陳珠社,黃　煒

(寶雞職業(yè)技術(shù)學院 基礎(chǔ)部,陜西 寶雞　721013)

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關(guān)于混合補數(shù)數(shù)列的均值研究

陳珠社,黃煒

(寶雞職業(yè)技術(shù)學院 基礎(chǔ)部,陜西 寶雞721013)

摘要設(shè)n為任意正整數(shù),Ak(n)為n的k次冪補數(shù)。利用初等數(shù)論和解析方法研究k次補數(shù)Ak(n)函數(shù)與m次補數(shù)Am(n)函數(shù)復(fù)合函數(shù)Am(Ak(n))的復(fù)合均值問題,給出兩個有趣的漸近公式。

關(guān)鍵詞k次冪補數(shù);混合補數(shù);均值;漸近公式

顯然Ak(n)=nk-i≤nk,例如k=2時,有

A2(1)=1,A2(2)=2,A2(3)=3,A2(4)=1,A2(5)=5,A2(6)=6,A2(7)=7,A2(8)=2,…,

即

Ak(2)=2k-1,Ak(3)=3k-1,Ak(2k)=1,…,

當k=2或k=3時稱Ak(n)為n的平方冪或者立方冪補數(shù),記作A2(n)或A3(n) 。在文獻[1]的第27個問題中,美籍羅馬尼亞著名數(shù)論專家F.Smarandache教授建議研究有關(guān)n的k次補數(shù)Ak(n)的性質(zhì)。目前,對于補數(shù)問題的研究文獻很多[2-11],獲得了不少有趣的結(jié)果,張文鵬[2]也研究了補數(shù)的性質(zhì),給出了幾個有趣的恒等式,文獻[3]中也對補數(shù)數(shù)列做了研究,給出了幾個較強的漸近公式,文獻[4]中研究了對于正整數(shù)k,m(3≤m

定理1設(shè)k≥2,m=k是兩個給定的正整數(shù),n為任意正整數(shù),Ak(n)為n的k次補數(shù),ζ(s)是Riemann-zeta-函數(shù),對任意的實數(shù)x≥1,有漸近公式

其中:ε是任意給定的正整數(shù)。

定理2設(shè)k≥2,m>k是兩個給定的正整數(shù),n為任意正整數(shù),Ak(n)為n的k次補數(shù),ζ(s)是Riemann-zeta-函數(shù),對任意的實數(shù)x≥1,有漸近公式

特別地,當k=2,m=3或k=2,m=4時有如下的推論。

推論1對任意的實數(shù)x≥1,有漸近公式

定理證明設(shè)s=σ+it,t為復(fù)常數(shù),ζ(s)是Riemann-zeta-函數(shù),p為素數(shù),若k,m(k≥2,m>k),ε是任意正整數(shù),當σ>k-1+ε時,定義

定理1的證明設(shè)p是一個素數(shù),對于k次補數(shù)Ak(pn),有

(1)

其中:ε表示任意給定的正數(shù)。

即

(2)

我們可以容易地得到估計:

(3)

(4)

因此有

這就完成了定理1的證明。

定理2的證明設(shè)p是一個素數(shù),對于k次補數(shù)Ak(pn)有

(5)

其中:ε表示任意給定的正數(shù)。

其中:ε表示任意給定的正數(shù)。

即

(6)

可以容易地得到估計:

(7)

(8)

結(jié)合式(7)、式(8),有

這就完成了定理2的證明。

參考文獻:

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[11]張文鵬.初等數(shù)論[M].西安:陜西師范大學出版社,2007.

Study on Mean Value of Mix Complement Sequence

Chen Zhushe,Huang Wei

(DepartmentofBasis,BaojiVocationalandTechnicalCollege,Baoji721013,China)

AbstractLetnbe a positive integer,Ak(n) bek-power complement ofn.To study the question of compound mean values ofk-power complementAk(n) function andm-power complement compound functionAm(Ak(n)) ofAm(n) function,with the elementary number theory and analytic number theory and to give an interesting asymptotic formula.

Key wordsk-power complement;Mixed complement;Mean value;Asymptotic formula

中圖分類號:O156.4

文獻標志碼:A

文章編號:1004-0366(2016)01-0021-04

作者簡介:陳珠社(1964-),男,陜西武功人,碩士,副教授,研究方向為基礎(chǔ)數(shù)學.E-mail:hwxy6@163.com.

基金項目:國家自然科學基金項目(10871123);陜西省自然科學基金項目(SJ08A28).

收稿日期:2015-02-02;修回日期:2015-05-11.

doi:10.16468/j.cnki.issn1004-0366.2016.01.005.

定義:設(shè)n為正整數(shù),k次補數(shù)Ak(n)。

引用格式:Chen Zhushe,Huang Wei.Study on Mean Value of Mix Complement Sequence[J].Journal of Gansu Sciences,2016,28(1):21-24.[陳珠社,黃煒.關(guān)于混合補數(shù)數(shù)列的均值研究[J].甘肅科學學報,2016,28(1):21-24.]