袁偉斌，詹　偉，陳昌意

(浙江工業(yè)大學(xué) 建筑工程學(xué)院，浙江 杭州 310014)

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純彎下蜂窩梁的側(cè)向扭轉(zhuǎn)屈曲分析

袁偉斌，詹偉，陳昌意

(浙江工業(yè)大學(xué) 建筑工程學(xué)院，浙江 杭州 310014)

摘要：主要涉及純彎作用下不同邊界條件蜂窩梁的側(cè)扭屈曲失穩(wěn).蜂窩梁在彎矩作用平面內(nèi)的彎曲剛度通常比側(cè)向彎曲剛度和扭轉(zhuǎn)剛度大，梁在荷載作用下側(cè)向失穩(wěn)時，即產(chǎn)生側(cè)向彎曲，又產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)變形.采用能量法求解蜂窩梁側(cè)向屈曲的臨界荷載，基于最小勢能駐值原理、瑞利-里茲法和合適的位移函數(shù)推導(dǎo)側(cè)向屈曲臨界荷載的解析解.同時也應(yīng)用ANSYS建立了有限元模型對純彎作用下的蜂窩梁的屈曲進行了模擬分析，驗證了蜂窩梁側(cè)向屈曲的臨界荷載.

關(guān)鍵詞：側(cè)向屈曲；蜂窩梁；能量法；有限元

蜂窩梁具有自重輕、抗彎承載力高等特點.近30年來，國內(nèi)外進行了大量關(guān)于蜂窩梁的研究工作.目前的研究主要集中于蜂窩梁受到剪切、彎曲、側(cè)向扭轉(zhuǎn)荷載時發(fā)生屈曲的破壞模式.Kerdal和Nethercot[1]利用數(shù)值模擬和實驗研究了蜂窩梁的失效模型.Gholizadehet等[2]和Soltaniet等[3]利用有限元對蜂窩梁進行了非線性分析.Ellobody[4]利用有限元軟件對蜂窩梁的荷載—撓度曲線和屈曲失效模型做了研究.Nethercot 和 Kerdal[5]進行了蜂窩梁側(cè)扭屈曲的實驗，實驗結(jié)果表明了蜂窩梁腹板開孔對側(cè)扭屈曲幾乎沒有影響.Mohebkhah[6]利用一種三維有限元模型，探討了長細比對簡支蜂窩梁彎矩的影響.Mohebkhah和Showkati[7]，研究了彈性側(cè)向支撐的剛度對純彎下簡支蜂窩梁彎扭屈曲的影響.趙滇生和郎婷[8]研究了蜂窩梁的剛度和強度.王森軍等[9]對影響蜂窩鋼梁撓度的因素進行了分析，說明了孔型、擴張比、高跨比、剪跨比4種因素對蜂窩鋼梁撓度的影響.袁偉斌等[10]利用能量法分析了純彎荷載下的簡支角鋼梁的靜態(tài)和動態(tài)屈曲.

目前，蜂窩梁研究主要是運用數(shù)值模擬和實驗方法，在純彎荷載下，蜂窩梁側(cè)向扭轉(zhuǎn)屈曲臨界荷載的解析解依然是不可用的.針對這一情況，提出利用能量法對不同邊界條件下的純彎蜂窩梁的側(cè)扭屈曲進行了分析，得到了一組簡化的蜂窩梁側(cè)扭屈曲解析解，并且運用ANSYS軟件對蜂窩梁進行了有限元分析，驗證了解析解的正確性.

1理論公式

蜂窩梁是受彎構(gòu)件，在建筑中常用作吊車梁、樓蓋梁、工作平臺梁、屋架檁條和墻架梁等.蜂窩梁在彎矩作用平面內(nèi)的彎曲剛度通常比側(cè)向彎曲剛度和扭轉(zhuǎn)剛度大，梁在荷載作用下側(cè)向失穩(wěn)時，即產(chǎn)生側(cè)向彎曲，又產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)變形.如果把蜂窩梁的受壓部分看成一根壓桿，那么在蜂窩梁達到臨界荷載時，這根壓桿就要屈曲.由于蜂窩梁的受壓部分在豎向受到腹板的連續(xù)支撐，因此壓桿屈曲時必然發(fā)生側(cè)向彎曲；又由于蜂窩梁的受拉部分不會失穩(wěn)，因此梁的受壓部分屈曲時，必然會引起整個截面的扭轉(zhuǎn).因此要研究蜂窩梁的側(cè)向屈曲，首先要考察其扭轉(zhuǎn)的情況.眾所周知，梁的側(cè)向屈曲主要是由于梁截面的扭轉(zhuǎn)，主要包括兩種形式自有扭轉(zhuǎn)和約束扭轉(zhuǎn)兩種形式，這兩種扭轉(zhuǎn)理論是推導(dǎo)蜂窩梁臨界側(cè)向屈曲荷載的理論基礎(chǔ).

若桿件扭轉(zhuǎn)時，橫截面上各點的軸向位移不受任何約束，截面可以自由翹曲，這種扭轉(zhuǎn)稱為自由扭轉(zhuǎn).自由扭轉(zhuǎn)有兩個特點：首先截面翹曲相同，沒有正應(yīng)力：非圓截面的桿件自由扭轉(zhuǎn)時，截面將發(fā)生翹曲，然而不同橫截面上相應(yīng)點的軸向位移相同，也即每個縱向纖維的長度保持不變，橫截面的翹曲變形完全相同.因而自由扭轉(zhuǎn)時每個縱向纖維不產(chǎn)生軸向應(yīng)變，桿件橫截面上沒有正應(yīng)力而只有切應(yīng)力，并且在各個截面上的切應(yīng)力分布相同.基于這個特點，自由扭轉(zhuǎn)又可稱為均勻扭轉(zhuǎn)或者純扭轉(zhuǎn).其次自由扭轉(zhuǎn)時，桿件的所有縱向纖維不發(fā)生彎曲而保持直線，因此桿件不發(fā)生彎曲變形.

圖1為一工字鋼自由扭轉(zhuǎn)時的變形情況.在扭轉(zhuǎn)過程中，翼緣和腹板上所有的縱向纖維均保持直線，上翼緣和下翼緣相互扭轉(zhuǎn)了一個角度，即產(chǎn)生了扭轉(zhuǎn)角.由彈性力學(xué)的知識可以知道，非圓截面桿件離桿端z處的扭轉(zhuǎn)角為

(1)

其中：G為材料的剪切彈性模量；It為截面的自由扭轉(zhuǎn)慣性矩(也稱為截面的扭轉(zhuǎn)常數(shù))；GIt成為截面的抗扭剛度；M為作用于桿端的扭矩.將式(1)對桿件軸線坐標z求導(dǎo)數(shù)，可得扭率為

(2)

其中：b和t分別為矩形截面的寬度和厚度,扭轉(zhuǎn)常數(shù)It=bt3/3.

當桿件截面由幾個狹長矩形截面板件組成時，如工字形截面，根據(jù)整個截面的扭轉(zhuǎn)角和各組成板件扭轉(zhuǎn)角相同的條件可以推得，總的截面扭轉(zhuǎn)常數(shù)為各板件的扭轉(zhuǎn)常數(shù)Iit之和，如果考慮狹長板件連接處的局部加強作用，引入截面形狀系數(shù)k，則桿件截面的扭轉(zhuǎn)常數(shù)可以表示為

(3)

其中：bi和ti分別為第i個狹長板件的寬度和厚度；n為組成截面的狹長矩形的數(shù)目；k為截面形狀系數(shù)，對于雙軸對稱的工字鋼截面，k=1.31.

如果開口薄壁構(gòu)件的支撐條件或者荷載條件使截面的翹曲受到約束時，則桿件在受到扭轉(zhuǎn)的同時，還會受到彎曲，這種現(xiàn)象成為約束扭轉(zhuǎn).

圖1　工字梁的自由扭轉(zhuǎn)Fig.1　The free torsion of an I-shape beam

圖2為一個工字形截面的懸臂梁，當其自由端承受如圖所示的外扭矩M作用時，此外扭矩應(yīng)該由純扭矩Mt翹曲扭矩Mw共同抵抗，可以表示為

M=Mt+Mw

(4)

此外，由于不能翹曲，因此在上下翼緣產(chǎn)生了兩個方向相反的彎曲，相當于在上下翼緣作用了一對大小相等、方向相反的集中力V(圖2)，由此可得翹曲彎矩為

(5)

其中：h為工字形截面的高度；Mf為翼緣彎矩；負號則表示隨著z減小時Mf增大.

圖2　工字梁的約束扭轉(zhuǎn)Fig.2　The restrainted torsion of an I-shape beam

設(shè)工字鋼翼緣中心線的側(cè)向位移為uf, 則上翼緣的彎矩Mf可以表示為

(6)

其中：If為翼緣對其本身的主軸的慣性矩；uf=φh/2為翼緣的中心相對于截面中心的側(cè)向位移.

將式(6)代入式(5),便可以得到截面的翹曲扭矩的表達式

(7)

其中EIw為截面的翹曲剛度，Iw=Ifh2/2.

將式(7)代入式(4)，可以得到開口薄壁構(gòu)件的扭矩的表達式為

(8)

采用能量法求解蜂窩梁側(cè)向屈曲的臨界荷載，應(yīng)首先求出側(cè)向屈曲時構(gòu)件的應(yīng)變能以及荷載勢能公式，然后運用勢能駐值原理和瑞利-里茲法，通過假定合適的位移函數(shù)來得出側(cè)向屈曲的臨界荷載.

如圖3所示，為一兩端簡支，且受均勻彎矩作用蜂窩梁.設(shè)x，y坐標軸與橫截面的兩個主軸一致，z軸和縱向截面形心重合.當該梁在兩端均勻彎矩的作用下彎曲，變形分為兩個階段：第一階段，蜂窩梁只在彎矩作用平面內(nèi)產(chǎn)生豎向位移v；第二階段，當彎矩達到臨界值Mcr時，梁將產(chǎn)生側(cè)向彎曲并伴隨扭轉(zhuǎn)，截面形心在彎矩作用平面外的側(cè)向位移為u，截面的轉(zhuǎn)角為φ.在變形的第一階段，對于任何外力矩作用，梁都處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)，因此，相應(yīng)于豎向彎曲的總勢能的變分恒等于零，分析時可以忽略不計.在變形的第二階段，蜂窩梁處于隨遇平衡狀態(tài)，考慮此時的應(yīng)變能，應(yīng)該由三部分組成，第一是側(cè)向彎曲應(yīng)變能，第二是自由扭轉(zhuǎn)的應(yīng)變能，第三是由于翹曲引起的應(yīng)變能.

圖3　簡支蜂窩梁承受純彎矩示意圖Fig.3　Castellated beams with simply supported under uniform moment

根據(jù)材料力學(xué)對于彎曲應(yīng)變能的論述，蜂窩梁的側(cè)向彎曲應(yīng)變能可以表示為

(9)

其中Iy為蜂窩梁橫截面對于y軸的慣性矩.

在蜂窩梁翼緣上沿z向取一段dz，自由扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)變能等于翼緣上的扭矩Mtf轉(zhuǎn)角變化的乘積的一半，即

(10)

整個蜂窩梁的翼緣自由扭轉(zhuǎn)的應(yīng)變能為

(11)

由于腹板的截面隨著蜂窩梁的長度呈現(xiàn)出周期變化的特點，可以將蜂窩梁的單元分為A，B，C三個部分來考慮其自由扭轉(zhuǎn)的應(yīng)變能(圖4)，如果腹板沿蜂窩梁全長都是A部分的截面，那么該梁就成為一工字形截面梁，其自由扭轉(zhuǎn)的應(yīng)變能可以表示為

(12)

圖4　蜂窩梁腹板自由扭轉(zhuǎn)的應(yīng)變能分類Fig.4　The classification of the strain energy in the web plate

如果腹板沿蜂窩梁的全長都是B部分的截面，那么該梁的腹板由于自由扭轉(zhuǎn)的應(yīng)變能可以表示為

(13)

根據(jù)圖4，蜂窩梁的每個單元中，A，B，C三個部分在z方向上的長度均為單元長度的1/3，因此C部分由于自由扭轉(zhuǎn)的應(yīng)變能應(yīng)該為A部分和B部分應(yīng)變能之和的1/2，因此，蜂窩梁自由扭轉(zhuǎn)的應(yīng)變能可以表示為

(14)

在計算翹曲扭矩引起的應(yīng)變能時，考慮翹曲正應(yīng)力引起的應(yīng)變能.參考圖2可知，翹曲扭矩使梁的上下翼緣發(fā)生了彎曲，其彎曲應(yīng)變能即為翹曲引起的應(yīng)變能,可以表示為

(15)

梁的應(yīng)變能為彎曲應(yīng)變能、自由扭轉(zhuǎn)應(yīng)變能和翹曲應(yīng)變能之和，根據(jù)式(9，14，15)可以表示為

(16)

然后考慮梁在屈曲中的外力勢能.外力功等于外力矩在梁在屈曲時端部轉(zhuǎn)角的乘積，而外力勢能Ev是外力功的負值，可表示為

Ev=-2Mθ

(17)

其中：M為端彎矩；θ為蜂窩梁端部轉(zhuǎn)角.

梁發(fā)生側(cè)向屈曲時，由于縱向纖維彎曲，兩端彼此靠近.其中，側(cè)向彎曲使梁的兩端平移靠近，不產(chǎn)生轉(zhuǎn)角，由于還伴隨扭轉(zhuǎn)發(fā)生，所以蜂窩梁的兩端上翼緣比下翼緣靠近的多，這就產(chǎn)生了梁兩端部截面的轉(zhuǎn)角θ，如圖5所示.設(shè)梁兩端上翼緣中面纖維移動Δt，下翼緣中面纖維移動Δb，則端部轉(zhuǎn)角可以表示為

(18)

圖5　蜂窩梁的側(cè)向屈曲變形圖Fig.5　The lateral-torsional buckling of the castellated beam

上下翼緣中面纖維在梁的一端的移動量表示為

(19)

(20)

根據(jù)式(17)，即可得到外力勢能的表達式為

(21)

綜上所述，總勢能可以表示為

Ep=Eε+Ev=

(22)

(23)

式中：A和B為待定常數(shù)，顯然式(23)滿足前述的位移邊界條件.

將式(23)代入式(22)，可以得到蜂窩梁的總勢能表達式為

(24)

根據(jù)瑞利-里茲法和式(14)，將式(24)對A和B偏分，得到兩個代數(shù)方程，即

(25)

(26)

因為當蜂窩梁承受臨界彎矩時，必定存在側(cè)向位移及轉(zhuǎn)角，因此A和B 不可能同時為零，即式(25，26)組成的方程組有非零解，其條件為它們的系數(shù)行列式為零，由此即可得到兩端簡支蜂窩梁在純彎狀態(tài)下臨界彎矩表達式為

(27)

考慮一兩端固定，且承受純彎矩的蜂窩梁，這里的兩端固定條件指端部截面在x，y方向的位移為零，繞y軸和z軸的轉(zhuǎn)角為零，為了在端部施加彎矩，繞x軸則能自由轉(zhuǎn)動.因此，位移函數(shù)可以假定為

(28)

將式(28)代入到式(22)，得蜂窩梁的總勢能為

(29)

根據(jù)瑞利-里茲法和式(14)，將式(29)對A和B偏分，可以得到

(30)

(31)

因為當蜂窩梁承受臨界彎矩時，也就是構(gòu)件處于隨遇平衡的狀態(tài)時，必定存在側(cè)向位移及轉(zhuǎn)角，因此A和B 不可能同時為零，即式(30，31)組成的方程組有非零解，其條件為它們的系數(shù)行列式為零，由此可得到兩端固定支座條件下蜂窩梁在純彎狀態(tài)下臨界彎矩的表達式，即

(32)

式(32)與軸心受壓構(gòu)件類似，式中0.5為計算長度系數(shù)，反應(yīng)了梁兩端支承條件的影響.

2有限元分析

對蜂窩梁的有限元分析中，統(tǒng)一采用楊氏模量E=210 000MPa，泊松比v=0.3.而有限元模型中使用shell143單元，這是一種四節(jié)點殼單元.

對于兩邊簡支的蜂窩梁，即令其在橫向及側(cè)向的位移為零，并令其繞軸向的角位移為零;對于兩端固定的蜂窩梁，除了繞截面強軸的角位移不加約束之外，其他所有的自由度均限制為零.

首先考察表1中的模型A，用有限元方法分析其在L=[750,1 125,1 500,1 875,2 250,2 625,3 000,4 500,6 000] mm的側(cè)向屈曲臨界彎矩，并用式(27，32)可得到相應(yīng)長度下該模型在兩端簡支和兩端固支下的側(cè)向屈曲臨界彎矩的理論值.

表1　蜂窩梁模型尺寸

如果將蜂窩梁的長度L作為橫坐標，而將臨界彎矩的有限元解及理論解Mcr作為縱坐標，則可以得到如圖6所示.

圖6　模型A兩種支座條件下的Mcr—L圖Fig.6　Comparison of critical moments between FEA and analytical solution for the castellated beam (model A)

用有限元法考察表1中的模型B,在長度L=[3 840,4 800,5 760,6 240,7 680,8 640,9 600,10 560] mm的側(cè)向屈曲臨界彎矩，并用式(27，32)可以得到相應(yīng)長度下該模型在兩端簡支和兩端固支下的側(cè)向屈曲臨界彎矩的理論值，如圖7所示.

圖7　模型B兩種支座條件下的Mcr—L圖Fig.7　Comparison of critical moments between FEA and analytical solution for the castellated beam (model B)

從圖6，7中可以得出：用式(27，32)計算得到蜂窩梁在純彎下的側(cè)向屈曲臨界荷載與有限元模擬的結(jié)果吻合的較好；理論解和有限元得到的臨界荷載均隨著梁長的增大而減??；理論解比有限元的結(jié)果稍大，這是由于在運用瑞利-里茲法求解時，假設(shè)的位移曲線與實際情形產(chǎn)生的誤差，這相當于增加了約束，推遲了屈曲的發(fā)生，從而增大臨界荷載值.

3結(jié)論

筆者闡述了在純彎狀態(tài)下簡支蜂窩梁和固支蜂

窩梁的側(cè)向扭轉(zhuǎn)屈曲性能，提出了一組不同邊界條件下純彎蜂窩梁側(cè)向扭轉(zhuǎn)屈曲臨界荷載的理論解.考慮了腹板開孔對應(yīng)變能的影響，提出利用能量等效的方法，分塊對腹板應(yīng)變能進行計算，通過能量法推導(dǎo)了蜂窩梁側(cè)扭屈曲的臨界彎矩，并采用有限元的方法模擬了相應(yīng)狀態(tài)下的蜂窩梁側(cè)向扭轉(zhuǎn)穩(wěn)定性，對幾組不同尺寸的蜂窩梁分別進行了有限元分析，結(jié)果顯示理論解與有限元的解能夠較好的吻合，驗證了理論解的正確性，值得注意的是本理論不適用于高跨比較大的深梁.本研究為工程中純彎下蜂窩梁側(cè)向屈曲臨界荷載的確定提供了理論依據(jù).

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(責(zé)任編輯：劉巖)

Lateral-torsional buckling analysis of castellated beams subjected to pure bending

YUAN Weibin, ZHAN Wei, CHEN Changyi

(College of Civil Engineering and Architecture, Zhejiang University of Technology, Hangzhou 310014, China)

Abstract:This paper mainly deals with the lateral-torsional buckling of castellated beams with different boundary conditions subjected to pure bending. Since the bending rigidity of castellated beams is larger than the torisional one in the bending moment plane, the lateral-torsional buckling, i.e., lateral bending and torsional deformation, is induced under loads. The critical load is determined for the lateral-torsional buckling of castellated beams using the energy method. Based on the principles of minimum potential energy, an analytical solution is derived for the critical load of the lateral-torsional buckling of castellated beams using the Rayleigh-Ritz method and suitable displacement functions. Finite element analyses of the lateral-torsional buckling of castellated beams subjected to pure bending are also conducted with the ANSYS software and used to verify the validity of the analytical solution of the critical load.

Keywords:lateral-torsional buckling; castellated beam; energy method; finite element method

中圖分類號：TU391

文獻標志碼：A

文章編號：1006-4303(2016)01-0072-06

作者簡介：袁偉斌(1977—)，男，浙江嵊州人，副教授，博士，研究方向為有限元模型理論與應(yīng)用和鋼與混凝土組合結(jié)構(gòu)，E-mail：yuanwb@zjut.edu.cn．

收稿日期：2015-09-17