吳彰松，張根廣，梁宗祥，史志鵬(西北農(nóng)林科技大學(xué)水利與建筑工程學(xué)院，陜西 楊凌 712100)

0 引 言

水體中的含沙量測(cè)驗(yàn)，是河流水文觀測(cè)、河工模型試驗(yàn)、水質(zhì)評(píng)價(jià)及工農(nóng)業(yè)取水中必不可少的測(cè)驗(yàn)要素，對(duì)于上述課題研究領(lǐng)域具有舉足輕重的作用。在實(shí)際含沙量測(cè)驗(yàn)中，通常采用比重瓶法[1]。比重瓶法也稱為置換法，它是采用預(yù)先率定好的比重瓶灌裝渾水水樣，進(jìn)行稱重及水溫測(cè)驗(yàn)，之后用渾水重減去同溫度清水重，兩者差值除以比重瓶體積，再乘以水沙置換系數(shù)即得到水體含沙量[2]。

在實(shí)驗(yàn)室，采用比重法進(jìn)行含沙量測(cè)驗(yàn)時(shí)，通常用蒸餾水或去離子水進(jìn)行比重瓶的檢定，這對(duì)于含沙量較大水體而言，因水樣中溶解質(zhì)對(duì)含沙量的影響比較小，觀測(cè)人員一般也不會(huì)考慮其對(duì)含沙量的影響；但當(dāng)含沙量較小時(shí)，水樣中溶解質(zhì)對(duì)含沙量的影響就不可忽視，甚至它對(duì)含沙量的影響遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于水體自身的含沙量[1]。所以為了確保含沙量測(cè)驗(yàn)的精度，在實(shí)際分析工作中，更多用到的是用澄清水進(jìn)行比重瓶的檢定[1,3]。為了提高含沙量測(cè)驗(yàn)工作效率，彭世想[4]根據(jù)《河流懸移質(zhì)泥沙測(cè)驗(yàn)規(guī)范條文說(shuō)明》[5]中置換法處理泥沙水樣“差值法”檢定比重瓶的基本原理推導(dǎo)出了一種直接計(jì)算得出瓶加清水重的方法，省去了制表、查表環(huán)節(jié)。但是在推導(dǎo)該方法的過(guò)程中，彭世想只考慮了比重瓶的體積膨脹對(duì)比重瓶檢定的影響，沒(méi)有考慮清水中存在的溶解質(zhì)對(duì)比重瓶檢定的重要影響，所以彭世想推導(dǎo)出來(lái)的計(jì)算公式只適用于計(jì)算比重瓶加蒸餾水或去離子水的情況，對(duì)于含有溶解質(zhì)的澄清水的情況不再適用。為了單獨(dú)考慮澄清水中的溶解質(zhì)對(duì)比重瓶檢定的影響，張海敏[3]通過(guò)三門峽站資料進(jìn)行分析，利用同一溫度澄清河水重與蒸餾水重比來(lái)確定澄清河水與蒸餾水密度之比與溫度之間的關(guān)系，這樣就避免了水樣由于溫度變化而引起的體積變化所產(chǎn)生的干擾。認(rèn)為澄清河水與蒸餾水的密度之比與水溫有近似的線性關(guān)系，并通過(guò)實(shí)驗(yàn)資料得出了澄清河水密度與蒸餾水密度之比與水溫的相關(guān)線性方程，進(jìn)而求出了澄清河水密度隨水溫變化的相關(guān)表達(dá)式。作者對(duì)張海敏的表達(dá)式進(jìn)行了校驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)該表達(dá)式與三門峽站實(shí)測(cè)資料相矛盾，為了探索澄清水中溶解質(zhì)對(duì)水樣密度的影響，作者對(duì)室溫條件下(15～25 ℃)的比重瓶加模型澄清水與比重瓶加蒸餾水的重量分別進(jìn)行了測(cè)驗(yàn)，通過(guò)繪制散點(diǎn)圖得到模型澄清水密度與蒸餾水密度之比與水溫呈現(xiàn)曲線函數(shù)關(guān)系?；诖?，得到了比重瓶法處理水樣瓶加澄清水重計(jì)算方法，具有較好的實(shí)用性。

1 澄清水密度隨水溫變化規(guī)律的探討

利用清水檢定比重瓶的關(guān)鍵問(wèn)題是確定清水密度隨水溫變化的規(guī)律，當(dāng)選用蒸餾水或去離子水檢定比重瓶時(shí)，前人已經(jīng)給出了較為精確的計(jì)算蒸餾水或去離子水密度的計(jì)算公式[3,4]。但在實(shí)際分析工作中，更多用到的是用澄清水進(jìn)行比重瓶的檢定[1,3]，由于澄清水中溶解質(zhì)的影響，澄清水密度隨溫度的變化規(guī)律明顯不同于蒸餾水或去離子水的密度隨溫度的變化規(guī)律。為了確定澄清水密度隨溫度的變化規(guī)律，張海敏[3]利用三門峽水文站的實(shí)驗(yàn)資料進(jìn)行分析，認(rèn)為澄清河水與蒸餾水的密度之比與水溫有近似的線性關(guān)系，得出三門峽站澄清河水密度與蒸餾水密度的相關(guān)線性方程：

ρh=ρw(0.002 15T+1.021) (5 ℃≤T≤25 ℃)

(1)

式中：T為水的溫度；ρh、ρw分別為相同水溫條件下澄清河水和蒸餾水的密度。

為了便于分析計(jì)算，張海敏根據(jù)Tilton和Taylor提供的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)優(yōu)選率定出了蒸餾水的密度隨水溫變化的相關(guān)方程：

ρw=0.999 995 976-7.313 215 885×10-6(T-4)2

(2)

(0 ℃≤T<8 ℃)

ρw=1.000 104 511-1.695 569 674×10-6T2.346 771 789

(3)

(8 ℃≤T<16 ℃)

ρw=1.000 270 892-4.938 525 939×10-6T2.010 695 513

(4)

(16 ℃≤T<28 ℃)

ρw=1.000 696 372-1.068 671 86×10-5T1.808 782 641

(5)

(28 ℃≤T<30 ℃)

(5)

根據(jù)式(1)、(2)、(3)、(4)計(jì)算出澄清河水在溫度為5～25 ℃時(shí)的密度，見圖1?？梢钥闯觯吻搴铀芏扔?jì)算值隨著溫度的升高而增大，說(shuō)明式(1)是單調(diào)遞增函數(shù)。

圖1 澄清河水密度計(jì)算值隨水溫關(guān)系圖Fig.1 Relationship between calculated river water density and temperature

對(duì)于物體的體積隨溫度的改變而引起的變化，通常用物體的體積膨脹系數(shù)εv來(lái)描述，它表示物體以0 ℃時(shí)的體積V0為準(zhǔn)，當(dāng)平均溫度升高1 ℃時(shí)，單位體積的變化量。設(shè)比重瓶在0 ℃時(shí)的容積為V0，任一溫度時(shí)對(duì)應(yīng)的容積為VT，則比重瓶容積隨溫度變化的函數(shù)關(guān)系式為：

VT=V0+εvTV0

(6)

顯然，式(6)是單調(diào)遞增函數(shù)。則比重瓶?jī)?nèi)的澄清河水重Wh為：

Wh=ρhVT

(7)

由于ρh、VT均是關(guān)于溫度變量T的單調(diào)遞增函數(shù)，則比重瓶?jī)?nèi)澄清河水重Wh必定隨著溫度T的升高而呈現(xiàn)增大趨勢(shì)，這與張海敏文中的三門峽站實(shí)測(cè)資料相矛盾，見圖2。

圖2 蒸餾水與澄清河水密度之比與水溫關(guān)系圖(三門峽站資料)Fig.2 Relationship between density ratio of distilled water to river water and temperature

對(duì)于這種反?，F(xiàn)象，對(duì)式(2)、(3)、(4)、(5)代入溫度數(shù)值進(jìn)行計(jì)算，并將計(jì)算得到的蒸餾水的密度值與彭世想論文中介紹的西德技術(shù)物理研究院蒸餾水密度計(jì)算公式[4]得到的蒸餾水密度值進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)二者吻合良好，說(shuō)明張海敏率定出的蒸餾水的密度計(jì)算公式符合實(shí)際情況，因此認(rèn)為出現(xiàn)上述反?，F(xiàn)象是由于張海敏對(duì)澄清河水與蒸餾水的密度之比與水溫之間近似的線性關(guān)系的錯(cuò)誤估計(jì)造成的，那么澄清水與蒸餾水的密度之比與水溫之間究竟存在什么樣的關(guān)系呢？作者利用某一模型澄清水作了詳細(xì)的探索。

本實(shí)驗(yàn)采用100 mL的比重瓶對(duì)模型澄清水和蒸餾水重隨溫度的變化關(guān)系進(jìn)行了測(cè)驗(yàn)。在測(cè)驗(yàn)含沙量的過(guò)程中，為了避免溫度偏離室溫過(guò)大而引起的比重瓶容積偏離標(biāo)稱容積較大的情況，實(shí)際測(cè)驗(yàn)過(guò)程中一般將水溫控制在室溫溫度上下，所以在本實(shí)驗(yàn)中，作者針對(duì)溫度為15～25 ℃的比重瓶加澄清水與比重瓶加蒸餾水的重量進(jìn)行了測(cè)驗(yàn)。根據(jù)規(guī)范[6]，本實(shí)驗(yàn)中測(cè)驗(yàn)比重瓶加水重時(shí)對(duì)應(yīng)溫度的示值為0.1 ℃。為了保證數(shù)據(jù)的精度，每一種溫度下進(jìn)行了至少3次以上重量的測(cè)驗(yàn)。測(cè)驗(yàn)得到的結(jié)果見圖3，可以看出，模型澄清水與蒸餾水的密度之比隨溫度的變化并不滿足線性關(guān)系，而是一種曲線的關(guān)系，得到的模型澄清水密度與蒸餾水密度之比隨水溫變化的擬合曲線方程為：

ρm/ρw=6×10-6T2-2.36×10-4T+1.002 618

(8)

式中：ρm為模型澄清水的密度；ρw為蒸餾水的密度。

注：圖中的模型澄清水計(jì)算值是根據(jù)后文中論述的比重瓶加澄清水重計(jì)算方法計(jì)算出來(lái)的。圖3 蒸餾水與模型澄清水密度之比與水溫關(guān)系圖Fig.3 Relationship between density ratio of distilled water to model clear water and temperature

澄清水不同時(shí)，上式中溫度變量前的系數(shù)也會(huì)發(fā)生變化，根據(jù)上式，任一種澄清水的密度與蒸餾水的密度之比隨溫度變化的關(guān)系為：

(9)

式中：ρcT為溫度為T時(shí)任一種澄清水的密度。

在實(shí)際工作中，欲建立澄清水密度與蒸餾水密度的比值與水溫的關(guān)系，只需另外稱取在測(cè)驗(yàn)含沙量水樣溫度范圍內(nèi)最低溫度、中值溫度和最高溫度3個(gè)溫度條件下瓶加澄清水與瓶加蒸餾水的重量，代入(9)式即可求出3個(gè)常數(shù)A、B、C的值，從而建立起澄清水與蒸餾水密度的換算關(guān)系。

為了便于計(jì)算，選用彭世想[4]論文中介紹的西德技術(shù)物理研究院蒸餾水密度值ρw計(jì)算公式：

ρw=0.999 839 563 9+6.798 299 989×10-5T-

9.106 025 564×10-6T2+1.005 272 999×10-7T3-

1.126 713 526×10-9T4+6.591 795 606×10-12T5

(10)

根據(jù)式(9)、式(10)兩式即可得到任一溫度下澄清水密度值：

ρcT=ρw(AT2+BT+C)

(11)

2 瓶加澄清水重隨溫度變化關(guān)系式的推導(dǎo)

對(duì)于澄清水樣的體積隨溫度的改變而引起的變化，可以用澄清水樣的體積膨脹系數(shù)εv來(lái)描述。它表示澄清水樣以零攝氏度時(shí)的體積V0為準(zhǔn)，當(dāng)平均溫度升高1 ℃時(shí)，單位體積的變化量，其表達(dá)式可以寫成：

(12)

根據(jù)式(12)

VT=V0(1+εvT)

(13)

式中：T為溫度；VT為溫度為T時(shí)的澄清水樣體積。

當(dāng)澄清水樣溫度由T1變化到T2時(shí)，其體積相應(yīng)從VT1變化為VT2，根據(jù)式(13)，可將VT2與VT1的關(guān)系寫成：

(14)

VT2=VT1(1+εvT2)(1-εvT1+ε2vT21-ε3vT31+ε4vT41)

(15)

由于εv值很小，而ε2v值更小，當(dāng)忽略去ε2v以上高次項(xiàng)以后，得：

VT2=VT1[1+εv(T2-T1)]

(16)

因?yàn)?/p>

(17)

式中：WT為溫度為T時(shí)比重瓶?jī)?nèi)澄清水重；ρcT為溫度為T時(shí)澄清水的密度。

將它代入式(16)后，得到不同溫度時(shí)比重瓶?jī)?nèi)澄清水重關(guān)系式：

(18)

式中：WT1、WT2分別為溫度為T1、T2時(shí)比重瓶?jī)?nèi)澄清水重；ρcT1、ρcT2分別為溫度為T1、T2時(shí)澄清水的密度。

若將20 ℃與某一溫度T′代入上式，即可寫出它們相應(yīng)的澄清水重關(guān)系式為：

(19)

再將某一溫度T′與任一溫度T代入式(18)，即可寫出它們相應(yīng)的澄清水重關(guān)系式為：

(20)

式中：WT′為溫度為T′時(shí)比重瓶?jī)?nèi)澄清水重；ρcT′為T′時(shí)澄清水的密度；W20為溫度為20 ℃時(shí)比重瓶?jī)?nèi)澄清水重；ρc20為溫度為20 ℃時(shí)澄清水的密度。

式(19)、式(20)相減可得任一溫度T與某一溫度T′時(shí)比重瓶?jī)?nèi)澄清水重的差值為：

(21)

根據(jù)彭世想[4]一文中，εv取為0.000 02；設(shè)比重瓶重Wb，上式可寫成：

WT+Wb-(WT′+Wb)=

V20[1+0.000 2(T′-20)]{ρcT[1+0.000 02(T-T′)]-ρcT′}

(22)

WT+Wb為任一溫度T的比重瓶加澄清水重，寫作WbT，WT′+Wb為某一溫度T′的比重瓶加澄清水重，寫作WbT′。則上式可寫成：

WbT=WbT′+V20[1+0.000 02(T′-

20)]{ρcT[1+0.000 02(T-T′)]-ρcT′}

(23)

在實(shí)際工作中只需稱取在測(cè)驗(yàn)含沙量水樣溫度范圍內(nèi)最低溫度、中值溫度和最高溫度3個(gè)溫度條件下比重瓶加澄清水與比重瓶加蒸餾水的重量，再根據(jù)式(11)、式(23)即可求得任一溫度T所對(duì)應(yīng)的比重瓶加清水重WbT。利用此種計(jì)算方法計(jì)算出來(lái)的模型澄清水重隨溫度的變化規(guī)律見圖3，可以看出計(jì)算的模型澄清水重與測(cè)驗(yàn)的模型澄清水重符合很好，說(shuō)明了此種計(jì)算方法的合理性和有效性。

3 結(jié) 語(yǔ)

(1)通過(guò)對(duì)張海敏得到的澄清河水密度與蒸餾水密度之比隨溫度變化的相關(guān)線性方程的分析，發(fā)現(xiàn)張海敏公式與三門峽站實(shí)測(cè)資料相矛盾，進(jìn)而利用比重瓶對(duì)室溫情況下(15～25 ℃)模型澄清水和蒸餾水的重量進(jìn)行了系統(tǒng)地測(cè)驗(yàn)，得到了澄清水密度與蒸餾水密度之比隨著溫度變化呈現(xiàn)曲線函數(shù)的關(guān)系。

(2)基于澄清水密度與蒸餾水密度之比隨溫度變化的規(guī)律，作者對(duì)彭世想推導(dǎo)出來(lái)的比重瓶加清水重計(jì)算公式進(jìn)行了改進(jìn)，以后在實(shí)際工作中只需稱取在測(cè)驗(yàn)含沙量水樣溫度范圍內(nèi)最低溫度、中值溫度和最高溫度三個(gè)溫度條件下比重瓶加澄清水與比重瓶加蒸餾水的重量，再根據(jù)式(11)、式(23)即可求得任一溫度T所對(duì)應(yīng)的比重瓶加澄清水重WbT使得計(jì)算公式更方便地用于實(shí)際測(cè)驗(yàn)含沙量的工作中。

□

[1] 吳彰松，張根廣，梁宗祥，等.比重瓶測(cè)驗(yàn)低含沙量誤差分析[J].長(zhǎng)江科學(xué)院院報(bào)，2016,33(3):5-8.

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