)Rk+1KT(k+1)。

(12)又由式(10)可得增益

K(k)=P(k|k-1)HT(k)[H(k)P(k|k-1)×

HT(k)+Rk]-1,

(13)

從而推得

K(k)Rk=P(k|k-1)HT(k)-

K(k)H(k)P(k|k-1)HT(k),

(14)

由式(12)可得

P(k|k)=[I-K(k)H(k)]P(k|k-1)×

[I-K(k)H(k)]T+K(k)RkKT(k),

(15)

將式(14)代入式(15)得濾波誤差方差矩陣

(16)

在對系統(tǒng)進(jìn)行卡爾曼濾波得出最優(yōu)估計(jì)值后,可對系統(tǒng)進(jìn)行最優(yōu)控制器設(shè)計(jì),即使系統(tǒng)(6)滿足二次型性能指標(biāo):

(17)

其中:Q(k)與P(N)為對稱非負(fù)定矩陣;R(k)為對稱正定矩陣。

構(gòu)造Hamilton函數(shù)為

(18)

則由泛函極值存在條件可得最優(yōu)控制

(19)

設(shè)

其中:P(k)滿足黎卡提方程,則式(19)為

(20)

其中:K′(k)為最優(yōu)控制反饋增益。

P(k)=ΦT(k+1,k)P(k+1)Φ(k+1,k)-

KT(k)[R(k)+BT(k)P(k+1)B(k)]

K(k)+Q(k)。

(21)

3實(shí)例仿真

考慮由式(1)描述的含有時(shí)滯的網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng),其中

考慮由式(2)描述的外系統(tǒng),其中

取時(shí)滯為3,推算得到由式(6)描述的系統(tǒng)中有

由式(19)和式(21)得

用Matlab進(jìn)行仿真,結(jié)果如圖1和圖2所示。

圖1　系統(tǒng)輸入u受振蕩環(huán)節(jié)干擾Fig.1　Interruption of system input u in oscillation link

圖2　系統(tǒng)狀態(tài)響應(yīng)曲線Fig.2　Response curve of system state

圖1、圖2中k為離散時(shí)間;u為系統(tǒng)輸入,受到振蕩環(huán)節(jié)干擾;x為最優(yōu)狀態(tài)估計(jì)值。由圖2可以看出,在系統(tǒng)存在測量時(shí)滯和噪聲干擾的情況下,系統(tǒng)狀態(tài)估計(jì)x1、x2、x3、x4在經(jīng)過一個(gè)短暫的振蕩之后收斂,很快達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài),得到了滿意的控制效果。說明該無時(shí)滯轉(zhuǎn)換方法、狀態(tài)估計(jì)及最優(yōu)控制器設(shè)計(jì)是有效的。

4結(jié)論

針對含有測量時(shí)滯的離散時(shí)間網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng),利用無時(shí)滯轉(zhuǎn)換方法,將含測量時(shí)滯的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)轉(zhuǎn)換為無時(shí)滯系統(tǒng),之后模擬加入高斯白噪聲,解黎卡提方程得出最優(yōu)增益,最后得出最優(yōu)估計(jì)方程,設(shè)計(jì)得到離散時(shí)間情況下隨機(jī)系統(tǒng)的最優(yōu)狀態(tài)控制器。研究采用的無時(shí)滯轉(zhuǎn)換方法和最優(yōu)狀態(tài)估計(jì)的設(shè)計(jì)思想可推廣應(yīng)用于時(shí)變時(shí)滯的情況及其他相關(guān)問題的解決。

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Design of Optimal Controller of Discrete-time Stochastic System with Survey Delay

Zhang Pengfei,Zhang Zhi,Liu Xintao

(CollegeofAutomation&ElectronicEngineering,QingdaoUniversityofScience&Technology,Qingdao266042,China)

AbstractThe optimal control problem of the network control system with survey delay in the state of random white-noise was researched in presence of discrete time in allusion to the state estimation and optimization problem of the delay system induced by the network.One state optimal estimation method of the delay system based on the discrete time was proposed,and the design of optimal state estimator was finished at the same time.The method obtained the optimal estimation equation by setting up one system with implication of survey delay first,then transforming the network control system with survey delay as the non-delay system by using non-delay transformation method and estimating the system state by using Kalman filtering method.The method realized state estimation in allusion to the network control system with survey delay and finished design of the optimal controller.Moreover,the feasibility and validity of the method were verified by using the state response of the simulation example system.

Key wordsNetwork control system;Survey delay;Kalman filtering;State estimation;Optimal control

中圖分類號:TP273.5

文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A

文章編號:1004-0366(2016)01-0065-04

作者簡介:張鵬飛(1989-),男,山東濰坊人,碩士研究生,研究方向?yàn)樽顑?yōu)控制.E-mail:wind-fei@163.com.

收稿日期:2015-03-16;修回日期:2015-05-21.

doi:10.16468/j.cnki.issn1004-0366.2016.01.015.

引用格式:Zhang Pengfei,Zhang Zhi,Liu Xintao.Design of Optimal Controller of Discrete-time Stochastic System with Survey Delay[J].Journal of Gansu Sciences,2016,28(1):65-68.[張鵬飛,張志,劉欣濤.含測量時(shí)滯的離散時(shí)間隨機(jī)系統(tǒng)的最優(yōu)控制器設(shè)計(jì)[J].甘肅科學(xué)學(xué)報(bào),2016,28(1):65-68.]